Агрегирование в производстве

 

 

Оглавление

 

Введение 3

1. Технологическое  множество и его свойства 4

2. Задача  производителя и ее свойства. 9

3. Восстановление  технологического множества 14

4. Затраты  и издержки 19

4.1   Множество  требуемых затрат 19

4.2   Функция  издержек 20

5. Агрегирование  в производстве 23

Заключение 25

Список литературы 26

 

 

 

Введение

 

 

В настоящее время многие российские вузы перешли на двухступенчатую  систему образования и предлагают программы подготовки магистров по различным экономическим специальностям. Курс микроэкономики входит в учебные программы любой экономической специальности, поскольку является базовым и включен в образовательный стандарт в качестве обязательного. Представляется важным, чтобы изучение продвинутых курсов микроэкономики поддерживалось на соответствующем уровне.

Предметом данной контрольной  работы является раздел микроэкономики «Поведение производителя», обязательный для знания любым экономистом-теоретиком.

Целью контрольной работы является овладение базовым инструментарием для дальнейшего углубленного изучения предмета в рамках Магистерской программы.

Задача исследования заключена  в детальном и последовательном рассмотрении классических задач производителя.

При написании работы была использована учебная, справочная, монографическая  литература.

 

1. Технологическое множество и его свойства

 

Рассмотрим экономику  с l благами.

Пусть число факторов производства равно n, а число видов выпускаемой продукции равно m, так что l = m + n. Обозначим вектор затрат (по абсолютной величине) через , а объемы выпусков через . Вектор будем называть вектором чистых выпусков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков составляет технологическое множество Y. Таким образом, в рассматриваемом случае любое технологическое множество — это подмножество .

Опишем свойства технологических  множеств.

1. Непустота.

Технологическое множество Y непусто.

Это свойство означает принципиальную возможность осуществления производственной деятельности.

2. Замкнутость.

Технологическое множество Y замкнуто.

Это свойство означает, что  технологическое множество содержит свою границу, и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистого выпуска также является технологически допустимым вектором чистых выпусков.

3. Свобода расходования:

если .

Это наличие возможности производить тот же самый объем выпуска, но посредством больших затрат, или меньший выпуск при тех же затратах.

4. Отсутствие «рога изобилия» (“no free lunch”):

если 

Это свойство означает, что  для производства продукции в  положительном количестве необходимы затраты в ненулевом объеме.

Рис. 1. Технологическое  множество с возрастающей отдачей  от масштаба.

5. Невозрастающая  (убывающая) отдача от масштаба:

если ll.

В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает.

5¢. Неубывающая (возрастающая) отдача от масштаба:

если ll.

В случае двух товаров, когда  один затрачивается, а другой производится, возрастающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не убывает.

5¢¢. Постоянная отдача от масштаба — ситуация, когда технологическое множество удовлетворяет условиям 5 и 5¢ одновременно, т. е.

если ll.

Геометрически постоянная отдача от масштаба означает, что Y является конусом (возможно, не содержащим 0).

6. Выпуклость:   если .

Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии в любой пропорции.

7. Необратимость:   если .

Пусть из килограмма стали  можно произвести 5 подшипников. Необратимость

означает, что невозможно произвести из 5-ти подшипников килограмм  стали.

Рис. 2. Выпуклое технологическое множество с убывающей отдачей от масштаба.

8. Аддитивность:   если .

Свойство аддитивности означает возможность комбинировать технологии.

9. Допустимость бездеятельности:   .

Теорема 1:

1. Из невозрастающей отдачи от масштаба и аддитивности технологического множества следует его выпуклость.
2. Из выпуклости технологического множества и допустимости бездеятельности следует невозрастающая отдача от масштаба.
3. Технологическое множество обладает свойствами аддитивности и невозрастающей отдачи от масштаба тогда и только тогда, когда оно — выпуклый конус.

Рис. 3. Невыпуклое технологическое множество с  невозрастающей отдачей от масштаба.

При описании поведения производителя, опираются на представление его производственного множества посредством производственной функции.

Пусть R — проекция технологического множества Y на пространство векторов затрат, т. е. .

Определение 1:

Функция f(·) : R называется производственной функцией, представляющей технологию Y, если при каждом r R величина f (r) является значением следующей задачи:

 

Условия, при которых технологическое множество может быть представлено производственной функцией.

Теорема 2:

Пусть для технологического множества . для любого r R множество замкнуто и ограничено сверху. Тогда Y может быть представлено производственной функцией.

