Дифференциальное  уравнение термометра сопротивления  имеет вид [1]: Т_Д = К_Д θ. Изображение Лапласа этого уравнения: Т_Д р R_Д(р) + R_Д(р) = = К_Д θ(р), и соответственно передаточная функция датчика:

θ(р) / R_Д(р) = К_Д / (Т_Д р + 1).

    Температура, устанавливаемая задатчиком, формируется  с помощью безынерционного элемента – потенциометра, с которого снимается  сопротивление R_З. Дифференциальное уравнение задатчика, его изображение по Лапласу и передаточная функция имеют соответствующий вид:

R_З = К_З θ_З,

R_З(р) = К_З θ_З(р),

θ_З(р) / R_З(р) = К_З.

    Усилитель также является безынерционным элементом. Следовательно его передаточная функция равна К_У.

    Уравнение измерительной мостовой схемы представляется следующим образом: U_М = К_М (R_З – R_Д), где R_З – сопротивление резистора-задатчика R₁, R_Д – сопротивление измерительного резистора (датчика температуры), U_М – выходное напряжение. Передаточная функция резистивного моста равна К_М.

    Исполнительное  устройство состоит из следующих  звеньев: двухфазного асинхронного электродвигателя с амплитудным управлением, редуктора и смесительного клапана.

    Асинхронный электродвигатель с амплитудным  управлением описывается следующими уравнениями [1]:

а после  преобразования Лапласа:

Т_Дв р² φ_Дв(р) + р φ_Дв(р) = К_Дв U_У(р).

Следовательно, φ_Дв(р) / U_У(р) = W_Дв = К_Дв / (Т_Дв р² + р).

    Передаточная  функция редуктора как безынерционного  элемента W_Р = К_Р.

    Уравнение смесительного клапана для воздуха и газов имеет вид [1]: Q₀ = K_В φ_В, где Q₀ – степень смешивания воздуха и газов, φ_В – угол поворота заслонки клапана. Передаточная функция вентильной заслонки равна K_В.

    В результате полученная из рис. 2 и набора передаточных функций структурная  схема системы автоматического регулирования температуры приточного воздуха в картофелехранилище представлена на рис. 3.

Рис. 3. Структурная  схема САР температуры приточного воздуха в картофелехранилище

    Коэффициент передачи К_З задатчика З температуры как безынерционного звена должен быть равен коэффициенту передачи К_Д датчика, ибо заданное θ_З и действительное θ температуры сравниваются в одном масштабе. Поэтому, коэффициент передачи К_З = К_Д можно отнести за сравнивающее устройство. Таким образом, можно считать, что из заданной температуры θ_З непосредственно вычитается измеренная датчиком температура θ_Д и формируется сигнал ошибки е.

Рис. 4. Преобразованная  структурная схема САР температуры  приточного воздуха в картофелехранилище

3. Определение закона  регулирования

    Законом регулирования называется математическая зависимость, в соответствие с которой  управляющее воздействие на объект формировалось бы безынерционным регулятором  в функции от ошибки системы.

    Для определения закона регулирования находится передаточная функция, определяющая взаимосвязь между управляющим воздействием на объект и ошибкой е:

W_уу(р) = φ_В(р) / е(р) =

    Для безынерционного регулятора при  Т_Дв = 0

φ_В(р) = К_ДК_МК_УК_ДвК_РК_В е(р) / р.

    Наличие в знаменателе параметра р  говорит о том, что зависимость  управляющего воздействия φ_В(р) от ошибки е(р) носит интегральный характер, что означает применение в управлении системой интегрального закона регулирования.

4. Передаточные функции системы

4.1. Передаточная функция  по управляющему  воздействию

    Для САР температуры приточного воздуха в картофелехранилище задающим воздействием является заданная температура θ_З, регулируемой величиной – температура θ воздуха.

