Гармонические функции и их свойства

Содержание.

1. Введение………………………………………………………2

2. Свойства гармонических функций ………………………..  3

3. Список литературы………………………………………….27

                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        1. Введение

Определение 1.1.

Функцию будем называть гармонической функцией в области , если принадлежит классу и удовлетворяет в каждой точке уравнению Лапласа .

( - символ дифференциального оператора). Это уравнение обычно называют  уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782 г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике и другим разделам математической физики. Заметим, что в силу линейности уравнения Лапласа - любая линейная комбинация гармонических функций с действительными постоянными коэффициентами снова является гармонической функцией. Потенциалы важнейших векторных полей, рассматривающихся в физике, являются гармоническими функциями, и любую гармоническую функцию можно представлять физически как потенциал некоторого поля. Поэтому и в общем случае гармонические функции часто называют потенциалами, а теорию гармонических функций - теорией потенциала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      2. Свойства гармонических функций

2.1. Формулы Грина. Интегральное представление решения.

При изучении уравнений эллиптического типа мы часто будем пользоваться формулами Грина являющимися прямым следствием формулы Остроградского – Гаусса.

   Формула Остроградского  – Гаусса в простейшем случае  имеет вид

                               

где некоторый объем ограниченный достаточно гладкой поверхностью произвольная функция непрерывная в области и дифференцируемая внутри угол между внешней нормалью к и осью В справедливости этой формулы нетрудно убедиться выполняя интегрирование по

Формулу Остроградского – Гаусса обычно записывают в виде

 

где элемент объема углы внешней нормали к поверхности с координатными осями произвольные дифференцируемые функции.

       Если  рассматривать как компоненты некоторого вектора то формулу Остроградского – Гаусса (2) можно записать следующим образом:

 

где      и составляющая вектора вдоль внешней нормали.

Перейдем теперь к выводу формул Грина.

Пусть и функции непрерывные вместе со своими первыми производными внутри и имеющие непрерывные вторые производные внутри

Полагая и пользуясь формулой Остроградского – Гаусса ( приходим к так называемой первой формуле Грина:

 
 

где оператор Лапласа производная по направлению внешней нормали.

Если учесть соотношение

 

то формулу Грина можно представить в виде

 

Меняя местами функции и будем иметь

 

Вычитая из равенства ( равенство получаем вторую формулу Грина

 

Область может быть ограничена несколькими поверхностями. Формулы Грина применимы и в этом случае причем поверхностные интегралы следует брать по всем поверхностям ограничевающим область

        Для  функций  двух переменных имеют место аналогичные формулы Грина. Вторая формула Грина в области с границей имеет вид

 

где элемент дуги вдоль производная по направлению внешней к контуру нормали

Функция   где

                                                                         расстояние между точками   и                                   

   удовлетворяет                                                   Рис. 1                                                                                                                            

уравнению Лапласа при                                                                                                  

Пусть функция непрерывная вместе с первыми производными в области и имеющая вторые производные в Рассмотрим функцию   где   некоторая внутренняя точка области Поскольку эта функция имеет внутри разрыв непрерывности в точки то непосредственно применить вторую формулу Грина в области к функциям и нельзя. Однако функция  ограничена в области с границей где шар радиуса с центром в точке и поверхностью (рис. 1).

      Применяя  вторую формулу Грина (5) к функциям  и в области     получаем

      
 
  В правой части этого равенства только последние два интеграла зависят                    от Вычисляя производную по внешней нормали к области на найдем, что    откуда

          

где среднее значение функции на поверхности Преобразуем третий интеграл:

   

Здесь среднее значение нормальной производной на сфере Подставляя выражения (7) и (8) в формулу (6) и учитывая что   в будем иметь 

Устремим теперь радиус к нулю. Тогда получим: 

1) так как непрерывная функция а ее среднее значение по сфере радиуса с центром в точке                                       2) так как из непрерывности первых производных функции внутри сразу же вытекает ограниченность нормальной производной

  в окрестности точки                 

3) по определению несобственного интеграла   

 

В результате указанного предельного перехода мы приходим к основной интегральной формуле Грина

 

где точка с координатами лежащая на поверхности     

Если точка находится вне области то непрерывна и гармонична во всех точках области Поэтому слева в формуле получим нуль. 

