Группировки в статистике

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО Тюменский  государственный нефтегазовый университет

филиал ТОБОЛЬСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

 

кафедра гуманитарных дисциплин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Общая теория статистики»

Тема: «Группировки в статистике»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:  

  ст. гр. ЭП-05-1

                                         Синицын А. С.

                               

 

          Проверила:  

 Ламбина Г. Г.

                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тобольск 2006

 

1 задача: В результате 5 %-ного выборочного обследования (случайная, бесповторная выборка) фермерских хозяйств в одной из областей были получены следующие данные:

Номер фермерского хозяйства	Удой от 1-й коровы за год, цн.	Расход кормов на 1 корову за год ц.к.ед.
1	26	40
2	25	38
3	28	39
4	24	43
5	32	41
6	38	44
7	28	40
8	25	38
9	29	39
10	28	39
11	33	42
12	36	42
13	37	43
14	36	43
15	37	43
16	33	40
17	30	40
18	27	37
19	29	37
20	32	41
21	28	40
22	32	40
23	31	41
24	33	41
25	38	41

Задание: Проведите статистический анализ полученных данных. Для этой цели:

1. Постройте статистический  ряд распределения фермерских  хозяйств по удою от 1-й коровы  за год, образовав 4 группы с  равными интервалами. Постройте  график ряда распределения;

2. Рассчитайте характеристики ряда распределения фермерских хозяйств по удою от 1-й коровы за год:

                         - среднюю арифметическую;

                         - среднее линейное отклонение;

                         - среднее квадратичное отклонение;

                         - дисперсию;

                         - коэффициент вариации.

Сделайте выводы.

Решение:

I. 1. Величина интервала рассчитывается по формуле

ί=(x_max - x_min)/n

,

где ί – величина интервала, n – число групп, x_{max –} максимальное значение признака, x_min – минимальное значение признака.

ί = (38 – 24)/4=3,5

 

 

Таблица 1

Распределение фермерских хозяйств по удою молока от 1-й коровы за год

Группы фермерских хозяйств	Число фермерских хозяйств	Удой молока от 1-й коровы за год, ц.	Расход кормов на 1 корову за год, ц.к.ед.
24-27,5	5	127	196
27,5-31	8	231	315
31-34,5	6	195	245
34,5-38	6	222	256
Итого	25	775	1012

 

Графический интервальный ряд  распределения изображается в виде гистограммы. На оси абсцисс откладываем  интервалы ряда, высота которых равна частотам, отложенным на оси ординат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. а. Среднее арифметическое рассчитывается по формуле

                                       

= (Σ x_i*f_i)/Σf_i    ,

 где  –

среднее арифметическое, x_i  - значение признака, f_i –частота признака.

Таблица 2

Распределение фермерских хозяйств по удою на 1 корову

Группы фермерских хозяйств по удою от 1 коровы	Середина интервала x׳	Число хозяйств f	x׳*f
24-27,5	25, 75	5	128, 75
27,5-31	29, 25	8	234
31-34,5	32, 75	6	196, 5
34,5-38	36, 25	6	217, 5
Итого	x	25	776, 75

x׳ = (24+27, 5)/2=25, 75

x׳ = (27, 5+31)/2= 29, 25

x׳ = (31+34, 5)/2=32, 75

x׳ = (34, 5+38)/2=36, 25

 

x׳*f = 25, 75*5=128, 75

x׳*f = 29, 25*8=234

x׳*f =32, 75*6=196, 5

x׳*f = 36, 25*6=217, 5

= 776, 75/25= 31, 07 ц.

Средний удой на 1 корову в год 25-ти фермерских хозяйств  составил 37, 07 ц.

б). Среднее линейное отклонение определяется по формуле

= (Σ x_i - *f)/Σf_i,

 где – среднее линейное отклонение, x_{i –} значение показателя_, – среднее арифметическое, f- частота.

