Анализ данных как составляющая часть принятия решений

Контрольная работа № 1

Вариант 1.

Анализ  данных как составляющая часть принятия решений 

Задание № 1 

    Определить  с помощью метода Романовского принадлежность максимальных значений к выборкам, оценить однородность дисперсий  и средних значений с использованием критерия Фишера и критерия Стьюдента.

Продолжительность рейса, дн.

Выборка:

1. 7,8,6,7,12,8,6,7,13,7,8,9,7,8,8
2. 7,7,8,9,6,6,7,8,8,8,9,8,7,7,9

 

Уровень значимость для 1-го варианта = 0,01 

Для оценки принадлежности резко выделяющихся значений общей  выборке рассчитывается величина ν :

ν = (Χ – Χ) / S , 

где Χ – максимальное значение в выборке;

       Χ*---– среднее значение;

       S – среднеквадратичное отклонение;  

Среднее значение и  среднее квадратичное отклонение рассчитываем по формулам: 

Χ--*** = Σ Χ / n  , 

S = Ö1/(n-1)* Σ (Χ – Χ)², 

Где n – объем выборки. 
 

Χ1 = 13                Χ2 = 9 

Χ1 = 121 / 15 = 8,07      Χ2 = 114/ 15 =7,6 

S1 = Ö 1/14*54,93 = Ö 3,92 = 1,98

S2 = Ö 1/14*13,6=  Ö0,9714 = 0,986 

ν1= (13-8,07) / 1,98 = 2,49

ν2= (9-7,6) / 0,986 = 1,42 

να= 3,07

  ν1 < να , следовательно, гипотезу о принадлежности резко выделяющихся значения к выборке, не отклоняем.

ν2 < να , следовательно, гипотезу о принадлежности резко выделяющихся значения к выборке, не отклоняем. 
 

Для сравнения дисперсий  двух выборок по методу Фишера используется

F –распределение F (k1,k2) , где k1 и k2 степени свободы, k1 = n – 1 и

k2 = n – 1. 

Критерий Фишера рассчитывается по формуле:  

Fэ = S²1 / S²2

 

Где S1> S2 

Fэ = 3,92/0,972 = 4,03 

Fэ таб = 2,4

    При заначении Fэ, большим критерия Фишера, расхождение дисперсий существеенно, исследование необходимо прекратить и принять меры по корректировке данных.

    Данные  первой выборки можно откорректировать – заменив наибольшее значение выборки, на любое другое значение в данной выборке, например = 8.

    Произведем  расчеты для  скорректированной  выборки.

Х1 = 12

 

Продолжительность рейса, дн.

Выборка:

3. 7,8,6,7,12,8,6,7,8,7,8,9,7,8,8
4. 7,7,8,9,6,6,7,8,8,8,9,8,7,7,9

 

Χ1 = 116 / 15 = 7,73       Χ2 = 114/ 15 =7,6 

S1 = Ö 1/14*28,4 = Ö 2,02 = 1,42

S2 = Ö 1/14*13,6=  Ö0,9714 = 0,986 

ν1= (12 – 7,73) / 1,42 = 3,001

ν2= (9-7,6) / 0,986 = 1,42 

να= 3,07

 

ν1 < να , следовательно гипотезу о принадлежности резко выделяющихся значения к выборке не отклоняем. 

ν2 < να , следовательно гипотезу о принадлежности резко выделяющихся значения к выборке не отклоняем. 

Для сравнения дисперсий  двух выборок по методу Фишера используется

F –распределение F (k1,k2) , где k1 и k2 степени свободы, k1 = n – 1 и

k2 = n – 1. 

Критерий Фишера рассчитывается по формуле:  

Fэ = S²1 / S²2

 

Где S1> S2 

Fэ =2,02 /0,972 = 2,08 

Fэ таб = 2,4

 

Fэ < Fэ таб , следовательно расхождение дисперсий носит случайный характер, выборки можно объединить в одну совокупность и приступить к оценке средних значений с помощью критерия Стьюдента. 

Рассчитываем величину t: 

t =(|Χ1 – Χ2| /Ö n1*s1² + n2*s2²)Ö n1* n2*(n1+ n2 – 2)/n1+ n2 , 

где s1²,s2² - смещенные оценки дисперсии 

s² = 1/n Σ (Χi – Χ)² 

s1² = 1/15 * 28,4 = 1,893

s2² = 1/15 * 13,6 = 0,906 

t = 0.13/6,48 *√ 210 = 0,02*14.49 = 0.3 

tтаб = 1,32 

tрасч < tтаб , следовательно, выборки данных являются непротиворечивыми и объединяются в одну совокупность. 
 
 
 
 

Задание № 2 

    Сделать прогноз, используя метод наименьших квадратов и метод экспоненциального  сглаживания. Произвести комбинированную оценку прогноза.