Теорема 3:

Пусть множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия. Тогда для любого r R множество замкнуто и ограничено сверху.

Теорема 4:

Пусть технологическое множество Y таково, что для всех r R определена производственная функция f (·). Тогда верно следующее.

1. Если множество Y выпукло, то функция f (·) вогнута.
2. Если множество Y удовлетворяет гипотезе свободного расходования, то верно и обратное, т. е. если функция f (·) вогнута, то множество Y выпукло.
3. Если Y выпукло, то f (·) непрерывна на внутренности множества R.
4. Если множество Y обладает свойством свободы расходования, то функция f (·) не убывает.
5. Если Y обладает свойством отсутствия рога изобилия, то f (0) ⩽ 0.
6. Если множество Y обладает свойством допустимости бездеятельности, то f (0) ⩾ 0.

Теорема 5:

Пусть технологическое множество Y описывается производственной функцией f (·) и в точке r выполнено e(r) > 0. Тогда верно следующее:

1. Если технологическое множество Y обладает свойством убывающей отдачи от масштаба, то e(r) ⩽ 1.
2. Если технологическое множество Y обладает свойством возрастающей отдачи от масштаба, то e(r) ⩾ 1.
3. Если Y обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то e(r) = 1.

Технологические множества Y можно задавать в виде неявных производственных функций ɡ(·). По определению, функция ɡ(·) называется неявной производственной функцией, если технология y принадлежит технологическому множеству Y тогда и только тогда, когда ɡ(y) ⩾ 0.

Связь неявной и явной производственной функции: в ситуации, когда технология такова, что ресурсные ограничения оказываются несущественными, значение неявной производственной функции можно определить как ɡ((-r,y°)) = f(r) - y°.

 

2. Задача производителя и ее свойства.

 

Гипотеза, лежащая в основе модели поведения производителя  заключается в том, что производитель выбирает технологически допустимый вектор чистых выпусков, максимизирующий прибыль. В терминах чистых выпусков прибыль есть скалярное произведение вектора чистых выпусков y Î Y на вектор цен: py. Таким образом, если производитель, приобретая факторы производства и продавая производимые блага на рынках с совершенной конкуренцией блага, сталкивается с некоторым вектором цен p, то его выбор оказывается решением следующей задачи на экстремум:

Задача  1.

Î

Если все цены положительны (все блага желательны), то решение задачи производителя должно лежать на эффективной границе технологического множества.

Рис. 4. Иллюстрация решения задачи производителя.

Обозначим множество цен, на котором существует решение Задачи 1, через P.

Определение 2:

Отображением  предложения y(p) будем называть отображение, которое ставит в соответствие каждому вектору цен p Î P множество решений этой задачи.

Определение 3:

Функция прибыли — это функция, которая ставит в соответствие каждому вектору цен p Î P значение Задачи 3:

Существенное отличие  задачи производителя от задачи потребителя  состоит в том, что множество  ее допустимых решений Y, как правило, не ограничено.

Теорема 6:

Пусть выполнено соотношение (). Тогда решение Задачи производителя существует при любом неотрицательном векторе цен благ.

Поскольку Y' — компактное множество, а прибыль py непрерывна по y, то по теореме Вейерштрасса решение Задачи производителя на множестве Y' всегда существует.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7:

Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто и удовлетворяет свойству свойству невозрастающей отдачи от масштаба. Тогда при всех p Î Ṗ Задача производителя имеет решение.

Доказательство: Рассмотрим p Î Ṗ и предположим, что Задача производителя не имеет решения. Тогда существует неограниченная последовательность технологий {}, такая что

Î

Без ограничения общности можно считать, что ¹. Рассмотрим последовательность Эта последовательность ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность. Обозначим эту подпоследовательность через , а ее предел через . Покажем, что ÎY.

Пусть это не так, и найдется l, такое что lÏ. Рассмотрим последовательность l. Из свойства невозрастающей отдачи и того, что исходная последовательность неограниченно возрастает, следует, что начиная с некоторого i эта последовательность принадлежит Y. Пределом этой последовательности будет вектор l. Поскольку технологическое множество замкнуто, то lÎ. Полученное противоречие доказывает, что ÎY.

Поскольку p Î Ṗ и ÎY,то p < 0. Отсюда следует, что для достаточно больших i выполняется p < 0, поэтому lim p = -. C другой стороны, поскольку Y непусто, то Î.