      Рассмотрим  случай когда   принадлежит поверхности                               Предположим что    имеет в касательную плоскость с непрерывными угловыми коэффициентами. Сфера радиуса с центром в пересекает поверхность и делит ее на две части: и  часть  лежит внутри шара Формулу Грина применим к и в области где область ограниченная  и частью сферы лежащей внутри Общая схема рассуждений приведших к (9) остается неизменной. При этом следует лишь учесть что интеграл по стремится к и внести соответствующие изменения в и В результате мы приходим к формуле получающейся из при замене и .

       Объединяя  все случаи запишем основную формулу Грина в виде

 

 

где  принимает следующие значения:

 

Отметим что если точка является конической вершиной поверхности то где величина телесного угла образуемого касательными к в точке

          Для гармонической функции  и формула принимает вид

   

(здесь точка внутри ).

         Таким образом значение гармонической функции в любой внутренней точке области выражается через значение этой функции и ее нормальной производной на поверхности области. При этом предполагается непрерывность функции и ее первых производных вплоть до границы. Отметим сразу же что каждый из интегралов                            

 где и непрерывные функции является гармонической функцией вне поверхности В самом деле поскольку подынтегральные функции и все их производные непрерывны вне поверхности то производные функций любого порядка можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. Так как кроме того функции

  и  
удовлетворяют уравнению Лапласа по переменным то в силу обобщенного принципа суперпозиции функции также удовлетворяют уравнению Лапласа по переменным

     Отсюда вытекает важное следствие: всякая гармоническая функция внутри области гармоничности дифференцируема бесчисленное множество раз. Отметим также что гармоническая функция аналитична (разлагается в степенной ряд) во всякой точке области В этом можно убедится с помощью рассуждений основанных на том же интегральном представлении

       Аналогичные  формулы имеют место и для  гармонических функций двух независимых  переменных. Пусть  некоторая область на плоскости ограниченная контуром а направление нормали к этому контуру внешнее по отношению к области

      Полагая во второй формуле Грина 

 где расстояние от фиксированной точки до точки и проводя рассуждения подобные тем которые были проведены для трехмерного случая получим основную формулу Грина на плоскости:

 

где  

Если гармоническая внутри функции и лежит внутри то

 

2.2. Некоторые основные свойства гармонических функций.

Установим несколько важнейших свойств гармонических функций.

1. Если функция гармоническая в области ограниченной поверхность то 

где любая замкнутая поверхность целиком лежащая в области

В самом деле подставляя в первую формулу Грина какую – либо гармоническую функцию и функцию сразу же получаем формулу Из формулы следует что вторая краевая задача

 в  на может иметь решение только при условии  

Это свойство гармонических функций можно интегрировать как условие отсутствия источников внутри области

2. Теорема  о среднем значении. Если функция гармонична в некоторой области а какая-нибудь точка лежащая внутри области то имеет место формула

 

где сфера радиуса с центром в точке целиком лежащая в области  
            Эта теорема утверждает что значение гармонической функции в некоторой точке равно среднему значению этой функции на любой сфере с центром в если сфера не выходит из области гармоничности функции

       Применим формулу к шару с центром в точке и поверхностью :

 

Принимая во внимание что

 

(направление внешней  нормали к совпадает с направлением радиуса) сразу же получаем

      Записывая  в виде

    

и интегрируя по от 0 до получаем

     

т.е. есть среднее по объему шара с границей

Для случая двух независимых переменных имеет место аналогичная теорема о среднем значении:

 

где окружность радиуса с центром в точке лежащая в области гармоничности

3. Принцип максимального значения.

Если функция определенная и непрерывная в замкнутой области удовлетворяет уравнению внутри то максимальное и минимальное значения функции достигает на поверхности

Допустим что функция достигает максимального значения в некоторой внутренней точке области Окружим точку сферой радиуса целиком лежащей внутри области Поскольку по предположению есть наибольшее значение функции в то Пользуясь формулой среднего значения и заменяя под интегралом всюду значением получаем

 

Если предположить что хотя бы в одной точке сферы то очевидно что вместо знака будем иметь знак а это приводит к противоречию. Таким образом на всей поверхности имеет место            

Если минимальное расстояние от до поверхности то               для всех точек  лежащих внутри Отсюда следует что в точках принадлежащих общей части и по непрерывности   Это доказывает теорему поскольку мы убедились что максимальное значение достигается в точках границы

Нетрудно убедиться что если область связная и максимальное значение достигается хотя бы в одной внутренней точке то во всей области. Пусть какая-либо другая точка области Соединим точку с точкой ломаной линией длину которой обозначим

Рис. 2

Пусть есть последняя точка выхода линии из   В этой точке Опишем из нее сферу радиуса касающуюся и пусть последняя точка выхода  из в этой точке Продолжая процесс дальше получим что не более чем через шагов где минимальное расстояние от до одна из этих сфер захватит точку откуда следует что В силу произвольности и  непрерывности в замкнутой области заключаем что  всюду включая точки границы. Таким образом из всех гармонических функций только постоянная может достигать своего максимального значения во внутренних точках области.                                               

    Аналогичную теорему  можно доказать и относительно  минимального значения.                    