Объем перевозок автомобильным  транспортом РФ, млн.т. = yt

Таблица 1 

 
 

Принимаем, что  модель тренда является линейной. 

y٭ = a + b * t 

a = (Σ yi * Σ ti - Σ ti * Σ (yi * ti )) / n * Σ t²i    - (Σ ti )² 

b = (n * Σ( ti    * yi ) - Σ ti * Σ yi ) / n * Σ t²i    - (Σ ti )² 

a = (550 * 30 – 10 * 1474) / 4 * 30 – 100 = 88

b = ( 4* 1474 – 10*550) / 4 * 30 – 100 = 19,8 

a =88     b = 19,8 

y1 = 88 + 19,8*1 = 107,8

y2 = 88 + 19,8*2 = 127,6

y3 = 88 + 19,8*3 = 147,4

y4 = 88 + 19,8*4 = 167,2 
 
 

Для определения  основной ошибки прогноза используется зависимость : 
 

st = √ Σ (y٭ – yt)² / n-1

st = √688,8/3 = 15,15 

Для прогнозирования  методом экспоненциального сглаживания используется полученная ранее линейная модель тренда, определяется параметр сглаживания

(α) и начальные условия (S¹0 , S²0 ):

  α = 2/ n+1

α = 0.4

S¹0 = a –((1-α)/ α )*b)

S²0 = a –((2*(1-α)/ α )*b) 

S¹0 = 88 – 23,76=64,24

S²0 =88 – 59,4=28,6 

Вычисляем экспоненциальные средние 1 и 2 порядка : 

S¹t = α * yt +(1- α)* S¹t-1

S²t = α * S¹t + (1- α) * S²t-1, 

а значения коэффициентов  для «сглаженного» ряда: 

a= 2* S¹t - S²t ;

b= α / (1- α )*[S¹t - S²t ] 

Прогноз на   t + l   год определяется по формуле: 

y´t+l = a+ b* l ,

где l – переменная «сглаженного»  ряда. 
 

Таблица 2  

 

Ошибка прогноза рассчитывается по следующей формуле: 

s=st√(α/(2-α)³)*[1+4*(1-α+5*(1-α)²)+2*α*(4-3*α)* l +2*α²* l ²] 

s = 15,15* √1,285 = 17,17 

yt+l =164,3+18,1* l                     

                                                                                                                                            

Расчет весовых  коэффициентов прогнозов производится по формулам: 

µ1 = s2² /(s1²+s2² )                                                                                           

µ2 = s1² /(s1²+s2²)

µ1 = 229,52/(294,8+229,52)=0,44

µ2 = 294,8/(294,8+229,52)=0,56 

Среднее значение комбинированного прогноза определяется по формуле: 

А٭ = Σ µi * Аi 

А ٭= 0.44*167.2+0.56*182.4=175.71 

Дисперсия комбинированного прогноза рассчитывается по формуле: 

sА² = Σ µi * sAi²

sА² = 101+165.1=266.1

Контрольная работа № 2 

Моделирование работы технической  службы автотранспортного  предприятия 

Задание 1. 

    Определить  оптимальную периодичность технического обслуживания при условии, что зависимость средней наработки на отказ от периодичности ТО имеет вид Lотк = a/(b+LТО), а отношение на ремонт и затрат на ТО равно d. Исходные данные представлены в табл.3

Таблица 1

 

    Средняя наработка на отказ определяется для фиксированных условий эксплуатации с регламентированным режимом ТО, очевидно, она будет изменятся при изменении периодичности обслуживания, то есть:

Lотк = f(LТО), а согласно исходным данным f(LТО)= a/(b+LТО). 

Оптимимальная периодичность  ТО приравнивается к нулю производной по LТО.

                 1

x´= - —; ( табличная производная)

         x² 

Lотк = 4/(1+ LТО) 

Lотк´ = -4/(1+ LТО)² 

    1         0,5*(-4/(1+ LТО)²)       1           0,5*4/(1+LТО)²

  —   +  ————————  = —    -      —————— → 0

L²ТО               (4/(1+ LТО))²        L²ТО            16/(1+LТО)² 
 
 

  1          2

——   = ——

L²ТО         16 

L²ТО = 16/2 

LТО= √16/2 = 2,83 

Задание №2 

    Найти оптимальный ресурс автомобиля до списания по критерию минимума удельных затрат на его приобретение и поддержание в работоспособном состоянии. Капитальный ремонт автомобиля не производится. 

Зависимость затрат на запасные части и агрегаты имеют  вид : 

Cзч = a1*Lª²             Cаг = a3*Lª² 

Таблица 2 

 
 

Lсп = ª²√ g /u+1 

g  = Cа / a3*( a2 -1) , 

u = a1 * kэ / a3 

g = 10000/0,0083*(2.2-1)=1004016 

u = 0.0027*4/0.0083=1,3 

Lсп = ª²√1004016/2.3=ª²√436528,7=343,87 

Задание № 3 

    Определить  целесообразность проведения узлового ремонта автомобиля. Цены на детали и автомобили, доход представлены в условных единицах.