Из доказанной теоремы  следует, что если множество рецессивных  направлений Y совпадает с , то (в предположениях теоремы) решение задачи производителя существует при любых положительных ценах. Примером служит технология, задаваемая производственной функцией Кобба-Дугласа с убывающей отдачей.

Перечислим свойства функции прибыли и отображения (функции) предложения.

Теорема 8 ((Свойства функции p(р))):

1. Функция p(р) положительно однородна 1-й степени:

p(lр) = lp(р) "p Îint P.

2. Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли p(р) выпукла на любом выпуклом подмножестве множества P (множества цен, при которых Задача 3 имеет решение).
3. Функция p(р) непрерывна на внутренности множества P, int P.
4. Если множество Y строго выпукло, то p(р) непрерывно дифференцируема на p Î int P.

Следующая лемма Хотеллинга является аналогом тождества Роя.

Теорема 9:

Пусть функция прибыли p(·) непрерывно дифференцируема в точке p Î int P.

Тогда

p

Доказательство: Пусть - некоторый вектор цен. Для доказательства леммы определим две функции от цены k-го блага . Первая из них представляет собой прибыль как функцию при условии, что остальные цены зафиксированы на уровне , т. е.

Обозначив , определим вторую функцию как

 

Она является линейной функцией .

По определению, , а это означает, что . При других ценах, вообще говоря, может не давать максимум прибыли, т. е. . Таким образом, прямая является касательной графика функции в точке (точка A на Рис. 5). В точке касания производные совпадают, поэтому

p

что и означает справедливость Леммы.

Рис. 5. Иллюстрация доказательства Леммы Хоттелинга.

Теорема 10 ((Свойства отображения предложения)):

• Отображение (функция) предложения y(p) однородно нулевой степени.
• Если множество Y строго выпукло, то y(p) - однозначная функция на p Î P, причем y(p) непрерывна на p Î int P.
• Если функция прибыли p(·) дважды непрерывно дифференцируема, то матрица Якоби ={ функции y(p) симметрична и положительно полуопределена, p Î int P.

Если технологическое  множество может быть представлено посредством производственной функции, то задача производителя сводится к  следующей задаче максимизации прибыли: где p° - цена выпускаемой продукции, r - количество затрачиваемых факторов производства, w - вектор цен факторов. Прибыль здесь определяется как разность между выручкой p°y° и издержками wr.

Пусть r(w,p°) - функция спроса на факторы производства при векторе цен (w,p°), y°(w,p°) - функция предложения продукции при векторе цен (w,p°). Заметим, что если p° > 0, то y°(w,p°) = f (r(w,p°)). В данном контексте функция прибыли записывается в следующем виде: p (w,p°) = p°f (r(w,p°)) — wr(w,p°).

 

3. Восстановление технологического множества

 

Аналог концепции выявленных предпочтений для модели производителя  имеет довольно простой вид. Пусть  - последовательность наблюдений: при ценах наблюдался вектор чистого выпуска . Если при каком-то векторе цен выполнено , то не максимизирует прибыль при ценах . А это противоречит рациональности производителя.

Если же ", то последовательность наблюдений ( не противоречит гипотезе максимизации прибыли. Технологическое множество, которое порождает такие выборы производителя, может быть построено разными способами.

Наиболее простым является вариант, когда технологическое множество, которое при максимизации прибыли порождает такие выборы, состоит только из точек , т. е.

Также можно в качестве технологического множества Y можно взять выпуклую оболочку точек . Если мы предполагаем выпуклость и свободу расходования, то в качестве Y можно взять разность между и : и между и :

Еще один вариант - пересечение полупространств, отсекаемых соответствующими гиперплоскостями: 

Все эти варианты для случая n = 2 изображены на приведенных ниже рисунках. Прямые, нарисованные пунктиром, изображают цены. Отметим, что

 

Покажем, что аналогичная  процедура позволяет построить  подходящее технологическое множество и в случае, когда количество наблюдений может быть бесконечно.

Рис. 6. Возможные способы восстановления множества Y по наблюдаемым точкам.

Предположим, что функция у(р), определенная на множестве цен P, такова, что у(р) является решением задачи максимизации прибыли при ценах р. Требуется на основе у(р) и соответствующей функции прибыли p(р) восстановить соответствующее технологическое множество Y.

