Инвариантные величины и основные законы сохранения в механике

Содержание

 

1. Инвариантные величины…………………………………………………………..2
2. Основные законы сохранения…………………………………………………….4
1. Закон сохранения энергии…………………………………………….5
2. Закон сохранения импульса…………………………………………..7
3. Закон сохранения момента импульса……………………………….9
3. Список литературы…………………………………………………………………..13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Инвариантные величины

Инвариант  — (от лат. invarians, род. п. invariantis — неизменяющийся) физическая величина, значение которой в некотором физическом процессе не изменяется с течением времени. Примеры: энергия, компоненты импульса и момента импульса в замкнутых системах.

 

Симметрия — (от греч. symmetria — соразмерность) законов физики. Если законы устанавливающие соотношение между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают симетрией (или инвариантны) относительно данных преобразований.

 

Симметрия в  физике
Преобразование	Соответствующая  инвариантность	Соответствующий  закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность  времени	…энергии
↔ Трансляции пространства	Однородность  пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность  пространства	…момента  импульса

Также инвариантами называются величины, независимые от условий наблюдения, в особенности — от системы отсчёта. Промежуток времени между двумя событиями, а также расстояние между ними (местами событий) для наблюдателей, движущихся в различных направлениях с разными скоростями, будут разными, однако интервал между этими событиями для всех наблюдателей будет один. Например, если рассматривать движение материальной точки в двух системах координат, повёрнутых одна относительно другой на некоторый угол, то проекции скорости движения в них будут разными, но квадрат скорости, а следовательно, и кинетическая энергия будут одинаковыми, т. е. кинетическая энергия инвариантна относительно поворота в пр-ве системы отсчёта.

Изотропия, изотропность (из др.-греч. ί̓σος «равный, одинаковый, подобный» + τρόπος «оборот, поворот; характер») — одинаковость физических свойств во всех направлениях, инвариантность, симметрия по отношению к выбору направления

 

Теореема Эмми Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения.

Так, закон сохранения энергии соответствует однородности времени,

закон сохранения импульса — однородности пространства,

закон сохранения момента импульса — изотропии пространства,

Теорема обычно формулируется  для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

Теорема установлена в  работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта, Ф. Клейна и Э. Нётер. В наиболее распространенной формулировке была доказана Эмми Нётер в 1918 году.

 

 

 

 

 

 

2. Законы Сохранения

Зако́ны сохране́ния — фундаментальные физические законы, согласно которым при определённых условиях некоторые измеримые физические величины, характеризующие замкнутую физическую систему, не изменяются с течением времени.

В механики изучают законы сохранения импульса, энергии и момента импульса.

 

Замкнутая система — если эта система не взаимодействует с окружающей средой, т.е если на неё не действует внешние силы.

 

Внутренние силы  — силы, действующие между материальными точками, образующие замкнутую систему.

Сохранения  законы - физические закономерности, согласно которым численные значения некоторых  физических величин не изменяются со временем в любых процессах или  в определенном классе процессов. Полное описание физической  системы возможно лишь в рамках динамических законов, которые детально определяют изменение состояния системы с течением времени. Однако во многих случаях динамический закон для данной системы неизвестен или слишком сложен. В такой ситуации Сохранения  законы позволяют сделать некоторые заключения о характере поведения системы. Важнейшими Сохранения законов, справедливыми для любых изолированных систем, являются законы сохранения энергии, импульса, момента количества движения, электрического заряда. Кроме всеобщих, существуют Сохранения законы, справедливые лишь для ограниченых классов систем и явлений.

Идея сохранения появилась сначала как чисто  философская догадка о наличии  неизменного (стабильного) в вечно  меняющемся мире. Ещё античные философы-материалисты пришли к понятию материи —  неуничтожимой и несотворимой основы всего существующего. С другой стороны, наблюдение постоянных изменений в  природе приводило к представлению  о вечном движении материи как  важнейшем её свойстве. С появлением математической формулировки механики на этой основе появились законы сохранения массы (французский химик А. Лавуазье) и механической энергии (нем. учёный Г. Лейбниц). Затем немецкий учёный Ю. Р. Майер, англ. физик Дж. Джоуль и  нем. учёный Г. Гельмгольц экспериментально открыли закон сохранения энергии  в немеханических явлениях. Таким  образом, к середине 19 века оформились законы сохранения массы и энергии, которые трактовались как сохранение материи и движения.