Таблица 3

Распределение фермерских хозяйств по удою на 1 корову в год

Группы фермерских хозяйств по удою на 1 корову	Середина интервала x׳	Число хозяйств f	xi׳ -	(xi׳- )*f
24-27,5	25, 75	5	-5, 32	26, 6
27,5-31	29, 25	8	-1, 82	14, 56
31-34,5	32, 75	6	1, 68	10, 08
34,5-38	36, 25	6	5, 18	31, 08
Итого	x	25		82, 32

(x_i ^׳ - ) 25, 75-31, 07=-5, 32

(x_i ^׳ - ) = 29, 25-31, 07=-1, 82

(x_i ^׳ - ) =32, 75-31, 07=1, 68

(x_i ^׳ - ) =36, 25-31, 07=5, 18

(x_i׳- )*f= 5, 32*5=26, 6

(x_i׳- )*f= 1, 82*8=14, 56

(x_i׳- )*f=1, 68*6=10, 08

(x_i׳- )*f= 5, 18*6=31, 08

 

=82, 32/25=3, 2928 ц. или 3, 3ц.

Вывод: Удой молока от коровы может отклоняться от среднего значения на 3, 3ц.

 

в). Среднее квадратичное отклонение, выполненное способом моментов.

Исходные варианты признака x_i заменим условными значениями x׳ =(x – A)/k, где А – варианта признака, стоящая в середине ряда распределения; k – величина интервала ряда распределения, равная 3, 5.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4

Распределение фермерских хозяйств по удою от 1-й коровы в год

 

Группы фермерских хозяйств по удою на 1 корову	Середина интервала x׳	Число хозяйств f	(x׳ – А)/k	((x׳ – А)*f)/k	((x׳– A)2*f)/k
24-27,5	25, 75	5	-2	-10	20
27,5-31	29, 25	8	-1	-8	8
31-34,5	32, 75	6	0	0	0
34,5-38	36, 25	6	1	6	6
Итого	x	25	x	-12	34

А=32, 75

(x׳ – А)/k=(25, 75-32, 75)/3, 5=-2

(x׳ – А)/k=(29, 25-32, 75)/3,5=-1

(x׳ – А)/k=(32, 75-32, 75)/3,5=0

(x׳ – А)/k=(36, 25-32, 75)/3,5=1

 

((x׳ – А)*f)/k=-2*5=-10

((x׳ – А)*f)/k=-1*8=-8

((x׳ – А)*f)/k=0

((x׳ – А)*f)/k=1*6=6

 

((x – A)²*f)/k= (-2)²*5=20

((x – A)²*f)/k=(-1)²*8=8

((x – A)²*f)/k=0

((x – A)²*f)/k=1²*6=6

 

Средне квадратичное отклонение исчисляется по формуле

= ((Σ(x׳– A)²*f/k)/Σf)^1/2

= (34/25)^1/2=1, 166

Вывод: Отклонение от среднего удоя составляет 1, 166ц., исчисленная  по средне квадратическому отклонению.

г). Дисперсия определяется по формуле

²= (Σ x׳²*f)/Σf - ( Σ x׳*f)/ Σf ²

Таблица 5

Распределение фермерских хозяйств по удою молока от 1-й коровы в год

 

Группы фермерских хозяйств по удою на 1 корову	Середина интервала x׳	Число хозяйств f	x׳*f	x׳ 2*f
24-27,5	25, 75	5	128, 75	3315, 3
27,5-31	29, 25	8	234	6844, 5
31-34,5	32, 75	6	196, 5	6435, 38
34,5-38	36, 25	6	217, 5	7844, 38
Итого	x	25	776, 75	24439, 6

 

x׳ ²*f=663, 0625*5=3315, 3

x׳ ²*f=855, 5625*8=6844, 5

x׳ ²*f=1072, 56*6=6435, 38

x׳ ²*f=1314, 06*6=7844, 38 

²=24439, 6/25 – (776, 75/25)²= 977, 584 – 965, 34=12, 244

Коэффициент вариации

υ=

/

Таблица 6

Расчет коэффициента вариации

Наименование  показателя	Среднее арифметическое,	Среднее квадратическое отклонение	Коэффициент вариации υ, %
Удой от 1-й  коровы в год	31, 07	1, 166	3, 75

 

υ=(1, 166/31, 07)*100%=3, 75%

Вывод: Для построения статистического ряда фермерских хозяйств по удою от 1-й коровы в год определили интервал, равный 3, 5. Наибольший удой – 38 ц. составил в 2-х хозяйствах, наименьший – 24 ц. в 1-м хозяйстве.

Графически интервальный ряд распределения фермерских хозяйств от 1-й коровы изобразили в виде гистограммы, наглядно показывающей количество хозяйств по интервалам удоя молока от 1-й коровы в год.

