Астрономическая вселенная и закон всемирного тяготения

Контрольная работа

по дисциплине

«Концепция  современного мироздания»

Тема работы:

«Астрономическая  вселенная и закон всемирного тяготения»

1. История закона всемирного тяготения

Мысль о том, что тела падают на землю  вследствие притяжения их земным шаром, была далеко не нова: это знали еще древние, например Платон. Но, тем не менее, длительное время ряд основополагающих вопросов оставался без ответа. Как измерить силу этого притяжения? Везде ли на земном шаре оно одинаково и как далеко оно простирается? Вот далеко неполный перечень таких вопросов, ответы на которые дала ньютоновская теория.

Актуальность  таких вопросов в научной среде  увеличилась после того как Николаем Коперником была разработана гелиоцентрическая  система мира. Отказ от предыдущей, геоцентрической системы, потребовал формулирования  новых законов движения планет.

Последующее создание в 1609 г. первого телескопа  Галилео Галилеем позволило  отодвинуть границы астрономической Вселенной, что существенно усложнило картину  устройства мира и потребовало объяснение движения небесных тел.

Кеплер  первым действительно нашел законы, которым подчиняются движения планет. Эти законы до наших дней широко используются в астрономии и носят  название трех законов Кеплера: 

• Первый закон Кеплера: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого  находится Солнце.
• Второй закон Кеплера: планеты движутся по своим орбитам с переменной скоростью таким образом, что площади, описываемые радиусом-вектором от центра Солнца до планеты за равные промежутки времени, оказываются равными.
• Третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит

В 1619 году Кеплер издал знаменитую «Гармонию  мироздания», в которой был на расстоянии одного шага от открытия Ньютона и все-таки не сделал его. Мало того, что Кеплер приписывал движения планет некоторому взаимному притяжению, он даже готов был принять закон «квадратной пропорции» (то есть действия, обратно пропорционального квадратам расстояний). Но вскоре он отказался от него и вместо этого предположил, что притяжение обратно пропорционально не квадратам расстояний, а самим расстояниям. Кеплеру не удалось установить механических начал им же открытых законов планетного движения.

Открыв  первые два закона, Кеплер составил основанные на них таблицы движения планет, опубликованные в 1627 под названием «Рудольфовых таблиц». Эти таблицы по своей точности далеко превзошли все прежние, ими пользовались в практической астрономии на протяжении 17 и 18 вв. Успех Кеплера в объяснении движения планет обусловлен новым методологическим подходом к решению вопроса: впервые в истории астрономии была сделана попытка определить планетные орбиты непосредственно из наблюдений.

Следует отметить, что законы Кеплера –  следствие его непревзойденного усердия в математической обработке результатов наблюдений. Это – наблюдательные законы. Они отображают закономерности, но не выявляют причин. После появления закона всемирного тяготения стало очевидным, что законы Кеплера являются лишь следствие физического свойства любых тел, обладающих массами, притягиваться друг другом. Вместе с тем,  следует признать, что законы Кеплера явились основой для открытия одного из фундаментальных законов Вселенной – закона всемирного тяготения.

Когда другие ученые, например Иоганн Кеплер, изучали движение небесных тел, они полагали что в небесных сферах действуют совсем иные законы движения, нежели законы, управляющие движением здесь, на Земле. Таким образом, считалось, что имеются два типа гравитации, и это представление устойчиво закрепилось в сознании людей того времени. Все считали, что есть земная гравитация, действующая на несовершенной Земле, и есть гравитация небесная, действующая на совершенных небесах.

Прозрение же Ньютона как раз и заключалось в том, что он объединил эти два типа гравитации в своем сознании. С этого исторического момента искусственное и ложное разделение Земли и остальной Вселенной прекратило свое существование.

Закон всемирного тяготения был открыт И. Ньютоном в 1682 году. Еще в 1665 году 23-летний Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его гипотезе между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по линии, соединяющей центры масс. Таким образом, Согласно этому закону между любой парой тел во Вселенной действует сила взаимного притяжения. Силу взаимного притяжения, действующую между Солнцем, планетами, кометами, звездами и другими телами во Вселенной, Ньютон и назвал силой всемирного тяготения.