В нач. 20 в. оба эти Сохранения законы подверглись  коренному пересмотру в связи  с появлением специальной теории относительности; при описании движений систем большими (сравнимыми со скоростью света) скоростями классическая (ньютоновская) механика была заменена релятивистской механикой. Оказалось, что масса, определяемая по инерционным свойствам тела, зависит от его скорости и, следовательно, характеризует не только количество материи, но и её движение. Понятие энергии также подверглось изменению; полная энергия  оказалась пропорциональна массе (m). Таким образом, закон сохранения энергии в специальной теории относительности естественным образом объединил законы сохранения массы и энергии, существовавшие в классической механике; по отдельности эти законы не выполняются, т. е. невозможно охарактеризовать количествово материи, не принимая во внимание её движения и взаимодействий.

Эволюция  закона сохранения энергии показывает, что Сохранения законы, будучи почерпнутыми из опыта, нуждаются время от времени в экспериментальной проверке и уточнении. Нельзя быть уверенным, что с расширением пределов человеческого опыта данный закон или его конкретная формулировка останутся справедливыми. Закон сохранения энергии интересен ещё и тем, что в нём теснейшим образом переплелись физика и философия. Этот закон, всё более уточняясь, постепенно превратился из неопределённого и абстрактного философского высказывания в точную количественную формулу. Другие Сохранения законы возникли сразу в количественной формулировке. В современной физике Сохранения законы— необходимая составная часть её рабочего аппарата.

 

2.1 Закон сохранения  энергии

Зако́н сохране́ния  эне́ргии — фундаментальный закон природы, заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени.

С фундаментальной  точки зрения, согласно теореме Нётер, закон сохранения энергии является следствием однородности времени, то есть независимостью законов физики от момента времени, в который рассматривается система. В этом смысле закон сохранения энергии является универсальным, то есть присущим системам самой разной физической природы. При этом выполнение этого закона сохранения в каждой конкретно взятой системе обосновывается подчинением этой системы своим специфическим законам динамики, вообще говоря различающимся для разных систем.

В различных разделах физики по историческим причинам закон сохранения энергии формулировался независимо, в связи с чем были введены  различные виды энергии. Говорят, что  возможен переход энергии одного типа в другой, но полная энергия  системы, равная сумме отдельных  видов энергий, сохраняется. Ввиду  условности деления энергии на различные  виды, такое деление не всегда может  быть произведено однозначно.

Для каждого вида энергии  закон сохранения может иметь  свою, отличающуюся от универсальной, формулировку.

Формулировка закона сохранения из классической механики 
Согласно этому закону энергия никогда не создаётся и не уничтожается; она может только переходить из одного вида в другой.

Для наглядности закона обратимся  к следующему примеру:

Через блок перекинем два  груза,- большой массы M и меленький массой m. Большой груз тянет маленький и эта группа из двух блоков движется с возрастающей скоростью.

Движущей силой является разность в весе этих тел, Mg-mg. Так как в ускоренном движении участвуют масса обоих тел, то закон Ньютона будет записан так:

(M-m)g=(M+m)a

Рассмотрим два момента  движения и покажем, что сумма  выражений +gh, помноженных на соответствующие массы, действительно остаётся неизменной. Итак, требунтся доказать равенство:

m (+g) + M (+g) = m (+g) + M (+g)

Заглавными буквами обозначены физические величины, характеризующие  большой груз. Индексы 1и 2 относят  здесь величины к двум рассматриваемым  моментам движения.

Так как грузы связаны  верёвкой, то v₁=V₁, v₂=V₂. Используя эти упрощения и перенося все члены, содержащие высоты, в право, а члены со скоростями в лево получим:

()=mg+Mg-mg-Mg=mg()+Mg()

Разность высот грузов, разумеется, равны (но с обратным знаком, так как один груз поднимается, а  другой опускается). Таким образом,

()=g(M-m)S,

где S пройдены путь. Разность квадратов скоростей в начале и в конце отрезка пути проходимого с ускорением равна

=2aS.

Подставляя это выражение  в последнюю формулу найдём:

(m+M)a=(M-m)g

Это есть третий закон Ньютона (Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, другими словами действие двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны). Этим доказано: для двух тел сумма выражений +gh, умноженных на соответствующие массы, во время движения остаётся  неизменной, или, как говорят, сохраняется.

+mgh)+(+MgH)=const.

Для случаев с одним  телом это формула перейдёт в  ранее доказанную

+gh=const.

Половина произведения массы  на квадрат скорости называется кинетической энергии (Кинетическая энергия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек в выбранной системе отсчёта(энергия движущихся тел).