Среднее арифметическое взвешенное показывает, что средний удой от 1-й коровы в год по 25-ти хозяйствам составляет 31, 07 ц.

Среднее линейное отклонение, равное 3, 3 ц., показывает, что изучаемый  признак отклоняется от средней  на 3, 3 ц.

Среднее квадратичное отклонение составило 1, 166 ц. от среднего удоя молока от 1-й коровы. Коэффициент вариации показывает, что изучаемый признак варьирует на 3, 75%.

2 задача: Используя данные, определите среднее значение по каждому признаку. Формулы записать, используя буквенные обозначения признаков. Указать, какие виды средних применялись.

 

Факультеты вуза	Число студентов,  xi	Число студентов в группе, чел. y	Средний балл в сессию p	Процент отличников на факультете, z	Число вечеров отдыха за семестр, q
ЭФ	325	25	4,2	28	3
ГФ	245	35	4,3	35	5
БФ	390	30	4,5	25	2
МФ	560	28	3,9	20	3

Решение:

1. Число студентов в среднем ( ) на каждом факультете вуза определим по формуле средней арифметической простой, если известно, что в учебном заведении имеется 4 факультета

=(x₁+x₂+…+x_n)/4 ,

где n – число единиц совокупности, - среднее число студентов на факультете вуза (средняя простая арифметическая), x_i – число студентов на каждом факультете (вариант рассматриваемого признака).

=(325+245+390+560)/4=380 студентов

 

2. Число студентов в группе ( ) можно определить, применив среднюю арифметическую

=Σx/Σx/y

Логическая формула исчисления численности студентов в группе равна – число студентов на факультетах делим на число групп.

 

=(325+245+390+560)/(325/25+245/35+390/30+560/28)=28, 679 29 человек

3. Средний балл в сессию ( ) в целом по учебному заведению определим, применив среднюю арифметическую взвешенную

=Σp* x_i/Σ x_i= (4, 2*325+4,3*245+4,5*390+3,9*560)/(325+245+390+560)=4, 18

4. Число вечеров отдыха за семестр в среднем проведенных каждым факультетом ( ) определим по формуле простой средней арифметической

=Σq/n=(3+5+2+3)/4=3,25 или 3

5. Средний процент отличников на факультете ( ) определим по формуле средней арифметической взвешенной, если абсолютное значение весов заменим процентом, представляющим удельный вес отличников на факультете.

=Σz*x/Σx=(325*28%+245*35%+390*25%+560*20%)/(325+245+390+560)=25, 41%

3 Задача: Имеются следующие данные о производстве яиц на одной из птицефабрик области:

Годы	Производство яиц, млн. штук
1983	56.2
1984	61.2
1985	64.5
1986	65.8
1987	67.8
1988	69.0
1989	71.5
1990	73.4
1991	72.1
1992	70.8
1993	70.6
1994	69.3
1995	65.4
1996	65.8
1997	68.4

Проанализируйте динамику производства яиц на птицефабрике. С этой целью:

1. Определите вид динамического  ряда;

2. Определите аналитические показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста и прироста (ценные и базисные), абсолютное содержание 1% прироста. Результаты расчетов оформите в таблице. Покажите взаимосвязь ценных и базисных показателей;

3. Определите динамические средние за период: средний уровень ряда, среднегодовой темп роста и прироста;

4. Для определения общей  тенденции изменения объема производства  яиц проведите аналитическое  выравнивание и выразите общую  тенденцию соответствующим математическим  уравнением;

5. Определите выровненные  (теоретические) уровни ряда динамики  и нанесите их на график  с фактическими данными;

6. Предполагая, что выявленная  тенденция сохранится в будущем,  определите ожидаемый объем производства  яиц на птицефабрике на ближайшие  5-7 лет.

Сделайте выводы.

Решение:

Представлен интервальный динамический ряд, характеризующий состояние  явлений за определенные интервалы (периоды) времени. Интервал здесь годичный.