Как и  все физические законы, он облечен  в форму математического уравнения. Если M и m — массы двух тел, а D — расстояние между ними, тогда сила F взаимного гравитационного притяжения между ними равна:

F = GMm/D², (1)

где G —  универсальная гравитационная  постоянная, определяемая экспериментально. В единицах СИ ее значение составляет приблизительно 6,67 × 10^–11.. Физический смысл гравитационной постоянной гравитационная  в том, что она численно равна модулю силы тяготения, действующей на тело массой 1 кг со стороны другого тела такой же массы при расстоянии между телами, равном 1 м.

В системе  СИ гравитационная постоянная выражается в следующей размерности:

(2)

2. Подтверждение закона всемирного тяготения в Солнечной системе.

Закон всемирного тяготения объясняет  механическое устройство Солнечной  системы. Законы Кеплера, описывающие  траектории движения планет, могут  быть выведены из него. Для Кеплера  его законы носили чисто описательный характер — ученый просто обобщил свои наблюдения в математической форме, не подведя под формулы никаких теоретических оснований. В картине мира по Ньютону законы Кеплера становятся прямым следствием универсальных законов механики и закона всемирного тяготения.

Ньютон  при формулировке закона всемирного тяготения использовал эти законы. Он сумел показать, что они выполняются только в случае, если силы, действующие между тяготеющими телами, пропорциональны закону обратных квадратов, а массы сосредоточены в центре масс. Ньютон математически доказал, что тело массы т будет двигаться относительно тела М по одной из кривых — эллипсу, параболе или гиперболе. Эти кривые можно получить, пересекая конус плоскостями под разными углами. Поэтому их называют коническими сечениями. Так  Ньютон обобщил I закон Кеплера.

Третий  закон Кеплера выражал связь  между мгновенными значениями меняющихся величин. Кеплер понимал, что открытые им численные закономерности могут  стать основой новой небесной механики, но не знал причины именно такого движения планет. Он считал очевидным, что сила, действующая на планеты, должна меняться с расстоянием по закону обратных квадратов, и исходил из внешней аналогии со светом, интенсивность которого меняется как 1/r2. Покажем взаимосвязь между III законом Кеплера и законом всемирного тяготения.

Вращение  — одно из основных видов движения в поле тяготения, и ему также соответствует определенная энергия. При равномерном движении по окружности скорость v равна длине окружностиделенной на период Т, т.е. на время одного оборота. Отсюда для кинетической энергии получим:

(3)

Гравитация — источник центростремительной силы для небесных тел. Приравнивая эти две силы, можно получить важные соотношения между периодом Т и радиусом вращения r планеты или спутника:Разделив обе части на -m, получим:Перенесем зависимость от г в левую часть:и избавимся от дробей:Отсюда:То есть фактически выведен третий закон Кеплера для движения планет:— кубы радиусов (или больших полуосей) орбит относятся как квадраты периодов.

Итак, закон тяготения Ньютона связан с законами Кеплера, полученными из наблюдений за движением планет Солнечной системы. Закон тяготения Ньютона и законы Кеплера пригодны для движений под действием тяготения в задаче двух тел, где одно является центральным, а второе вращается вокруг него по эллипсу или окружности.

Планеты не движутся строго по законам Кеплера. Законы Кеплера точно соблюдались  бы для движения данной планеты лишь в том случае, когда вокруг Солнца обращалась бы одна эта планета. Но в Солнечной системе планет много, все они притягиваются как Солнцем, так и друг другом. Поэтому движение планет и других тел не в точности подчиняется законам Кеплера. Отклонения тел от движения по эллипсам называют возмущениями. Возмущения эти невелики, так как масса Солнца гораздо больше массы не только отдельной планеты, но и всех планет в целом. Наибольшие возмущения в движении тел Солнечной системы вызывает Юпитер, масса которого в 300 раз превышает массу Земли

Солнечная система у Ньютона — гигантский механизм, в котором гравитация управляет движением всех его элементов. Но, изучая движение конкретной планеты, нельзя не учитывать воздействие других планет и их спутников (то есть возмущение), хотя оно и мало по сравнению с притяжением Солнца. Английский астроном и геофизик Э. Галлей, изучая материалы наблюдений, обратил внимание на сходство орбит комет в 1456, 1531, 1607, 1682 гг. и периодичность их появления (около 76 лет). Он заключил, что это была одна и та же комета, и предсказал ее возвращение в 1758 г. Но из-за возмущающего действия Юпитера и Сатурна комета Галлея появилась только в следующем году почти в точном соответствии с расчетами другого астронома Клеро (он ошибся только на 19 дней!). Предсказание возвращения кометы стало первой убедительной победой теории Ньютона. Клеро проверил теорию Ньютона и по движениям Луны. Он составил точные лунные таблицы и по своим разработкам написал книгу «Теория движения Луны».

