Параметрически заданные функции и их графики

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО Тульский государственный  педагогический университет

им. Л.Н. Толстого 
 

                                                                          Кафедра _____________________

_______________________________ 

                      Выпускная квалификационная работа

ПАРАМЕТРИЧЕСКИ  ЗАДАННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 
 

                                                                                  Выполнена:  

 студентом  группы

                                                                                  ____ заочной формы обучения

                                                                                 факультета 

                                                                                 _________________________   

                                                                                 ФИО  
 
 
 

                                                 Тула – 2012

      Научный руководитель –  кандидат ___________________ наук, доцент кафедры _____________                         __________________________  ФИО 
 
 
 
 

      Работа  допущена к защите:

      заведующий  кафедрой _________________________________________

      _____________________________________________________________

                                                                                                    ФИО__________ 
 
 

      Рецензент: к.п.н., доцент кафедры ____________ ФИО_______________  
 

      Защита  состоится «__»_______________2012г. в учебном корпусе №__

      ТГПУ  им. Л.Н. Толстого, ауд.№___в__________часов 
 
 
 

      Декан факультета  ________________

                                                                                                  ФИО______________ 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..4

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ……………………………………………………..7

1.1. Достаточные условия экстремума функции………………………………..7

1.2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба….12

1.3. Асимптоты графика функции………………………………………………15

1.4. Общая схема построения графика функции………………………………18

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ…………………………………………………………...232.1. Основные понятия параметрически заданной функции………………….23

2.2. Исследование графика параметрически заданной функции……………..26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….36

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………….38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

     Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между  участвующими в данном явлении переменными  величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа. Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.). Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной.

     Изучение  поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

     В настоящее время в курсах математического  анализа и высшей математики широко освещаются методы построения графика  функции . Вместе с тем построению кривых, задаваемых параметрически , уделяется мало внимания, и многие стороны этого более сложного исследования почти не затрагиваются. Как следствие, практическая работа, связанная с параметрически заданными функциями и их графиками, представляет собой определенные трудности. В связи с этим тема выпускной квалификационной работы является весьма актуальной.

     В отечественной литературе, включая  переводную, нет обстоятельного изложения  данного вопроса. В имеющих распространение математических руководствах рассматриваются один-два стандартных примера. В курсах дифференциальной геометрии внимание, как правило, обращается на принципиальную сторону дела, но техника исследования и построения кривых не развивается.

     Исходя из выявленных противоречий современной теории, практики и состояния изученности вопроса, нами определена проблема исследования – научное обоснование построения графика параметрически заданной функции как способа изучения рассматриваемой функции, в рамках которой  была сформулирована тема исследования: «Параметрически заданные функции и их графики».

     Объект  исследования – процесс исследования параметрически заданной  функции.

     Предмет исследования – график параметрически заданной функции.

     Цель  работы – на основе анализа теоретических и практических данных обосновать эффективность изучения параметрически заданной функции путем построения ее графика.

     Гипотеза нашей работы состоит в том, что исследование параметрически заданной функции путем построения ее графика будет эффективным, если:

     - изучить теоретические аспекты исследования функций и построения графиков,

     - рассмотреть особенности исследования функций, заданных параметрически,

     - рассмотреть практические примеры исследования графиков параметрически заданных функций.

     Задачи:

1. На основе анализа научной литературы раскрыть смысл понятия «параметрически заданная функция».
2. Раскрыть основные положения исследования функций и построения графиков.
3. Исследовать конкретные параметрически заданные функции и построить их графики.

       В данной выпускной квалификационной работе были использованы следующие  методы исследования:

       - теоретические: анализ научной литературы, синтез, сравнение, классификация, обобщение;

       - методы презентаций: таблицы.

     Научной основой данной выпускной квалификационной работы являются труды Ю.В. Павлюченко,  В.В. Рыжкова, которые предлагают систематизированную методику исследования и построения кривых.  Н.Я. Виленкин, Е.С. Куницкая, А.Г. Мордкович рассматривают основные понятия дифференциального счисления и приложения к исследованию функций.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ 

1.1. Достаточные условия экстремума функции 

     Рассмотрим  локальные экстремумы функции.

     Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х₀ – внутренняя точка множества Х.

     Обозначим через U(х₀) окрестность точки х₀. В точке х₀ функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х₀) точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) £ f (х₀).

     Аналогично: функция f (х) имеет в точке х₀ локальный минимум, если существует такая окрестность U(х₀) точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) ³ f (х₀).

     Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

     Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.

     Проиллюстрируем данные выше определения:

     Рис. 1.1. Локальные экстремумы функции

     На  рисунке точки х₁, х₃ – точки локального минимума, точки х₂, х₄ – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.

     Заметим, что наряду с локальными минимумом  и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы  функции f(х) на отрезке [a, b]. На рис. 1.1 точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х₃ – точка соответственно глобального минимума.

     Рассмотрим  достаточные условия экстремума функции.

     По  теореме Ферма: из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х₀ следует, что f '(x₀) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х₀ – экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f '(x₀) = 0. Точки х₀, в которых f '(x₀) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке.

     Рассмотрим  пример: у = х³, у' = 3х², у'(0) = 0, но в точке х₀ = 0 нет экстремума.

     Рис.1.2. График функции 

     Точками, подозрительными на экстремум функции  f (x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рис.1.3 функции имеют минимум в точке х₀ = 0:

                   f '(0) = 0                                f '(0) $                              f '(0) = ¥

     Рис.1.3.  Точки минимума функции

     Рассмотрим  достаточные условия существования  в точке локального экстремума, которые  позволят ответить на вопрос: «Есть  ли в точке экстремум и какой  именно – минимум или максимум?».

     Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x₀) точки х₀ (проколотая окрестность означает, что сама точка х₀ выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х₀. Тогда:

     1) если            (1)

     то  в точке  х₀ – локальный максимум;

     2) если            (2)

     то  в точке  х₀ – локальный минимум.

     Доказательство.

     Из  неравенств (1) и следствия 3 теоремы  Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х₀ функция не убывает, а при х > х₀ функция не возрастает, то есть

        (3)

     Следовательно, из (3) получаем, что в точке х₀ функция имеет локальный максимум.

     Аналогично  можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума:

                                             f (x)                                                          f (x) 
 

                       f '(х) ³ 0      f '(х) £ 0                                  f '(х) £ 0      f '(х) ³ 0

     Рис.1.4.  Локальные экстремумы функции

     Теорема доказана.

     Проиллюстрируем данную теорему на конкретном примере. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию с помощью производной первого порядка.

     Решение. Найдем стационарные точки функции:

     Þ х² –1 = 0  Þ  х₁ = –1, х₂ = 1.

     Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:

                               max                                                     min

     То  есть функция  возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке х₁ = –1, равный у_max (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х₂ = 1, у_min (1) = 2.

     Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х₀ – стационарная точка   (f ' (х₀) = 0), в которой f '' (х₀) > 0, то в точке х₀ функция имеет локальный минимум. Если же f '' (х₀) < 0, то в точке х₀ функция имеет локальный максимум.

     Доказательство. Пусть для определенности f '' (х₀) > 0. Тогда

     Следовательно:

     при х < х₀,   f ' (х) < 0,

     при х > х₀,   f ' (х) > 0.

     Поэтому по теореме 1 в точке х₀ функция имеет локальный минимум.

     Теорема доказана.

     Рассмотрим  еще один пример. Исследовать на экстремум функцию с помощью второй производной.

     Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную и стационарные точки х₁ = –1, х₂ = 1.

     Найдем  вторую производную данной функции:

     Найдем  значения второй производной в стационарных точках.

       Þ в точке х₁ = –1 функция имеет локальный максимум;

       Þ в точке х₂ = 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2).

     Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках. 
 
 

1.2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба 

     Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х₁, х₂ – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х₁, f (х₁)) и В (х₂, f (х₂)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде  у = у(х).

     Функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х₁, х₂ Î (a, b), а £ х₁ <  х₂ £ b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) £ у (х), œ х Î [х₁, х₂] Ì (a, b):

     Рис.1.5. Исследование функции

     Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.

     Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х₁, х₂ Î (a, b), а £ х₁ <  х₂ £ b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) ³ у (х), œ х Î [х₁, х₂] Ì (a, b): 

     Рис.1.6. Выпуклая вверх функция f (х)

     Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и

     1) f ''(х) > 0, œ х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вниз;

     2) f ''(х) < 0, œ х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вверх.

     Точка х₀ называется точкой перегиба функции f (х), если $ d – окрест-ность точки х₀, что для всех х Î (х₀ – d, х₀) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î (х₀, х₀ + d) – с другой стороны каса-тельной, проведенной к графику функции f (х) в точке х₀, то есть точка х₀ – точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х₀ функция f (х) меняет характер выпуклости:

                                           х₀ – d          х₀          х₀ + d

     Рис.1.7. Точка перегиба функции f (х)

     Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f (х) имеет непрерывную в точке х₀ производную f '' и х₀ – точка перегиба, то f '' (х₀) = 0.

     Доказательство.

     Если  бы f '' (х₀) < 0 или f '' (х₀) > 0, то по теореме 3 в точке х₀ функция f (х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f ''(х₀) = 0.

     Теорема доказана.

     Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х₀ и при переходе через точку х₀ производная f ''(х) меняет знак, то точка х₀ является точкой перегиба функции f (х).

      Проиллюстрируем данное утверждение на примере. Исследуем на выпуклость и найдем точки перегиба функции у = х³. 
 
 
 
 
 
 

     Рис.1.8. Исследование графика функции у = х³

     Решение. у' = 3х², у'' = 6х = 0 Þ х₀ = 0 – точка, подозрительная на перегиб.

     В точке х₀ = 0 функция у = х³ имеет перегиб: 

     Рассмотрим  еще один пример: исследуем на выпуклость и найдем точки перегиба функции .

     Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции . Так как то точек подозрительных на перегиб нет. Рассмотрим промежутки выпуклости:

1.3. Асимптоты графика функции 

     Асимптотой  будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

     Прямая  х = х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f (х₀ – 0) или f (х₀ + 0) равен бесконечности.

     Рассмотрим  пример: найти вертикальные асимптоты функций:

     а)   б)   в)

     Решение. Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х₀, где х₀ – точки, в которых функция не определена.

     а) х = 3 – вертикальная асимптота функции .

     Действительно, ;

     б) х = 2, х = – 4 – вертикальные асимптоты функции .

     Действительно, ,

      ;

     в) х = 0 – вертикальная асимптота функции

     Действительно, .

     Прямая  у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, если  f (х) = kx + b + α(х), , то есть если наклонная асимптота для графика функции f (х) существует, то разность ординат функции f (х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0  при х ® +¥ или при х ® – ¥.

     Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:

        (4)

     Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных  асимптот.

     Рассмотрим  еще один пример. Найти наклонные асимптоты функции