K=

Произведение веса тала на высоту называется потенциальной энергией тяготения тела к земле(Потенциальная энергия, часть общей механической энергии системы, зависящая от взаимного расположения частиц, составляющих эту систему, и от их положений во внешнем силовом поле(энергия взаимодействующих тел)

U=mgh.

Мы доказали, что во время  движения системы из двух тел сумма  кинетической и потенциальной энергий  тел остаётся не изменой.

Другими словами, увеличение кинетической энергии группой тел  может произойти лишь за счёт убывания  потенциальной энергии этой системы и наоборот. 

Доказанный закон называется законом сохранения механической  энергии.

 

 

2. Закон сохранения импульса

Покой и движение тела относительны, скорость движения зависит от выбора системы отсчёта. По второму закону Ньютона (сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение которое сообщает это тело. Если на тело действуют несколько сил то оно получает такое же ускорение, какое приобретает под действием одной силы, равной векторной сумме приложенных сил), независимо от того, находилось ли тело в покое, или двигалось равномерно и прямолинейно, изменение его скорости движения может происходить только под действием силы, то есть в результате взаимодействия с другими телами.

Как и  любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, —однородность пространства (то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве). 

В физике термин пространство понимают, в основном, в двух смыслах:

  1) так называемое обычное пространство, называемое также физическим пространством — трёхмерное пространство нашего повседневного. Это пространство, в котором определяется положение физических тел, в котором происходит механическое движение, геометрическое перемещение различных физических тел и объектов.

2) различные  абстрактные пространства в том  смысле, как они понимаются в  математике, не имеющие к обычному («физическому») пространству никакого  отношения, кроме отношения более  или менее далёкой формальной  аналогии. Обычно это те или  иные абстрактные векторные или линейные пространства, впрочем, часто снабженные разнообразными дополнительными математическими структурами. Как правило, в физике термин пространство применяется в этом смысле обязательно с уточняющим определением или дополнением (пространство скоростей, цветовое пространство)

 

Произведение  массы тела на его скорость называется импульсом тела (другое название количество движения). Так как скорость – вектор, то и импульс является векторной величиной. Разумеется направление импульса совпадает с направлением скорости движения тела.

При помощи нового понятия  закона Ньютона F=ma  может быто выражен иначе. Так как a=, то F=,  или Ft=mv₂-mv₁. Произведение силы на время её действия равно изменению импульса тела.

 

Рассмотрим действие закона на примере выстрела из пушки. Принцип отдачи орудия  можно сформулировать короче: сумма импульсов орудия и снаряда после выстрела  остаются равные нулю. Очевидно такой же она была и до выстрела, когда орудие  и снаряд находились в состоянии покоя.

Скорости, входящие в уравнение  m₁v₁+v₂v₂=0, это скорости непосредственно после выстрела. При дальнейшем движении снаряда и орудия на них начнут действовать силы тяжести,  сопротивления воздуха, а на пушку дополнительно- сила трения о землю. Если бы выстрел был произведён в безвоздушном пространстве из орудия, весящего в пустоте, тогда движение со скоростями v₁ и v₂ продолжалось бы  бесконечно. Орудие двигалось бы в одну сторону, а снаряд - в противоположную.

В артиллерийской практике в настоящее время широко применяются  орудия, установленные на платформе  и стреляющие на ходу.  Как же изменить выведенное уравнение, что бы оно  было применимо к выстрелу из такого орудия?  мы можем записать:

m₁u₁+m₂u₂=0,

где u₁, u2 - скорость снаряда и орудия по отношению к движущейся платформе.  Если скорость платформы V, то скорость орудия и снаряда по отношению к покоящемуся наблюдателю будет v₁=u₁V ,  v₂=u₂+V.

Подставляя  значения u₁, u₂  в последнее уравнение, получаем:

(m₁+m₂)V=m₁v₁+m₂v₂.

В правой части равенства  у нас стоит сумма импульсов  снаряда и орудия после выстрела, а в левой сумма массы орудия и снаряда  движущихся со скоростью  V. Значит, и в левой части равенства стоит общий импульс орудия и снаряда, но до выстрела.

Мы доказали важность закона, который  называется закон сохранения импульса. Доказали мы его для двух тел, но можно легко показать, что  такой результат может иметь  место и для любого числа тел.  Закон сохранения импульса говорит, что сумма импульсов нескольких тел,  находящихся во взаимодействии, не меняется в результате этого взаимодействия.

Ясно, что закон сохранения импульсов будет справедлив лишь тогда, когда на группу тел, которую  рассматривают, не действуют силы со стороны. Такая группа тел называется в физике замкнутой.