Следствие 1. Если функции и непрерывны в области гармоничны в и если на то всюду внутри

В самом деле функция  непрерывна в гармонична в и           на

В силу принципа максимального значения всюду внутри откуда и следует наше утверждение.

 Следствие 2. Если функции и непрерывны в области гармоничны в и если на то всюду внутри

Из условий теоремы следует что три гармонические функции: удовлетворяют неравенствам на .

Применяя дважды следствие 1 получаем что всюду внутри или всюду внутри

Следствие 3. Для гармонической в и непрерывной в функции выполняется неравенство всюду в

    Для доказательства следствия 3 достаточно положить и воспользоваться следствием 2.

   Хотя изложение  проводилось для трех измерений однако все результаты переносятся на случай гармонических функций любого числа переменных.

 

 

 

 
                                                                                   

2.3. Единственность и устойчивость решения первой внутренней краевой задачи.

Пусть дана область ограниченная замкнутой поверхностью на которой задана некоторая функция . В простейшем случае, когда граничная функция непрерывна первая внутренняя краевая задача (внутренняя задача Дирихле) для уравнения Лапласа обычно ставится следующим образом.

Требуется найти функцию , которая:

а) определена и непрерывна в замкнутой области включая границу;

) удовлетворяет  внутри области  уравнению

в) принимает на границе заданные значения .

В условии   предполагается гармоничность функции внутри области

Требование гармоничности на границе является излишним, так как оно повлекло бы за собой дополнительные ограничения для граничных значений.

      Условие  непрерывности  в замкнутой области (или какое-либо другое условие разъясняющее смысл того что функция принимает на границе заданные значения) необходимо для единственности. Если отказаться от этого условия, то любую функцию, равную постоянной внутри и заданной функции на можно рассматривать как решение задачи поскольку она удовлетворяет условиям   в.

Докажем теорему единственности.

Первая внутренняя краевая задача для уравнения Лапласа не может иметь двух различных решений.

Допустим, что существуют две различные функции и являющиеся решением задачи т.е. функции непрерывные в замкнутой области удовлетворяющие внутри области уравнению Лапласа и на поверхности принимающие одни и те же значения . Разность этих функций обладает следующими свойствами:

1) внутри области

2) непрерывна в замкнутой области T+

3) =0.

Функция таким образом, непрерывна и гармонична в области и равна нулю на границе. Как известно, всякая непрерывная функция в замкнутой области достигает своего максимального значения. Убедимся в том что Если функция и хотя бы в одной точке то она должна достигает положительного максимального значения внутри области что невозможно. Совершенно так же доказывается что функция не может принимать нигде внутри отрицательных значений. Отсюда следует что Перейдем к доказательству непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от граничных данных. Напомним что задача называется физически определенной если малому изменению условий определяющих решение задачив данном случае граничных условий соответствует малое изменение самого решения.

      Пусть  и непрерывные в T+ и гармонические внутри функции для которых на . Тогда это же неравенство выполняется внутри области

Таким образом доказали непрерывную зависимость решения от граничных условий и единственность решения первой внутренней краевой задачи.

2.4. Задачи с разрывными граничными условиями.

Часто встречается также первая краевая задача с разрывными граничными условиями. Функция непрерывная в замкнутой области не может быть решением этой задачи. Поэтому требуется уточнить постановку первой краевой задачи применительно к рассматриваемому случаю.

       Пусть  на кривой  ограничивающей область на плоскости задана кусочно-непрерывная функция Требуется найти функцию

1) гармоническую внутри области S

2) непрерывно примыкающую к граничным значениям в точках непрерывности

3) ограниченную в замкнутой области

     Заметим, что  дополнительное требование ограниченности  фактически относится к окрестностям  точек разрыва функции 

  Докажем следующую теорему.

Решение первой краевой задачи  с кусочно-непрерывными граничными значениями единственно.