В XIX веке расчет возмущений позволил сделать  одно из самых известных в науке  открытий «на кончике пера» - открытие планеты Нептун. Проводя очередной обзор неба в поиске неизвестных объектов, Вильям Гершель в 1781 г. открыл планету, названную впоследствии Ураном. Спустя примерно полвека, стало очевидно, что наблюдаемое движение Урана не согласуется с расчетным даже при учете возмущений со стороны всех известных планет. На основе предположения о наличии еще одной неизвестной планеты были сделаны вычисления ее орбиты и положения на небе. Независимо друг от друга эту задачу решили Джон Адамс в Англии и Урбен Леверье во Франции. На основе расчетов Леверье немецкий астроном Иоганн Галле 23 сентября 1846 г. обнаружил в созвездии Водолея неизвестную ранее планету - Нептун. Это открытие стало триумфом гелиоцентрической системы, важнейшим подтверждением справедливости закона всемирного тяготения. В дальнейшем в движении Урана и Нептуна были замечены возмущения, которые стали основанием для предположения о существовании в Солнечной системе еще одной планеты. Ее поиски увенчались успехом лишь в 1930 г., когда после просмотра большого количества фотографий звездного неба был открыт Плутон.

Вне Солнечной  системы использование закона тяготения  привело к появлению ряда так  называемых космологических парадоксов  (фотометрическому, гравитационному  и др.), которые были разрешены  только в общей теории относительности.

Наиболее  известным  (и напрямую  касающимся закона всемирного тяготения Ньютона  в рамках космологических масштабов) является гравитационный парадокс. Согласно теории Неймана и Зелигера, которые  впервые обратили внимание на данный физический парадокс, теория тяготения, сформулированная Ньютоном, не дает возможности определить абсолютные и относительные значения гравитационного поля, создаваемого бесконечной системой масс (бесконечным количеством вещества, которым заполнена Вселенная).

Итак, согласно теории Ньютона, сила гравитационного  притяжения высчитывается по следующей  формуле:

F = G * (m₁ * m₂ / R²),     (4)

Где G - гравитационная постоянная, m₁ и m₂ - массы двух объектов, R - расстояние между объектами.

Допустим, Вселенная равномерно заполнена веществом (то есть средняя плотность вещества во Вселенной одинакова). Выберем какой-либо объект во Вселенной - галактику, - и попытаемся рассчитать гравитационную силу, с которой все бесконечное количество вещества во Вселенной действует на данный объект.

Представим  нашу Вселенную сначала как некий  пустой шар радиусом R и поместим в произвольную точку внутри шара наш объект - галактику. Согласно уравнению, гравитационную силу можно рассчитать по формуле, где m1 - масса шара; m2 - масса галактики. Так мы сможем вычислить гравитационную силу, которая будет равна F.

Однако  наша Вселенная отнюдь не пуста. Поэтому  начнем добавлять в наш шар  другие галактики, однако равнодействующая сила тяготения приведет к тому, что сколько бы сферических слоев мы бы не добавили к нашему шару, они не добавят гравитационных сил, так как согласно теореме Ньютона сферически-симметричная оболочка не создает сил тяготения во внутренней полости. То есть сила F всегда останется без изменения.

Построим  наше рассуждение по другому принципу. Начнем с галактики, которую мы поместим в произвольную точку пространства, после чего окружим ее веществом однородной плотности, заполняющим шар радиуса R (при этом галактика находится в центре шара). В силу симметрии тяготение всех частичек вещества будет уравновешиваться в центре, в результате чего результирующая гравитационная сила будет равна нулю. Добавление новых сферических оболочек также никак не повлияет на результирующую силу, которая по прежнему будет равняться нулю. Но при анализе предыдущего примера мы пришли к выводу, что на галактику все-таки действует некая гравитационная сила F. Получается, что теория Ньютона не дает нам возможности рассчитать гравитационную силу, из чего и выводится описываемый физический парадокс.

