Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Аналитическое решение задачи о вынужденных колебаниях бесконечной струны

Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Аналитическое решение задачи о вынужденных колебаниях бесконечной струны под действием внешней силы с плотностью p(x,t). Графическое решение задачи о свободных колебаниях полубесконечной струны. Начальный профиль fx=sinx, начальная скорость струны равна нулю, px,t=t. Полубесконечная струна жестко закреплена при x=0.

А) Постановка задачи Коши для бесконечной струны имеем вид
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2+t, -∞<x<+∞,
(1)
при начальных условиях
ux,tt=0=fx=sinx,
(2)
∂u∂tt=0=Fx=0.
(3)
Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения (1) − (3) определяется формулой Даламбера
ux,t=12fx+at+fx-at+12ax-atx+atFsds+12a0tx-a(t-τ)x+a(t-τ)p(s,τ)dsdτ.
В нашем случае (fx=sinx, Fx=0, px,t=t) решение имеет вид
ux,t=12sinx+at+sinx-at+12a0tx-a(t-τ)x+a(t-τ)τdsdτ=
=sinxcosat+12a0tτ sx-at-τx+at-τdτ=sinxcosat+0tτt-τdτ=
=sinxcosat+tτ22-τ330t =sinxcosat+t36
Ответ:
ux,t=sinxcosat+t36
Замечание. Скорее всего в задаче предполагалось сразу использовать формулу Даламбера. Если же надо продемонстрировать метод характеристик, т.е. сразу не использовать известную формулу Даламбера, то делается это так.
В однородном дифференциальном уравнении
utt-a2uxx=0
сделаем замену ux,t=vξ,η, где характеристические координаты
ξ=x+atη=x-at
В этих координатах гиперболическое уравнение имеет второй канонический вид.
vξη=0
Интегрируем уравнение по η, получим
vξη=φ1(ξ)
Интегрируем по ξ, получим
v=φ1(ξ)dξφ(ξ)+ψ(η)
Общее решение уравнения
vξ,η=φξ+ψη,
где φξ, ψη – произвольные дифференцируемые функции.
Тогда решение однородного уравнения в переменных x,t имеет вид
uоднx,t=φx+at+ψx-at.
Частное решение неоднородного уравнения можно взять в виде
uчастx,t=t3/6
Общее решение уравнения (1) будет
ux,t=φx+at+ψx-at+t36.
utx,t=aφ'x+at-aψ'x-at+t22.
Функции φ и ψ найдем из начальных условий (2), (3)
ux,0=φx+ψx=sinx utx,0=aφ'x-aψ'x=0.
Интегрируем второе уравнение
φx-ψx=C.
и складываем его с первым, получим
2φx=sinx+C, ⟹ φx=sinx2+C2,
ψx=sinx-φx=sinx2-C2.
Подставляем найденные функциональные зависимости φx и ψx с соответствующими аргументами в выражение для общего решения, получим
ux,t=sinx+at2+C2+sinx-at2-C2+t36.
В итоге получаем
ux,t=sinxcosat+t36.
б) Постановка смешанной задачи для свободных колебаний полубесконечной струны c закрепленным краем x=0 имеет вид
utt=a2uxx, x>0, t>0,
ux=0=0, t>0,
ut=0=fx=sinx utt=0=Fx=0
Поскольку граничное условие при x=0 первого рода (задано нулевое значение самой функции), то продолжим начальные условия нечетным образом на всю ось -∞<x<∞, т.е