Записать ряды в развернутой форме. Исследовать сходимость рядов. Для числового ряда проверить, выполняется ли

Записать ряды в развернутой форме. Исследовать сходимость рядов. Для числового ряда проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости. Для степенного ряда записать интервал сходимости: 1) ; 2) .

Запишем ряд в развернутой форме:
Это числовой знакоположительный ряд. Общий член ряда . Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда:
.
Поскольку , то необходимый признак сходимости выполняется.
Для исследования вопроса сходимости применим предельный признак сравнения.
Как известно, ряд сходится, потому что он является общегармоническим рядом вида , который сходится при a>1. Найдем предел отношения общих членов этих рядов:
.
Предел является конечным числом, поэтому по предельному признаку сравнения ряд также сходится .
2) .
Запишем ряд в развернутой форме:
Это степенной ряд. Общий член его имеет вид . Числовой коэффициент этого степенного ряда равен . Тогда . Для нахождения радиуса сходимости ряда воспользуемся формулой Даламбера, получим
Значит, интервал сходимости ряда:
или .
Выясним сходимость ряда на концах интервала сходимости.
Пусть , получим ряд
.
Это знакопеременный ряд

.
2) .
Запишем ряд в развернутой форме:
Это степенной ряд. Общий член его имеет вид . Числовой коэффициент этого степенного ряда равен . Тогда . Для нахождения радиуса сходимости ряда воспользуемся формулой Даламбера, получим
Значит, интервал сходимости ряда:
или .
Выясним сходимость ряда на концах интервала сходимости.
Пусть , получим ряд
.
Это знакопеременный ряд