Заметим, что существование  вектора у Î Y, такого что ру > p(р) при некоторых ценах р, противоречило бы гипотезе максимизации прибыли на Y. Объединим все векторы у не противоречащие этому условию при всех неотрицательных

pÎpp"Î

Очевидно, что по построению выполнено p (т. е. построенное технологическое множество будет в общем случае шире, чем исходное), и у(р) является решением задачи производителя с технологическим множеством p при ценах р Î P. Как следствие, функция прибыли для технологического множества Yn определена при всех р Î P и совпадает с p(р).

Свпадет ли множество p с технологическим множеством Y, на основе которого оно построено? В общем случае Y и p могут не совпадать, поскольку описанный метод построения p порождает выпуклые множества (пересечение полупространств), а технологическое множество Y может быть невыпуклым (как на Рис. 6.1 и 6.3). Кроме того, ясно, что множество цен P может быть недостаточно «богатым» для того, чтобы технологическое множество было адекватно представлено наблюдаемыми выборами при этих ценах.

Рассмотрим частный случай, когда P = . В этом случае Y и p могут не совпадать, поскольку наш метод построения p порождает множества, удовлетворяющее свойству свободы расходования, а технологическое множество Y может не удовлетворять свойству свободы расходования (как на Рис. 6.1 и 6.2).

Теорема 11:

Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто, выпукло и удовлетворяет свойству свободы расходования. Тогда при P = оно совпадает с порождаемым им множеством p.

Ниже Рис. 7 приведены примеры ситуаций, когда при нарушении предположений теоремы ее утверждение (p) неверно и, тем самым, невозможно восстановить Y на основе функции прибыли.

Рис. 7. Ситуации, когда невозможно восстановить Y.

Необходимыми требованиями к функции прибыли являются ее выпуклость, однородность первой степени и непрерывность. Эти условия являются и достаточными для того, чтобы произвольная функция p(р) была функцией прибыли для некоторого технологического множества.

Утверждения:

1. Если функция p(р) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли, то построенная на ее основе функция y(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции предложения производителя.
2. Если функция y(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции предложения производителя, то построенная на ее основе функция p(р) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли.
3. Если функция p(р) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли, то существует технологическое множество, порождающее p(р) как функцию прибыли.

Перечислим необходимые  условия.

Условия на функцию p(р):

(A1) положительная однородность первой степени;

(A2) выпуклость;

(A3) p(·) дважды непрерывно дифференцируема.

Условия на функцию у(р):

(B1) положительно однородна нулевой степени,

(B2) матрица производных существует и непрерывна, положительно полуопределена и симметрична.

Теорема 12:

1. Пусть

p

где функция pудовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3).

Тогда удовлетворяет условиям (B1), (B2) налагаемым на функцию спроса-предложения производителя.

Пусть функция  удовлетворяет условиям (B1), (B2).

Тогда функция pудовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3).

Пусть функция p удовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3). Тогда множество pp"является технологическим множеством порождающим функцию прибыли p. 

4. Затраты и издержки

 

Для упрощения обозначений вектор выпуска обозначим через у (вместо у°), r - вектор соответствующих затрат.

4.1   Множество требуемых затрат

 

Определение 4:

Для каждого вектора выпуска у множество требуемых затрат V(у) — это множество векторов затрат, обеспечивающих этот выпуск при данном технологическом множестве Y , т. е.

Из предполагаемых свойств Y вытекают некоторые свойства множества V(у) и соответствующего отображения V(·):

1. Из выпуклости Y следует выпуклость множеств V(у):
2. Из свободы расходования для Y следует свобода расходования для множеств V(у):

Заметим, что обратное неверно.

Обычно предполагается монотонность отображения V(·), т. е. вложенность множеств V(у):

Множества , как и Y, в предположении свободного расходования можно строить по производственной функции:

Обратно, в случае однопродуктовой  технологии (y Î ℝ) можно определить на основе V(·) производственную функцию следующим образом:

Î

Теорема 13:

Если отображение V(·) монотонно, то соответствующая производственная функция монотонна, а если к тому же множества V(у) выпуклы, то она квазивогнута.

В терминах множеств V(у) можно определить изокванты для данной технологии "

Рис. 8. Монотонность V(·).

Это множество таких векторов затрат r, которые позволяют произвести у, но не позволяют произвести больше у. Таким образом, изокванта Q(у) - это граница множества V(у).

4.2   Функция издержек

 

Рассмотрим следующую задачу

Задача  2.

 

Обозначим множество цен  факторов, на котором существует решение  Задачи 4 при объеме выпуска y, через W(у).