 Пусть два решения поставленной задачи. Разность –

1) является гармонической функцией внутри

2) непрерывно примыкает к нулевым граничным значениям на границе за исключением точек разрыва   в которых она может претерпевать разрыв

3) ограничена в 

Построим гармоническую функцию

 

где произвольное положительное число диаметр области, расстояние от рассматриваемой точки до точки разрыва     Функция положительна, так как все слагаемые больше нуля.

       Построим  в каждой точке разрыва  круг радиуса выбрав δ так чтобы каждое слагаемое

                                          

на соответствующей окружности превосходило т.е. чтобы

Функция непрерывна в замкнутой области 
 
и на границе этой области.

Поэтому в силу принципа максимума является мажорантой функции  

Фиксировав произвольную точку из области и устремляя к нулю, получаем 
 

Следовательно так как не зависит от или

что и требовалось доказать.

2.5. Изолированные особые точки.

Рассмотрим особые точки гармонической функции. Пусть – изолированная особая точка, лежащая внутри области гармоничности функции . Представляются возможными два случая:

1) гармоническая функция  ограничена в окрестности точки 

2) гармоническая функция не ограничена в окрестности точки .

С особыми точками второго рода мы уже встречались ( например точка функции . Следующая теорема показывает, что первого типа особых точек не существует.

 Если ограниченная функция является гармонической внутри области , за исключением точки , то можно так определить значение , чтобы функция была гармонической всюду внутри .

Возьмем круг радиуса c центром в точке ,  целиком лежащий внутри , и рассмотрим внутри него  гармоническую функцию, совпадающую с функцией на окружности круга .

Составим разность которая:

1) гармонична всюду внутри кроме точки в которой не определена

2) непрерывно примыкает  к нулевым граничным условиям  на

3) ограничена в замкнутой области (

Так же как и при доказательстве предыдущей теоремы (п. 4), построим неотрицательную гармоническую функции 

Здесь произвольное положительное число радиус круга

 расстояние от рассматриваемой точки до точки разрыва

Построим круг с  центром в точке выбрав радиус так чтобы на его окружности и значение превосходило и рассмотрим область Функция непрерывна в замкнутой области и на границе этой области имеет место неравенство В силу принципа максимального значения неотрицательная функция является мажорантой функции

                               для .

Фиксируя произвольную точку области не совпадающую с и совершая предельный переход при получаем

 

Следовательно всюду за исключением быть может точки

 

Таким образом функция всюду в области за исключением точки совпадает с функцией Полагая получим функцию               гармоническую всюду внутри области                                                   Тем самым теорема доказана.

Аналогично проводится доказательство теоремы для случая трех измерений где в качестве мажорантной функции может быть взята функция 

При доказательстве теоремы мы предполагали что функция ограничена в окрестности точки Однако те же рассуждения остаются в силе если предположить, что функция в окрестности точки удовлетворяет неравенству   

где   произвольная функция стремящаяся к нулю при

т.е. в окрестности точки функция растет медленнее чем

Итак если функция является гармонической функцией внутри области за исключением точки в окрестности которой она растет медленнее, чем при , то эта функция является ограниченной в окрестности точки, и можно так определить значение , что функция и будет гармонической во всей области .

Аналогично в случае трех независимых переменных получим: если гармоническая функция в окрестности изолированной особой точки растет медленнее, чем :

  при  

то она ограничена в окрестности этой точки и можно так определить значение  , чтобы функция была гармонична и в самой точке.

2.6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности.

Гармоническая функция трех переменных называется регулярной в бесконечности если и , ,  

при достаточно большом .

Докажем, что если функция гармонична в некоторой замкнутой поверхности и равномерно стремится к нулю на бесконечности то она регулярна на бесконечности.

Условие равномерного стремления к нулю на бесконечности означает что существует такая функция что

                          ( при

где радиус-вектор точки

      Совершив преобразование Кельвина

                         где          

получим, что функция гармонична всюду внутри поверхности в которую переходит поверхность при преобразовании обратных радиусов - векторов за исключением начала координат где она имеет изолированную особую точку.

Из условия (4) следует что в окрестности начала координат для функции имеет место неравенство

                          ,

где   

                         при .

На основании последней теоремы п. 2.5. функция ограничена и гармонична при :

                  при , (21)

откуда и следует что

                            при .

В силу гармоничности функции      при можно написать:

,

где

                           ,     .

Отсюда, вычисляя производные , , и принимая во внимание ограниченность первых производных функции в окрестности точки

 получаем

  при .

Аналогичные оценки имеют место для производных и .

