Статистическая физика

СОДЕРЖАНИЕ 

 

 

 

Введение

 

Статистическая физика, раздел физики, задача которого — выразить свойства макроскопических тел, то есть систем, состоящих из очень большого числа одинаковых частиц (молекул, атомов, электронов и так далее), через свойства этих частиц и взаимодействие между ними.

Термодинамика и статистическая физика  рассматривают явление, обусловленные совокупным действием огромного числа непрерывно движущих молекул или других частиц из которых состоят окружающие нас тела. Благодаря очень большому количеству частиц беспорядочное их движение приобретают новые качества: макроскопические свойства из большого числа частиц в обычных условиях совершенно не зависят от начального положения этих частиц, в то время как механическое состояние системы существенно зависит от начальных условий.

Термодинамика и статистическая физика изучают тепловую форму движение материи. Их основное содержание составляет рассмотрение закономерностей теплового движение в системах, находящихся в тепловом равновесии, когда в них отсутствуют макроскопические перемещение одной части относительно другой, а так же закономерностей при переходе систем в равновесное состояние. Отсюда видно что предмет изучения термодинамики и статистической физики один и тот же. Существенное отличие их друг от друга состоит от методах исследования, по этому они излагаются раздельно.

В то время как термодинамика изучает свойства равновесных физических систем, исходя из трех основных законов, называемых началами термодинамики, и не использует явно представлений о молекулярном строении вещества, статистическая физика при рассмотрении этих свойств с самого начала опирается на молекулярные представления о строении физических систем, широко применяя методы математической теории вероятностей.

Феноменологической характер термодинамики (ее не связанность с молекулярно-кинетической сущностью изучаемых ею закономерностей) приводит, с одной стороны, к важным результатам в отношении свойств физических систем, а с другой стороны, ограничивает глубину изучения этих свойств, так как не позволяет вскрыть природу исследуемых явлений. По этой причине наряду с развитием термодинамики формировалась и молекулярно-кинетическая теория свойств физических систем, и все исследователи, имена которых связаны с термодинамикой, уделяли большое внимание молекулярно-кинетическому обоснованию ее результатов.

Термодинамика является первым шагом на пути к изучению закономерностей в большом коллективе непрерывно движущихся и взаимодействующих частиц, для всестороннего и более полного рассмотрения этих закономерностей необходимо применение статистических методов.

Однако термодинамика относительно самостоятельна. Хотя в конечном итоге все свойства физических систем определяются молекулярным движением в них, термодинамика позволяет установить многие из этих свойств, не прибегая к представлениям о молекулярном строении тел. Для решения многих практически важных задач достаточны методы термодинамики. Все это обусловливает, с одной стороны, ограниченность термодинамики, а с другой стороны, наделяет ее определенными преимуществами перед молекулярными теориями.

В настоящее время нет никаких оснований для проведения резкой грани между термодинамикой и статистической физикой; тем не менее определенное преимущество термодинамики и особенность ее методов диктуют важность отдельного изложения термодинамики с привлечением необходимых качественных молекулярных представлений. Она позволяет  см помощью своих начал легко учитывать наблюдаемые на опыте закономерности и получать из них фундаментальные следствия. Именно на этом пути в свое время было предсказано вырождение газов при низкой температуре, развита теория кинетических явлений в физических системах. Отсюда видно, что некоторое выделение и относительная самостоятельность термодинамики определяются не только педагогическими соображениями.

Хотя закон сохранения и превращения энергии применим только к физическим формам движения и неприменим к высшим формам движения материи, тем не менее он имеет всеобщее значение. Это следует из общности физических форм движения: всякая более высокая форма движения материи содержит в себе физические формы движения, хотя и не сводится к ним.  И если при превращении одной физической формы движения в другую одна из них исчезает, а вторая количественно увеличивается, то при возникновении новой, более высокой формы движения материи порождающие ее различные физические формы движения не исчезают, а существуют как высшее их единство. Разрушение этого единства приводит к исчезновению более высокой формы движения и высвобождению как самостоятельных, порождающих ее различных физических форм движения, которые имеют своей мерой энергию.

           

 

                          Глава 1. Статистическая физика

1.1.Функции распределения вероятности

 

        В качестве основной функции, применяемой при статистическом методе описания, выступает функция распределения, которая определяет статистические характеристики рассматриваемой системы. Знание её изменения с течением времени позволяет описывать поведение системы со временем. Функция распределения дает возможность рассчитывать все наблюдаемые термодинамические параметры системы.      