Однако  данный парадокс сразу же исчезает, если вспомнить, что Вселенная не просто большая, она бесконечно большая. То есть нельзя представлять Вселенную  как некоторый шар. За пределами  этого шара всегда остается бесконечное  количество вещества. Другими словами, шар, который мы взяли за образец в наших примерах, всегда можно окружить сферой еще большего радиуса, заполненной веществом той же плотности (и так до бесконечности), в результате чего результирующая сила тяготения на выбранную галактику всегда окажется равной нулю.

Проблема  заключается в том, что невозможно представить бесконечность Вселенной. Однако все если все-таки допустить, что Вселенная конечна, тогда  по закону Ньютона на пробное тело (в нашем случае галактику) будет  действовать сила тяготения, и под действием этой силы все внешние сферы нашей Вселенной будут неизбежно притягиваться к центру (другими словами, все вещество конечной Вселенной должно неминуемо сжиматься к центру).

Именно  поэтому, конечная Вселенная невозможна, а любой выбранный во Вселенной объект можно воспринимать как центральную точку Вселенной, так как она окружена бесконечным количеством вещества. И именно поэтому результирующая гравитационная сила, действующая на данную точку, будет всегда равна нулю.

Итак, подтверждением закона всемирного тяготения в Солнечной системе являются – возвращения кометы Галлея, объяснение движений Луны, оценки планетных возмущений, обнаружение планеты Нептун по возмущениям планеты Уран, а затем и планеты Плутон. Закон всемирного тяготения лежит в основе небесной механики – науки о движении планет. С помощью этого закона с огромной точностью определяются положения небесных тел на небесном своде на многие десятки лет вперед и вычисляются их траектории.

3. Небесная механика и задачи двух (трех) тел.

Закон всемирного тяготения лежит в основе небесной механики – раздела механики, изучающего движение тел в пустом пространстве только под действием гравитации.

Наиболее  простой задачей небесной механики является гравитационное взаимодействие двух точечных или сферических тел в пустом пространстве (двойная система). Эта задача в рамках классической механики решается аналитически до конца, результат её решения часто формулируют в виде трёх законов Кеплера.

При увеличении количества взаимодействующих тел  задача резко усложняется. Так, уже задача трёх тел или тройной системы (то есть движение трёх тел с ненулевыми массами) не может быть решена аналитически в общем виде. При численном же решении достаточно быстро наступает неустойчивость решений относительно начальных условий. В применении к Солнечной системе эта неустойчивость не позволяет предсказать точно движение планет на масштабах, превышающих сотню миллионов лет.

В некоторых  частных случаях удаётся найти  приближённое решение. Наиболее важным является случай, когда масса одного тела существенно больше массы других тел (примеры: солнечная система и динамика колец Сатурна). В этом случае в первом приближении можно считать, что лёгкие тела не взаимодействуют друг с другом и движутся по кеплеровым траекториям вокруг массивного тела. Взаимодействия же между ними можно учитывать в рамках теории возмущений и усреднять по времени. При этом могут возникать нетривиальные явления, такие как резонансы, аттракторы, хаотичность и т. д. Наглядный пример таких явлений — сложная структура колец Сатурна.

Несмотря  на попытки точно описать поведение  системы из большого числа притягивающихся  тел примерно одинаковой массы, сделать  этого не удаётся из-за явления  динамического хаоса.

Рассмотрим  задачу движения двух тел. В частном  случае этой задачи  рассматривается движение тела меньшей массы т относительно тела большей массы М. При этом большее тело принимается за неподвижное и  называется центральным телом. Линейная скорость v движущегося тела относительно центрального  определяется   интегралом   энергии:     

         (5)

где μ=G(Μ+m), а — большая полуось орбиты тела меньшей массы, r — радиус-вектор того же тела, G — гравитационная постоянная.

Если  масса т движущегося тела пренебрежимо мала в сравнении с массой Μ  центрального тела, то задача двух тел называется ограниченной и тогда μ = GΜ.