2.7. Внешние краевые задачи. Единственность решения двух- и трехмерных задач.

Внешние краевые задачи по-разному ставятся для трех и двух независимых переменных.

      Рассмотрим  сначала случай трех переменных. Пусть  область внешняя к некоторой замкнутой поверхности

       Первая внешняя краевая задача (внешняя задача Дирихле) состоит в следующем.

     Требуется  найти функцию  удовлетворяющую условиям:

    в неограниченной области

   и всюду непрерывна включая поверхность

   где функция заданная на поверхности

   равномерно стремится к 0 на бесконечности: при

Последнее условие является существенным для единственности решения в чем легко убедится на простом примере. Пусть требуется решить внешнюю первую краевую задачу для сферы радиуса постоянным граничным условием

                                       

Опуская условие видим что решениями задачи могут служить функции а также любая функция

                                                   где       

       Докажем что внешняя первая краевая задача для гармонических функций с тремя независимыми переменными имеет единственное решение.

      Предполагая существование двух решений и удовлетворяющих условиям видим что их разность представляет собой решение задачи с нулевыми граничными условиями. Поскольку условие выполнено также для функции то для произвольного можно указать такое что     при     

Если точка лежит внутри области (рис. 3.) заключенной между поверхностью и сферой то как то следует из принципа максимального значения примененного к области

 

Рис. 3.

  В силу произвольности  заключаем что в области а также и во всей области что и доказывает единственность решения внешней первой краевой задачи в пространстве.

       Первая внешняя краевая задача на плоскости ставится следующим образом:

       Требуется найти функцию удовлетворяющую условиям:                      

  в рассматриваемой в бесконечной области ограниченной контуром

  и всюду непрерывна включая границу

    где функция заданная на 

  ограничена в бесконечности т.е. существует такое число что

    Требование обращения решения в нуль на бесконечности и здесь оказывается достаточным чтобы доказать что двух разных решений быть не может но оно является слишком сильным так как при нем задача может оказаться вообще неразрешимой.

Рис. 4.

     Докажем что внешняя первая краевая задача для функций двух переменных имеет единственное решение.

     Допуская существование двух различных решений  и и рассматривая их разность являющуюся решением первой краевой задачи с нулевыми граничными условиями в силу условия будем иметь    где таковы что Обозначим через   область лежащую внутри и являющуюся дополнением к области так что есть вся плоскость. Возьмем точку внутри и окружность радиуса с центром в точке лежащую внутри (рис. 4). Гармоническая функция не имеет особенностей в области функция положительна во всей области включая Пусть окружность радиуса с центром в  содержащая целиком контур Функция определяемая равенством

 

есть гармоническая функция равная на окружности радиуса положительная на Из принципа максимального значения следует что является мажорантой для модуля функции в области

 

Фиксируем точку и будем неограниченно увеличивать Очевидно что Отсюда следует что

Тем самым в силу произвольности единственность решения поставленной задачи доказана.

      Единственность  решения этой задачи можно также доказать пользуясь преобазованием обратных радиусов-векторов переводящим область внешнюю к контуру в область внутреннюю к контуру в который переходит контур При этом бесконечна удаленная точка перейдет в изолированную особую точку в окрестности которой функция ограничена. Из теоремы п. 5 будет вытекать гармоничность функции в начале координат а тем самым и единственность решения.

       Из приведенных рассуждений следует что гармоническая функция двух переменных ограниченная в бесконечности стремится к определенному пределу при стремящейся к бесконечности.

      Различие  в постановке первой внешней  краевой задачи для двух и  трех переменных можно пояснить  на следующем физическом примере. Пусть дан шар радиуса  на поверхности которого поддерживается постоянная температура и требуется определить стационарное распределение температуры во внешнем пространстве. Функция представляет решение этой задачи обращающееся в нуль на бесконечности.

     Рассмотрим  теперь двумерную задачу. Пусть  на окружности радиуса задано постоянное граничное значение:

                           

В этом случае есть единственное ограниченное решение задачи и никакого решения обращающегося в нуль на бесконечности не существует. Мы уже встречались с принципиально различным характером поведения гармонических функций в бесконечности для двух и трех независимых переменных ( например поведение на бесконечности).

     Для пространственной  и плоской неограниченных областей  имеет место принцип максимального  значения. В этом нетрудно убедиться  с помощью рассуждений аналогичных тем которые были использованы при доказательстве теорем единственности. Отсюда в свою очередь вытекает непрерывная зависимость решения от граничных условий.