Для введения понятия  функции распределения сначала  рассмотрим какую-либо макроскопическую систему, состояние которой описывается  некоторым параметром , принимающим дискретных значений:

_______________

         Пусть при проведении над системой измерений были получены следующие результаты: значение наблюдалось при измерениях, значение наблюдалось соответственно при измерениях и т.д. При этом, очевидно, что общее число измерений равняется сумме всех измерений , в которых были получены значения : .     

Увеличение числа проведенных  экспериментов до бесконечности  приводит к стремлению отношения  к пределу     

 

.

(5.1)

 

     Величина  называется вероятностью измерения значения Х_I.      

Вероятность представляет собой величину, которая может принимать значения в интервале . Значение соответствует случаю, когда ни при одном измерении не наблюдается значение и, следовательно, система не может иметь состояние, характеризующееся параметром . Соответственно вероятность возможна только, если при всех измерениях наблюдалось только значение . В этом случае, система находится в детерминированном состоянии с параметром .     

Сумма вероятностей нахождения системы во всех состояниях с параметрами равна единице:     

 

(5.2)

 

     Условие (5.2) указывает на достаточно очевидный факт, что если набор возможных дискретных значений , , является полным (то есть включает все возможные значения параметра в соответствии с условиями физической задачи), то при любых измерениях параметра должны наблюдаться значения этого параметра только из указанного набора .     

Рассмотренный нами случай, когда параметр, характеризующий  систему, принимает набор дискретных значений не является типичным при  описании макроскопических термодинамических  систем. Действительно, такие параметры  как температура, давление, внутренняя энергия и так далее, обычно принимают непрерывный ряд значений. Аналогично и переменные, характеризующие движение микрочастиц (координата и скорость), изменяются для систем, описываемых классической механикой, непрерывным образом.      

Поэтому рассмотрим статистическое описание, применимое для случая, когда измеренный параметр может иметь любые значения в некотором интервале . Причем, указанный интервал может быть и не ограниченным какими либо конечными значениями и . В частности параметр в принципе может изменяться от до , как, например, координаты молекулы газа для случая неограниченной среды.     

Пусть в результате измерений было установлено, что  величина с вероятностью попадает в интервал значений от до . Тогда можно ввести функцию , характеризующую плотность распределения вероятностей:     

 

(5.3)

 

     Эта функция в физике обычно называется функцией распределения.     

Функция распределения должна удовлетворять условию: , так как вероятность попадания измеренного значения в интервал от до не может быть отрицательной величиной. Вероятность того, что измеренное значение попадет в интервал равна     

 

(5.4)

 

     Соответственно, вероятность попадания измеренного значения в весь интервал возможных значений равна единице:     

 

(5.5)

 

     Выражение (5.5) называется условием нормировки функции распределения.     

Функция распределения  позволяет определить среднее значение любой функции :     

(5.6)

 

     В частности по формуле (5.6) может быть найдено среднее значение параметра :     

 

(5.7)

 

     Если  состояние системы характеризуется  двумя параметрами  и , то вероятность её нахождения в состоянии со значениями этих параметров в интервалах и соответственно равна     

 

(5.8)

 

     где - двумерная функция распределения. Примером такой функции может служить совместное распределение для координат и скоростей молекул газа.      

Соответственно  для бесконечно малых интервалов и вероятность можно представить в виде     

 

(5.9)

 

     В случае статистической независимости  значений параметров и друг от друга двумерная функция распределений равна произведению функций распределения и :     

 

(5.10)

 

     Это свойство функций распределения  будет нами использовано при рассмотрении распределения Максвелла-Больцмана.      

Задача 5.1. Найти  функцию распределения и среднее  значение координаты молекулы газа, находящегося в равновесном состоянии в изолированной системе при отсутствии внешних сил. Считать, что молекула может находиться только в интервале координат . Распространить полученный результат на трехмерный случай.     

Решение: Так как  газ находится в равновесном  состоянии, то вероятность  нахождения молекулы в любом интервале значений координаты будет одинаковой и, следовательно, функция распределения . Тогда в соответствии с условием нормировки (5.5) имеем выражение для функции распределения в интервале значений :      

 

.     

При или функция распределения .     

Подстановка этого  выражения для функции распределения  в формулу (5.7) дает среднее значение координаты молекулы газа:     

 

.     

Полученные выражения  позволяют, с использованием условия  независимости переменных , и , аналогично формуле (5.10) записать выражение для трехмерной функции распределения     

 

.     

Соответственно  средние значения координат  , и будут иметь вид:     

 

, , .