Годы	Производство яиц, млн. шт. (y)	Абсолютный прирост		Темп роста,%		Темп прироста		Абсолютное содержание 1% прироста
		цепной	базисный	цепной Tр ц	базисный Тр б	цепной Тпр ц	базисный Тпр б
1983	56.2	-	-	-	100	-	-	-
1984	61.2	5	5	108,9	108,9	8,9	8,9	0, 5618
1985	64.5	3,3	8,3	105,4	114,8	5,4	14,8	0,6111
1986	65.8	1,3	9,6	102	117,1	2	17,1	0,6520
1987	67.8	2	11,6	103	120,6	3	20,6	0,6666
1988	69.0	1,2	12,8	101,8	122,8	1,8	22,8	0,6666
1989	71.5	2,5	15,3	103,4	127,2	3,6	27,2	0,6944
1990	73.4	1,9	17,2	102,7	130,6	2,7	30,6	0,7037
1991	72.1	-1,3	15,9	98,2	128,3	-1,8	28,3	0,7222
1992	70.8	-1,3	14,6	98,2	126	-1,8	26	0,7222
1993	70.6	-0,2	14,4	99,7	125,6	-0,3	25,6	0,6666
1994	69.3	-1,3	13,1	98,2	123,3	-1,8	23,3	0,7222
1995	65.4	-3,9	9,2	94,4	116,4	-5,6	16,4	0,6964
1996	65.8	0,4	9,6	100,6	117,1	0,6	17,1	0,6666
1997	68.4	2,6	12,2	103,95	121,7	4	21,7	0,6500

Т_{прироста цепной} = y_цi/(y_i – 1) = 5/56.2*100%=8.892

Т_{прироста базисный} = y_бi /y₀ = 8.3/56.2*100%=14.8

1% прироста=3,3/5,4=0,6111

Взаимосвязь между цепным и базисным показателями проявляется:

б = ц

Т_{р базис}  = T_{р ц1} * T_{р ц2} *…* T_{р ц n}

Т_пр =  T_р – 1

Т_{пр ц}  = T_{р ц} -1

Т_{пр б}= Т_{р б}-1

Т_пр(%)=T_р(%) -100

Т_{р б 1985}= T_{р ц 1984}* T_{р ц 1985}

1.1480=1.089*1054

Т_{пр ц}= T_{р ц} -1

0.02=1.02-1

3. Определите динамические средние за период:

• средний уровень ряда;
• среднегодовой темп роста;
• среднегодовой темп прироста.

    В интервальном  ряду средний уровень исчисляется как простая арифметическая, т.е. путем деления суммы уровней на их количество.

В приведенном ряду начальный  уровень – 56,2, конечный – 68,4. Среднегодовой  уровень производства яиц за период с 1983 – 1997гг. составляет:

= =Σx/n=(56.2+61.2+64.5+65.8+67.8+69+71.5+73.4+72.1+70.8+70.6+69.3+65.4+65.8+68.4)/15= =1011.8/15=67.45

Это и есть средний уровень  динамического ряда, свидетельствующий  о том, что за период с 1983г. по 1997г. в среднем ежегодно производилось 67, 45 млн. шт. яиц. 

Средний темп роста: р = (T_{р ц1*} T_{р ц2} * T_{р ц m)}^1/m = Т_{р б}^1/m,

где m – число темпов роста, T_{р ц} – темп роста для отдельных периодов.

р₁ =(1,089*1,054*1,020*1,030*1,018*1,034*1,027*0,982*0,982*0,997*0,982*0,944*1,006*1,0395)^1/15=

=1,2148^1/15=1,0015 или 100,15%

Средний темп прироста = 0,15% (100,15-100)

 

Рис. 1. Динамика производства яиц птицефабрик области

 

4. Проведите аналитическое выравнивание и выразите общую тенденцию соответствующим математическим уравнением.

Аналитическое выравнивание по прямой выполним математическим уравнением:

 

ỹ_t = a + bt , где y_t – выровненный уровень динамического ряда; t – порядковый номер года или иного периода времени; a и b – параметры уравнения.

Система уравнения для  отыскания параметров a и b:

Σy = n*a + bΣt

Σyt = aΣt + bΣt²

 

n – число членов динамического ряда.