    Передаточная функция САР по управляющему воздействию имеет вид:

W_Зу(р) =

После подстановки числовых значений и  выполнения алгебраических преобразований в результате получим

W_Зу(р) =

    Передаточная  функция САР для ошибки по управляющему воздействию определяет взаимосвязь  между изменением сигнала ошибки е и изменением задающего воздействия  θ_З(р):

W_Зе(p) =

=

После подстановки числовых значений получим

W_Зе(p) =

4.2. Передаточная функция  по возмущающему  воздействию

    Передаточная  функция САР по возмущающему воздействию  определяет взаимосвязь между изменением регулируемой величины и изменением возмущающего воздействия. В САР температуры приточного воздуха в картофелехранилище возмущающим воздействием является изменение температуры наружного воздуха. Передаточная функция по возмущающему воздействию имеет вид

W_Fy(p) =

Подставляя  числовые значения, получим

W_Fy(p) =

    Передаточная  функция САР для ошибки по возмущающему воздействию определяет взаимосвязь  между изменением ошибки е и изменением возмущающего воздействия Q₀(p). Из теории автоматического управления известно соотношение

W_Fe(p) = – W_Fy(p) = –

5. Анализ устойчивости  системы

    Устойчивость  – это свойство системы возвращаться в исходное или близкое к нему установившееся состояние после снятия воздействия, вызвавшего выход из установившегося состояния.

5.1. Анализ устойчивости  по критерию Гурвица

    Запишем характеристическое уравнение системы. Оно было получено в п. 4 и фактически является знаменателем любой из передаточных функций:

Q(p) = 140000 p⁴ + 290700 p³ + 21450 p² + 100 p + 1.

Коэффициенты  характеристического уравнения:

а₀ = 140000, а₁ = 290700, а₂ = 21550, а₃ = 100, а₄ = 1.

    Определитель  Гурвица

первый диагональный минор

Δ₁= а₁ = 290700 > 0,

второй  диагональный минор

Критерий  Гурвица формулируется следующим  образом [2]: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при а₀ > 0 все диагональные миноры Гурвица были положительными. В нашем случае необходимые и достаточные условия соблюдаются. Следовательно, согласно критерию Гурвица, система устойчива.

5.2. Анализ устойчивости  по критерию Найквиста

    Критерий  Найквиста формулируется следующим образом: если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывала точку с координатами (-1, j0).

W_p(p) =

    Произведя замену p = jω и разделив в новом варианте передаточной функции разомкнутой системы действительную и мнимую части, получим амплитудно-частотную характеристику:

А(ω) = |W_p(p)| =

и фазо-частотную  характеристику:

Ф(ω) = – arctg

    Изменяя значение ω в лиапазоне от 0 до ∞, строится АФЧХ разомкнутой системы, представленная на рис. 5. График АФЧХ построен с применением математического пакета MathCad. На рис. 5 кроме АФЧХ разомкнутой системы отображена окружность единичного радиуса. По горизонтальной оси абсцисс отложена действительная часть передаточной функции разомкнутой системы, по вертикальной оси ординат – мнимая часть.

    Числовые  данные, по которым оцениваются запасы устойчивости системы по фазе и по амплитуде, сведены в следующую  таблицу 1.

Таблица 1. Численные данные АФЧХ разомкнутой системы

Рис. 5. АФЧХ разомкнутой САР температуры приточного воздуха в картофелехранилище

    АФЧХ  разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1, j0), поэтому замкнутая система устойчивая.

    Оценка  запасов устойчивости по амплитуде  и по фазе приводит к следующему результату (соответствующие строки табличных данных выделены жирным курсивом): ΔА = 1 – 0.13 = 0.87 (0.13 – значение амплитуды, при котором фаза равна нулю), Δφ ≈ 34.5° (определяется из таблицы для А ≈ 1). Хорошими запасами устойчивости являются значения ΔА ≥ 0.7, Δφ ≥ 30°. В нашем случае запасы по амплитуде и фазе попадают в указанный «практический» интервал, и, следовательно, замкнутая система будет устойчивой.

6. Анализ зависимости  статической ошибки

    При выполнении анализа используется передаточная функция системы для ошибки по управляющему воздействию:

W_Зе(p) =

    В статике р = 0, поэтому W_Зе(0) = 0 и следовательно е = 0. То есть анализируемая система не имеет статической ошибки.

    Данная  САР является астатической.