Определение 5:

Функция издержек c(w, у) — это значение целевой функции Задачи 4; для каждого вектора выпуска у и вектора цен факторов w W(у) она указывает минимальную величину издержек, при которых в соответствии с данной технологией можно произвести y.

Если технологическое  множество задано производственной функцией то Задача 4 примет вид:

 

Функция издержек обладает следующими свойствами.

Рис. 9. Построение функции издержек.

Теорема 14 ((Свойства функции издержек c(w, y) выпуклой технологии)):

Функция издержек c(w, y)

1. положительно однородна первой степени по ценам факторов:

""Î

2. монотонна по ценам факторов и выпуску;
3. вогнута по ценам на любом выпуклом подмножестве множества W(y);
4. непрерывна по ценам на внутренности множества W(y), int W(y).

Определение 6:

Функция условного  спроса на факторы производства r(w,y) есть оптимальное решение Задачи 4 при выпуске y и ценах факторов w.

Заметим, что функция издержек и функция условного спроса на факторы производства определены для любого непустого замкнутого технологического множества Y.

Теорема 15 ((Свойства функции условного спроса на факторы)):

1. Функция условного спроса на факторы производства r(w,y) однородна нулевой степени как функция цен факторов производства w.
2. Если множество V(y) строго выпукло, то r(w,y) — однозначная непрерывная функция w.

Если, кроме того, функция  издержек дифференцируема, то верна  следующая лемма Шепарда, связывающая издержки и функцию условного спроса на факторы.

Теорема 16:

Пусть функция издержек дифференцируема  по ценам факторов при объеме производства y.

Тогда для всех w Î int W(y) выполнено

 

или

 

Использование функции издержек позволяет рассматривать максимизацию прибыли как двухэтапную процедуру. На первом этапе по данной технологии и соответствующему множеству требуемых затрат строится функция издержек. На втором этапе решается задача выбора объема производства, максимизирующего прибыль, которая в этом случае рассчитывается как разница между выручкой и издержками:

 

Здесь через p мы обозначили цены продукции, а через — те объемы производства, которые допустимы при данном технологическом множестве (существуют затраты, которые вместе с y составляют допустимую технологию):

$Î

Это один из вариантов записи задачи производителя. Если функция  издержек дифференцируема, и решение рассматриваемой задачи, , является внутренним (т. е. ), то оно характеризуется следующим условием первого порядка:

"

или, в векторной записи,              

Таким образом, оптимальный выпуск характеризуется тем, что предельные издержки равны цене.

 

5. Агрегирование в производстве

 

Пусть существует n фирм с технологическими множествами Зададимся вопросом о том, можно ли найти технологическое множество , такое чтобы производитель с таким технологическим множеством (репрезентативный производитель или агрегированный производитель) демонстрировал определенном смысле такое же поведение, как и n исходных производителей. Оказывается, что такое технологическое множество построить очень просто:

Î

Теорема 19:

(1) Если при ценах р технология является решением задачи j-го производителя, то технология

 

является решением задачи агрегированного производителя  при тех же ценах.

(2) Обратно, если  является решением задачи агрегированного производителя, то найдутся технологии , каждая из которых является решением задачи соответствующего производителя.

Как следствие указанного свойства, между функциями прибыли  существует следующая связь:

pp

Если (·) - производственная функция j-й фирмы, то агрегированная фирма будет иметь производственную функцию (·), которая получается как значение следующей задачи:

Î

Аналогично, если (·) - функция издержек j-й фирмы, то агрегированная фирма будет иметь функцию издержек (·), которая получается как значение следующей задачи:

Î

 

Заключение

 

В данной работе были изучены основные свойства модели рационального поведения производителя. Было рассмотрено описание технологии посредством функции издержек.

Нами были рассмотрены  два этапа решения задачи максимизиции прибыли. Первый: нахождение минимальных затрат (и соответствующей им технологии), которые позволяют произвести данное количество продукции (зависимость между затратами и технологией и называется функцией издержек). Второй: нахождение того выпуска, которому соответствует максимальная прибыль при известной функции издержек и при заданных ценах на выпускаемую продукцию. Таким образом был применен удобный исследовательский прием по разделению задачи планирования, производства на два этапа. Он применяется также при исследовании моделей равновесия в производстве, удовлетворяющем условиям постоянной отдачи от масштаба, а также при анализе моделей несовершенной конкуренции, когда поведение производителя оказывает влияние на рыночные цены.