1.2.Распределение Максвелла

 

     Введем пространство скоростей. Скорость любой молекулы газа можно представить через её проекции ν_х и на соответствующие оси системы координат в пространстве скоростей. Если указанные значения отложить по осям , и прямоугольной системы координат, то можно построить пространство скоростей, каждая точка в котором будет соответствовать определенному набору проекций скорости молекулы газа (см. рис.1.2).

Рис. 1.2.  Пространство скоростей

 

     Далее сделаем  предположение, что вероятности  попадания значений проекций скорости молекулы , и в соответствующие интервалы , и не зависят друг от друга, то есть значения проекций скорости молекул на ортогональные оси считаются статистически независимыми величинами. Тогда по аналогии с формулой . функцию распределения можно представить в виде:     

 

,

(1.2.1)

 

     где , и - функции распределения значений соответствующих проекций скорости , и , причем вид этих функций должен быть одинаковым, так как все оси системы координат в пространстве скоростей равноправны.      

Прологарифмируем выражение (1.2а)      

 

.

(1.2.2)

 

     Подстановка в  него формулы, связывающей величину скорости и значения её проекций     

 

,

(1.2.3)

 

     приводит к  единственно возможному выражению  для функции распределения:     

 

(1.2.4)

 

     или     

 

,

(1.2.5)

 

     что полностью  совпадает с формулой, , полученной на основе применения принципа детального равновесия.     

Соответственно функция распределения  для значений проекций скорости приобретает вид:     

 

.

(1.2.6)

 

     Здесь константы  и можно определять, исходя из условия нормировки и значения среднего квадрата скорости хаотического движения молекул газа .     

Введем следующие обозначения:     

 

,

(1.2.7)

 

     с учетом которых  функция (1.2е) приобретет вид:     

 

.

(1.2.8)

 

     В соответствии с условием нормировки  можно записать:      

 

.

(1.2.9)

 

     В этой формуле  выбраны бесконечные пределы  интегрирования. Но, конечно, реальная скорость движения молекулы не может  достигать бесконечного значения, так  как её величина ограничена, в частности, совершенно невероятным случаем, когда кинетическая энергия одной молекулы приближается к суммарной кинетической энергии всех молекул газа. Тем не менее, вследствие резкого уменьшения подынтегрального выражения при , ошибки, связанные с бесконечным выбором пределов интегрирования, оказываются достаточно малыми.     

Для нахождения интеграла (1.2 и) можно использовать интеграл Пуассона:

,

(1.2.10)

 

     применение которого дает      

 

.

(1.2.11)

 

     Второе условие, которое может быть использовано для нахождения неизвестных констант, является следствием определения средней кинетической энергии молекул газа через его температуру для случая одномерного движения:

.

(1.2.12)

 

     Использование правила нахождения среднего значения дает

,

1.2.13)

 

     или с учетом формулы (5.52)     

 

.

(1.2.14)

 

     Интеграл в  выражении (5.55) может быть проинтегрирован по частям с использованием интеграла Пуассона:      

 

(1.2.15)

 

     Подстановка получившегося  выражения в (5.55) дает:

,

(1.2.16)

 

     или

.

(1.2.17)

 

     Соответственно  коэффициент  принимает вид

.

(1.2.18)

 

     Таким образом, функция  распределения значений проекции скорости приобретает форму     

 

,

(1.2.19)

 

     а функция распределения молекул газа по скоростям соответственно вид     

 

(1.2.20)

 

     или

.

(1.2.21)

 

     Функции (5.60) и (5.61) (или (5.62)) называются функциями распределения Максвелла. Качественно вид функции (5.60), изображенной на рис. 5.4, совпадает с нормальным законом распределения Гаусса, описывающим распределение ошибок измерений случайной величины.

Рис.1.2.2  Распределение Максвелла

 

     Кроме полученного выше распределения  Максвелла  часто при проведении расчетов используется распределение по абсолютным значениям скоростей молекул газа. Для получения этого распределения запишем в общем виде вероятность того, что значения проекций скорости лежат внутри элементарного объема пространства скоростей :

.

(1.2.22)

 

     Учитывая  то, что эта вероятность зависит  только от величины скорости и не зависит  от её направления в пространстве, элементарный объем  можно считать имеющим форму шарового слоя со средним радиусом и толщиной . Указанная возможность связана с тем, что в любой точке на поверхности сферы, центр которой совпадает с началом координат пространства скоростей, значения скорости , а следовательно и функции , одинаковые. Считая шаровой слой тонким, и записывая его элементарный объем в виде: , выражение (5.63) может быть представлено в форме     

 

.

(1.2.22)

 

     Функция

(1.2.23)

 

     или

(1.2.24)

 

     называется  функцией распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей, и она показывает вероятность того, что величина скорости имеет значения от до .     