Согласно  интегралу энергии, чтобы тело меньшей  массы обращалось вокруг центрального тела по круговой орбите (эксцентриситет е=0) радиусом r=а, оно должно на этом расстоянии иметь скорость    

         (6)

называемую  круговой скоростью. Как средняя  скорость движения тела она может  быть также подсчитана по периоду обращения Τ и большой полуоси а орбиты тела:   

         (7)

Если  движущееся тело на расстоянии r от центрального тела имеет скорость    

         (8)

то  орбитой будет парабола (е=1, а=∞). Поэтому скорость vп называется параболической. Если v>vп, то движущееся тело пройдет мимо центрального тела по гиперболе (e>1). В каждой точке орбиты с радиус-вектором r скорость тела   

         (9) 

Точка эллиптической  орбиты, ближайшая к центральному телу, называется перицентром, а наиболее удаленная от него — апоцентром. Эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, и некоторые из них приведены в нижеследующей таблице:

В перицентре, при r = q = а(1—е), тело-спутник обладает наибольшей скоростью   

         (10)

а в  апоцентре, при r = Q = a (1 + e), — наименьшей   скоростью    

         (11)

В поле тяготения Солнца, на произвольном от него расстоянии r, выраженном в астрономических единицах (а. е.), круговая скорость   

         (12)

Если  расстояния r заданы в километрах, а  масса центрального тела выражена в  массах Земли, то круговая скорость    

         (13)

Наконец, при измерении масс в массах Земли и расстояний в радиусах Земли круговая скорость   

         (14)

Средняя или круговая скорость v_a тела, обращающегося вокруг центрального тела по эллиптической орбите с большой полуосью а, также вычисляется по формулам (12), (13) и (14) подстановкой в них r=а.

Подстановка в формулы (13) и (14) r = R (радиус небесного  тела) дает значение круговой скорости w_к у поверхности этого тела, называемой в космонавтике первой космической скоростью. Вторая космическая скорость Wп—Wк√2. Очевидно, что   

         (15)

где r отсчитывается  от центра небесного тела и выражается в его радиусах.

Третий  обобщенный закон Кеплера  

           (16)

применим  к любым системам тел с массами m₁ и m₂, обращающихся с периодами Т₁ и Т₂ вокруг своих центральных тел (с массами M₁ и М₂) по эллиптическим орбитам, большие полуоси которых соответственно равны а₁ и а₂.

Массы планет и их спутников выражаются обычно в массах Земли (реже – в  массах Солнца, в тоннах и килограммах), большие полуоси орбит – в астрономических единицах или в километрах, а периоды обращения – в годах и сутках, а иногда – в часах и минутах.

При вычислениях  по формуле (71) выбор системы единиц не имеет значения, лишь бы однородные величины были выражены в одинаковых единицах. Если же этот закон используется в виде   

           (15)

то  решение задач проводится обязательно в определенной системе единиц, так как в разных системах численное значение гравитационной постоянной различно.

Если  периоды обращения заданы в земных средних сутках, расстояния — в километрах и массы тел — в массах Земли, то третий закон Кеплера имеет вид

Т² (М+m) = 132,7 · 10^-16а³.                (16) 

Уравнения, описывающие  движение трех тел, связанных гравитационным взаимодействием, внешне столь же просты, как и для двух тел. Ускорение каждого тела обусловлено гравитационным полем остальных двух тел. Однако, за исключением одного специального случая,  движение этих тел является сложным. На протяжении двух столетий после выхода в свет ньютоновских «Начал» математики пытались найти точное решение уравнений, описывающих данную задачу. В процессе этого были разработаны мощные математические методы, которые впоследствии нашли широкое применение в небесной механике и квантовой теории, но решить задачу трех тел так и не удалось. И только в конце XIX в. X. Брунс и А. Пуанкаре доказали, что решение - в том виде, в каком его искали ранее, - вообще не существует.

Решение задачи трех тел было найдено французским  математиком Жозефом Луи Лагранжем (1736-1813). Пример рассмотренного Лагранжем вращающегося равностороннего треугольника реально существует в Солнечной системе: Солнце, Юпитер и группа малых планет (астероидов), называемых Троянцами, лежат в вершинах вращающегося равностороннего треугольника.

Невозможность точного решения задачи трех тел (за исключением одного частного случая) поставила астрономов перед альтернативой: использовать точные численные методы для решения уравнений движения или довольствоваться приближенными методами. Как правило, эти подходы взаимно дополняют друг друга. Используя мощные компьютеры, можно предсказать движение трех взаимодействующих тел на достаточно долгий срок. Подобного рода расчеты, однако, не дают возможности исследовать характер движения: они описывают его, что является необходимым первым шагом, но еще не позволяют понять.