Для упрощения нахождения параметров a и b в динамическом ряду с нечетным числом уровней значения t среднего уровня, принимаем за начало отсчета и приравниваем к нулю. Значения t периодов (дат) расположенных выше середины, обозначим отрицательными числами: -1, -2, -3, -4 и т.д., а значения t периодов (дат), расположенных ниже середины, обозначим положительными числами: +1, +2, +3, +4 и т.д. В результате отмеченных преобразований сумма t будет равна 0 (Σt=0), а система нормальных уравнений упрощается:

 

 

Σy = n*a

                 Σyt = bΣt²  ,

отсюда параметр a = Σy/n, а параметр b= Σyt/ Σt²

Таблица 2

Выравнивание динамического  ряда по способу наименьших квадратов (уравнение прямой линии)

Год (n)	Производство яиц (y)	Отклонение от года, находящегося в середине (t)	Различные величины		ỹt =a+b*t
			yt	t2
1983	56.2	-7	-393,4	49	63,85
1984	61.2	-6	-367,2	36	64,36
1985	64.5	-5	-322,5	25	64,88
1986	65.8	-4	-263,2	16	65,39
1987	67.8	-3	-203,4	9	65,92
1988	69.0	-2	-138	4	66,43
1989	71.5	-1	-71,5	1	66,94
1990	73.4	0	0	0	67,45
1991	72.1	+1	72,1	1	67,96
1992	70.8	+2	141,6	4	68,48
1993	70.6	+3	211,8	9	68,99
1994	69.3	+4	277,2	16	69,52
1995	65.4	+5	327	25	70,02
1996	65.8	+6	394,8	36	70,54
1997	68.4	+7	478,8	49	71,05
Итого n=15  Σy=1011,8		Σt=0	Σyt=144,1	Σt2=280	~ Σy=1011,78

В итогах расчетной таблицы  №2 содержатся все данные для определения  неизвестных параметров a и b. Подставляя в 1-е упрощенное уравнение данные таблицы №2, получаем:

a = Σy/n = 1011,8/15=67,45

во второе уравнение:

b= Σyt/ Σt²=144,1/280=0,5146

Параметр a характеризует производство яиц в 1990г., т.е. даты года, значение t которого принято за нуль. Параметр b (или коэффициент пропорциональности) свидетельствует о том, что ежегодно за период с 1983 – 1997гг. производство возрастает на 0,5146 тыс. шт.

 Подставляя значение параметров a и b в уравнение прямой (ỹ_t = a + bt), рассчитаем среднее производство яиц птицефабрики на начало каждого года:

1983г. -67,45+0,5146(-7)=63,85

1984г. -67,45+0,5146(-6)=64,36

1985г. -67,45+0,5146(-5)=64,88

1986г. -67,45+0,5146(-4)=65,39

1987г. -67,45+0,5146(-3)= 65,91                           

1988г. -67,45+0,5146(-2)=66,42

1989г. -67,45+0,5146(-1)=66,94

1990г. -67,45+0,5146(0)=67,45

1991г. -67,45+0,5146(1)=67,96

1992г. -67,45+0,5146(2)=68,48

1993г. -67,45+0,5146(3)=68,99

1994г. -67,45+0,5146(4)=69,51

1995г. -67,45+0,5146(5)=70,02

1996г. -67,45+0,5146(6)=70,54

1997г. -67,45+0,5146(7)=71,05

Суммы значений эмпирических и теоретических данных о производстве яиц должны совпадать с данными таблицы №2. 1011,78=1011,78 . Таким образом, получили выровненный ряд производства яиц на птицефабрике (графа 6 табл. 2), который характеризует тенденцию роста производства яиц с 1983 – 1997гг., а ежегодовой прирост 0,5146 тыс. шт. Более наглядно эту тенденцию можно проследить, если эмпирические и выровненные данные нанести на график 2.

 

Рис. 2. Динамика производства яиц на птицефабрике с 1983 -1997гг.

 

6. Предполагая, что выявленная тенденция сохранится в будущем,  определим ожидаемый объем производства яиц на птицефабрике на ближайшие 5-7 лет.

Таблица 3

Производство яиц на птицефабрике при сложившейся тенденции на ближайшие 5-7 лет

Годы	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Производство яиц, тыс. шт.	68,9	69,4	69,9	70,46	70,9	71,5	72

68,4+0,5146=68,9

68,9+0,5146=69,4

69,4+0,5146=69,9

69,9+0,5146=70,46

70,46+0,5146=70,9

70,9+0,5146=71,5

71,5+0,5146=72

Вывод: Если предположить, что  тенденция роста производства яиц  на птицефабрике возрастет в среднем  за год на 0,5146, то динамический ряд примет вид в таблицы №3, что несколько выше теоретических данных таблицы №1.