На рис. 5.5 изображен  график функции распределения  . Максимум этой функции соответствует наиболее вероятному значению скорости молекул газа , которую можно определить, приравняв к нулю производную от функции :     

 

.

(1.2.25)

 

     Отсюда  следует, что кроме случаев когда  и , соответствующих минимуму функции , имеется решение     

 

,

(1.2.26)

 

     дающее  выражение для наиболее вероятной  скорости молекул газа.

Рис. 1.2.3  Распределение Максвелла по абсолютным значениям скоростей

 

     Кроме наиболее вероятной скорости, функция  позволяет найти среднюю скорость     

 

(1.2.27)

 

     и среднее значение квадрата скорости      

 

.

(1.2.28)

 

     Вычисление  интегралов окончательно дает выражения  для средней скорости

(1.2.29)

 

     и для средней квадратичной скорости молекул     

 

.

(1.2.30)

 

     Формула (5.72) для средней квадратичной скорости может быть также получена на основании формулы (2.30), описывающей среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа (см. вывод формулы (2.35)).      

Полученные значения скоростей численно отличаются друг от друга на величину, меньшую, чем их значения, причем , что проиллюстрировано на рис. 5.5.     

Кроме функции распределения  по абсолютным значениям скорости применяется функция распределения по значениям кинетической энергии поступательного движения молекул , характеризующая вероятность попадания значений кинетической энергии в интервал :

.

(1.2.31)

 

     Приравняв вероятности  или , и используя подстановку и , имеем:     

 

.

(1.2.32)

 

     В заключении отметим, что все полученные распределения справедливы только для равновесного состояния термодинамической  системы. Вследствие достаточно общего метода их получения, они применимы  не только для газов, но и для любых  систем, движение микрочастиц которых описывается уравнениями классической механики.     

Задача 5.3. Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии поступательного движения молекул газа, находящегося в равновесном  состоянии.     

Решение: Определим  производную функции и приравняем её нулю:

.     

Тогда имеем выражение  для наиболее вероятного значения кинетической энергии:

.     

Из полученного  выражения следует, что наиболее вероятное значение кинетической энергии  поступательного движения в три  раза меньше среднего значения этой энергии молекул газа.

1.3.Распределение Больцмана

 

При статистическом описании распределения  микрочастиц в пространстве координат  , и обычно используется не функция распределения , а концентрация , которая определяется формулой:

,

(5.11)

 

     где - полное число микрочастиц в объеме системы.      

Введение концентрации микрочастиц  в качестве основной функции при статистическом описании их распределения в пространстве связано с тем, что именно она обычно выступает непосредственно измеряемой величиной, а не функция распределения , описывающая вероятность нахождения одной микрочастицы в той, или иной точке пространства.     

Формула для нахождения среднего значения какой либо функции  при использовании концентрации отличается от выражения (5.6) и имеет вид:

,

(5.12)

 

     где - объем термодинамической системы.     

Если на систему  не действуют внешние силы и она  находится в состоянии термодинамического равновесия, то концентрация микрочастиц будет одинакова во всех точках системы: . В случае, когда на микрочастицы системы воздействует внешнее силовое поле, например, гравитационное, то их концентрация становится различной в разных точках пространства. При этом состояние термодинамического равновесия должно сохраняться.     

Рассмотрим случай нахождения идеального газа во внешнем  гравитационном поле. При нахождении концентрации молекул газа во внешнем поле будем исходить из предположения, что любой бесконечно малый объем газа находится в состоянии механического равновесия, а температура газа во всех точках одинакова. Только при выполнении этих условий состояние газа можно считать равновесным, так как иначе в газе возникли бы потоки вещества и теплоты, что сделало бы состояние газа неравновесным.     

Пусть гравитационное поле однородно, а ось  направлена вертикально вверх. Тогда концентрация молекул газа будет зависеть только от координаты : . На рис. 5.1 схематически изображен бесконечно малый выделенный объем газа , находящийся в равновесии. Снизу на этот выделенный объем газа воздействует давление , а сверху - соответственно давление . Условие механического равновесия для объема газа запишется в виде:

(5.13)

 

     или     

 

,

(5.14)

 

     где: - плотность газа, - ускорение свободного падения, - масса одной молекулы газа.

Рис.5.1.  Схема к расчету равновесия газа в однородном гравитационном поле

 

     Подстановка в  формулу (5.14) выражения для плотности газа

,

(5.15)

 

     которое является следствием основного уравнения  молекулярно-кинетической теории (2.32):

,

(5.16)