Интервальные ряды

1.Построение  интервального ряда  распределения банков  по объему кредитных  вложений

      Для построения интервального вариационного  ряда, характеризующего распределение  банков по объему кредитных вложений, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

      При построении ряда с равными интервалами  величина интервала h определяется по формуле

                             ,                                                   (1)

где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

      Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

                            k=1+3,322 lg n,                                                              (2)

где  n - число единиц совокупности.

       Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k = 5,           x_max = 150060 млн руб., x_min = 10060 млн руб.:

      При h = 28000 млн руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

      Таблица 2

      Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число банков, входящих в каждую группу (частоты групп). При этом возникает вопрос, в какую группу включать единицы совокупности, у которых значения признака выступают одновременно и верхней, и нижней границами смежных интервалов (для демонстрационного примера – это 38060, 66060, 94060, 122060 млн руб.). Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять по принципу полуоткрытого интервала [ ). Т.к. при этом верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, то соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую. В последний интервал включаются и нижняя, и верхняя границы.

      Процесс группировки единиц совокупности по признаку Депозиты юридических и физических лиц представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3.

     Таблица 3

Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

     На  основе групповых итоговых строк  «Всего» табл. 3 формируется итоговая табл. 4, представляющая интервальный ряд распределения банков по объему Депозитов юридических и физических лиц.

     Таблица 4

Распределение банков по объему кредитных вложений

     Помимо  частот групп в абсолютном выражении  в анализе интервальных рядов  используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 1.4. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

      Таблица 5

Структура банков по объему кредитных вложений

     Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности банков показывает, что распределение банков по объему Депозитов юридических и физических лиц не является равномерным: преобладают банки с Депозитами от 38060 млн., руб. до 66060 млн., руб. (это 11 банков, доля которых составляет 36,7%); 23,3% банков имеют депозиты менее 38060 млн., руб., а 76,7% – менее 66060 млн., руб.

1.2. Нахождение моды  и медианы полученного  интервального ряда  распределения графическим  методом и  путем  расчетов

     Мода  и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

     Мода  Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности¹. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис. 1 Определение  моды графическим методом

     Конкретное  значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

                                            (3)

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

    h –величина модального интервала,

    f_Mo – частота модального интервала,

    f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

    f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

     Согласно  табл.1.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 38060-66060 млн. руб., так как его частота максимальна (f₃ = 11).

     Расчет  моды по формуле (3):

     Вывод. Для рассматриваемой совокупности банков наиболее распространенный объем депозитов характеризуется средней величиной 49260 млн., руб.

     Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

     Медиану можно определить графическим методом  по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Рис. 2. Определение медианы графическим методом

     Конкретное  значение медианы для интервального  ряда рассчитывается по формуле:

                             ,                                       (4)

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

      h – величина медианного интервала,

       – сумма всех частот,

      f_Ме – частота медианного интервала,

      S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

     Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

     В демонстрационном примере медианным  интервалом является интервал    38060-66060 млн. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 11 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

     Расчет  значения медианы по формуле (4):

     Вывод. В рассматриваемой совокупности банков половина банков имеют в среднем объем кредитных вложений не более 30424 млн руб., а другая половина – не менее 30424 млн руб.

     3. Расчет характеристик  ряда распределения

     Для расчета характеристик ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( – середина j-го интервала).

     Таблица 6

     Расчетная таблица для нахождения характеристик  ряда распределения

     Расчет  средней арифметической взвешенной:

           =66060 млн руб.    (5)

     Расчет  дисперсии:

                          (6) 

     Расчет  среднего квадратического отклонения: 

     y= млн руб. 

     Расчет  коэффициента вариации:

            (7) 

     Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средний объем депозитов юридических и физических лиц в банках составляет 66060 млн руб., отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 35233 млн руб. (или 53.3%), наиболее характерные значения объема депозитов находятся в пределах от 30827 млн руб. до 101293 млн руб. (диапазон ).

     Значение  V_σ = 53.3% превышает 33%, следовательно, вариация депозитов в исследуемой совокупности банков значительна и совокупность по данному признаку неоднородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме значительна ( =66060 млн. руб., Мо=49260 млн. руб., Ме=30424 млн. руб.), что подтверждает вывод об неоднородности совокупности банков. Таким образом, найденное среднее значение объема депозитов физ. и юр. лиц в банках (66060 млн руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности банков.

     Задание 2

      По  исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками – депозиты юридических и физических лиц и прибыль коммерческих банков, используя метод аналитической группировки.
2. Оценить тесноту и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

       3.   Оценить статистическую значимость показателя силы связи.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

     Выполнение  Задания 2

      Целью выполнения данного  Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи, оценка тесноты и силы связи.

    Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после  того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

    По  условию Задания 2 факторным является признак Объем депозитов физических и юредических лиц (X), результативным – признак прибыль коммерческих банков (Y).

1. Установление наличия  и характера связи  между признаками  Объем кредитных вложений и Сумма прибыли методом аналитической группировки

      Применение  метода аналитической  группировки

      При использовании метода аналитической  группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

      Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую  группировку, характеризующую зависимость  между факторным признаком Х – объем депозитов юридических и физических лиц и результативным признаком Y – Сумма прибыли. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7): 

      Таблица 7

Зависимость суммы прибыли банков от объема депозитов физ. и юр. лиц

      Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

     Таблица 8

Зависимость суммы прибыли банков от объема кредитных  вложений

      Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением объема кредитных вложений от группы к группе систематически возрастает и средняя прибыль по каждой группе банков, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

      2. Измерение тесноты  и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

     Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

     Эмпирический  коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

                                   ,                                                               (9)

где  – общая дисперсия признака Y,

        – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

      Значения  показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

     Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

                             ,                                                        (10)

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.