Английский  физик-теоретик Поль Дирак как-то заметил, что приближенные методы лучше всего  работают, когда исследуемое движение можно разложить на две части, одна из которых «простая», а другая - «малая». Рассмотрим тройную систему, состоящую из Солнца, Земли и Луны. Простая часть движения включает несколько различных компонентов: движение Земли вокруг Солнца, движение Луны вокруг Земли (описанные еще Кеплером) и вращение Земли вокруг своей оси, направление которой остается неизменным. Малая часть движения учитывает следующие явления.

• Уровень земных морей и океанов, а также атмосфера поднимаются и опускаются с периодом, равным половине лунных суток.
• Лунный месяц примерно на час длиннее, чем это предсказывает формула.
• Точки, в которых орбита Луны пересекает плоскость земной орбиты (узлы лунной орбиты), движутся назад вдоль орбиты с периодом 18,6 лет.
• Большая ось лунной орбиты вращается в прямом направлении (т. е. в направлении орбитального движения Луны) с периодом, немного меньшим 9 лет.
• Направление оси вращения Земли не является абсолютно неизменным: ось прецессирует относительно перпендикуляра к плоскости земной  орбиты в направлении, обратном вращению Земли, с периодом 26 тыс. лет.

Все эти  эффекты малы. Каждый из них обусловлен так называемым дифференциальным, или приливным, гравитационным притяжением. Мы уже видели, что с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с центром масс, это притяжение компенсируется ускорением центра масс Земли, обусловленным совместным действием притяжения Солнца и Луны. Свободно падающий наблюдатель или космонавт, находящийся в кабине невращающегося вокруг своей оси космического корабля с выключенным двигателем, не ощущает гравитационного ускорения. Однако компенсация бывает полной лишь в точке центра масс. Во всех остальных точках имеется остаточное ускорение, которое и обусловливает приливы в океане и атмосфере Земли, добавляет час к лунному месяцу, приводит к вращению большой оси лунной орбиты в прямом направлении, а линии узлов - в обратном, заставляет земную ось описывать каждые 26 тыс. лет слегка колеблющийся конус. Это остаточное ускорение мешает слиться воедино бесчисленным крохотным частицам, образующим кольца Сатурна, Юпитера и Урана.

Именно  объяснение этих разнообразных явлений  наиболее впечатляюще демонстрирует широту применимости и мощь теории тяготения Ньютона. Законы Кеплера дают избыточно определенное, но не слишком точное описание движения Луны и планет. Теория Ньютона не только позволяет вывести эти законы в несколько более общей форме из простого математического соотношения, определяющего гравитационное ускорение, но и показывает, что на основе того же простого соотношения можно объяснить как с качественной, так и с количественной точки зрения множество других явлений, казалось бы, не связанных между собой.

4. Закон всемирного тяготения  и сила притяжения к Земле

Частным, но крайне важным для нас видом  силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле. Эту  силу называют силой тяжести. Согласно закону всемирного тяготения, она выражается формулой

                                                       (17)

где т  – масса тела, М – масса  Земли, R – радиус Земли, h – высота тела над поверхностью Земли. Сила тяжести  направлена вертикально вниз, к центру Земли.

где т – масса тела, М – масса Земли, R – радиус Земли, h – высота тела над поверхностью Земли. Сила тяжести направлена вертикально вниз, к центру Земли.

Более точно, помимо этой силы, в системе отсчета, связанной с Землей, на тело действует центробежная сила инерции , которая возникает из-за суточного вращения Земли, и равна

,  (18)

где m – масса тела; r – расстояние между телом и земной осью. Если высота тела над поверхностью Земли мала по сравнению с ее радиусом, то

,  (19)

 где R – радиус Земли, φ – географическая широта, на которой находится тело (см. рисунок ниже). С учетом этого:

.  (20)

Силой тяжести называется сила, действующая  на любое находящееся вблизи земной поверхности тело. Она определяется как геометрическая сумма действующей  на тело силы гравитационного притяжения к Земле  и центробежной силы инерции , учитывающей эффект суточного вращения Земли вокруг собственной оси, т. е.  Направление силы тяжести является направлением вертикали в данном пункте земной поверхности.

Но  величина центробежной силы инерции  очень мала по сравнению с силой притяжения Земли (их отношение составляет примерно 3∙10^–3), то обычно силой пренебрегают. Тогда .

Сила  тяжести сообщает телу ускорение, называемое ускорением свободного падения. В соответствии со вторым законом Ньютона

 (21)

С учетом выражения  для модуля ускорения  свободного падения будем иметь

           (22)