7. Совместный анализ  изменения управляемой  величины объекта  управления и системы  от возмущающего  воздействия в  статике. Определение  статической ошибки  системы по возмущающему воздействию

    Для проведения анализа используются передаточные функции объекта управления и  системы по возмущающему воздействию:

W_F(p) =

W_Fy(p) =

    В статике при р = 0 W_F(p) = К₂, W_Fy(p) = 0.

    Передаточная  функция системы для ошибки по возмущающему воздействию W_Fe(p) = – W_Fy(p). Соответственно е_ст = 0.

8. Оценка качества  управления по  переходным функциям

    Качество  переходных процессов в линейных системах обычно оценивают по переходным функциям (рис. Y27, F27).

Рис. Y27. Переходная функция по управляющему воздействию

Рис. F27. Переходная функция по возмущающему воздействию

    В качестве числовых параметров управления используются перерегулирование, время  регулирования, колебательность системы.

    Для переходной функции по управляющему воздействию перерегулирование определяется как . В данном случае из рис. Y27 можно записать h_max = 1.36, h_уст ≈ 1. Тогда перерегулирование σ = 36 %.

    Аналогично  из рис. F27 h_max = 0.47, h_уст ≈ 0. Для переходных процессов по возмущающему воздействию определяется максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения, приходящееся на единицу возмущающего воздействия: = 0.47.

    Быстродействие  системы оценивается временем регулирования t_рег, определяющееся как интервал времени от начала переходного процесса до момента, когда отклонение выходной величины от ее нового установившегося значения становится меньше определенной достаточно малой величины Δ. Примем Δ = 0.05·h_уст. Из рис. Y27 следует, что для переходной функции по управляющему воздействию Δ = 0.05. Следовательно, t_рег ≈ 110 с. Из рис. F27 следует, что для переходной функции по возмущающему воздействию                               Δ = 0.05·( h_max – h_уст) = 0.023. Время регулирования t_рег ≈ 125 с.

    Колебательность переходного процесса определяется числом колебаний N для переходной функции  по возмущающему воздействию за время  переходного процесса. Из рис. Y27 и F27 следует N = 3. Обычно приемлемым числом колебаний считается N ≤ 2..3.

    По  переходной функции может быть определена статическая ошибка по управляющему воздействию: е_З = Р_З – Р_уст = 1 – 1 = 0, что совпадает с результатами расчетов. Статическая ошибка по возмущающему воздействию е_F = Р_З – Р_уст = 0.

9. Выводы по работе

    В результате выполнения работы была проанализирована система автоматического регулирования температуры приточного воздуха в картофелехранилище. Управляющим воздействием на объект является угол поворота заслонки смесительного клапана, определяющий степень смешивания рециркуляционного воздуха с наружным; основным возмущающим воздействием является колебание внешней температуры.

    Закон регулирования системы – интегральный.

    Замкнутая система является устойчивой. Разомкнутая  система также устойчива. Запас  устойчивости по амплитуде равен  ΔА = 0.87 по фазе – Δφ ≈ 34.5°, что удовлетворяет рекомендуемым значениям.

    Система является астатической. Статические ошибки по управляющему и возмущающему воздействиям равны нулю.

    Прямые  оценки показателей качества управления:

• перерегулирование σ = 36 %;
• число перерегулирований и колебаний N = 3;
• время регулирования t_рег ≈ 125 с;
• колебательность системы с_F = 0.14.

    Качество  системы следует считать удовлетворительным.

Литература

1. Основы автоматики: методические указания к курсовой работе для студентов специальности С 03.02 «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства» / БГАТУ, кафедра автоматизированных систем управления производством; сост. Ю.А. Сидоренко. – Минск, 2001. – 101 с.
2. Юревич Е. Н. Теория автоматического управления. – Л.: Энергия, 1975.
3. Бородин И. Ф., Кирилин Н. И. Основы автоматики и автоматизации производства. – М.: Колос, 1977.
4. Теория автоматического управления. Ч. 1 / Н. А. Бабанов, А. А. Воронов и др. – М.: Высшая школа, 1986.
5. Бородин И. Ф. Технические средства автоматики. – М.: Колос, 1982.