Пушка и снаряд во время  выстрела ведут себя, как замкнутая  группа двух тел, не смотря на то, что  испытывают силу Земного притяжения.  Вес снаряда мал по сравнению  с силой пороховых газов явление  отдачи произойдёт одинаково не зависимо от того, где будет произведена  выстрел.

Закон сохранения импульса позволяет легко решать различные  задачи, относящиеся к столкновению тел. Попробуем одним глиняным шаром  попасть в другой- они слипнуться и будут продолжать движение вместе; если выстрелить из ружья в деревянный шар, он покатиться вместе с застрявшей в ней пулей; стоящая вагонетка  покатиться, если  человек с разбегу прыгнет в неё. Все приведённые примеры с точки зрения физики весьма похожи. Правило, связывающие скорости тел при столкновениях такого типа сразу же получаются из закона сохранения импульса.

Импульсы тел до встречи  были m₁v₁, m₂v₂, после столкновения тела объединились, их общая масса равна m₁+m₂.   Обозначив скорости объединившихся тел через V получим:

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁+m₂)V

Напомним о векторном  характере закона сохранения импульса. Импульсы mv, стоящие в числителе формулы нужно складывать как вектора.

«Объединяющий» удар при  встрече движущихся под углом  тел. Для того, что бы найти величину скорости надо длину диагонали параллелограмма, построенного на векторах импульсов  встречающихся тел, разделить на сумму их масс.

Необходимым условием применимости закона сохранения импульса к системе  взаимодействующих тел является использование инерциальной системы  отсчёта. На законе сохранения импульса основано реактивное движение, его  используют при расчёте направленных взрывов, например, при прокладке  туннелей в горах. Полёты в космос стали возможными благодаря использованию  многостуᴨенчатых ракет.

 

 

2.3 Закон сохранения момента импульса 

Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента) — математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остаётся постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента  импульса есть проявление изотропной пространства относительно поворота.

Изотропная среда — такая область пространства, физические свойства которой не зависят от направления. Например, показатель преломления оптически изотропной среды одинаков во всех направлениях.

Момент импульса - физическая величина, характеризующая количество вращательного движения. Подчиняется закону сохранению, вытекающему из изотропности пространства.

Основное  уравнение динамики вращательного  движения совпадает с уравнением второго закона Ньютона для поступательного  движения. Поэтому для описания вращательного  движения можно провести аналогичные  обобщения, приведшие нас к закону сохранения импульса

 
  Уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси 

Iε = M, (1)

 
где ε = Δω/Δt − угловое ускорение тела, I − его момент инерции, М − сумма моментов внешних сил, действующих на тело, перепишем в виде 

Δ(Iω)/Δt = M. (2)

 
Физическая величина 

L = Iω

 
называется моментом импульса. Уравнение (2) оказывается применимым и для  описания вращения тел, момент инерции  которых изменяется в процессе движения, поэтому имеет более широкую  область применимости, чем уравнение (1). Теперь основное уравнение динамики формулируется так: скорость изменения  момента импульса тела равна суммарному моменту сил, действующему на тело. Доказать теоретически это утверждение  невозможно − мы провели обобщение, которое подтверждается многочисленными  экспериментами. Введенное нами определение  момента импульса L = Iω является частным случаем для этой физической величины.

 
 Дадим еще одно определение этой физической величины. Пусть материальная точка массы m движется со скоростью v. Импульсом тела называется векторная величина р = mv. Моментом импульса называется произведение импульса тела на плечо импульса (расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой направлен импульс): 

L = mvd. (3)

 
Это определение аналогично определению  момента силы. Можно дать эквивалентные  выражения формулы (3): 

L = mvd = mvrcosα = mv_τr,

 
где r − расстояние от оси вращения до рассматриваемой материальной точки, v_τ − составляющая скорости, перпендикулярная радиус-вектору рассматриваемого точечного тела.

 
  Аналогично моменту силы момент импульса может быть определен как векторная физическая величина, направленная перпендикулярно плоскости, содержащей вектор импульса mv и радиус-вектор r. При таком определении вектор момента импульса равен векторному произведению указанных векторов 

 
  Основное уравнение динамики вращательного движения также записывается в векторной форме: 

 
  Легко показать, что при вращении тела вокруг неподвижной оси из формулы (3) следует выражение для момента импульса L = Iω. 
  Действительно, при вращении вокруг неподвижной оси вектор скорости перпендикулярен прямой, соединяющей точку тела с осью вращения, величина скорости выражается через угловую скорость v = ωr. 

 
 
Поэтому момент импульса выражается формулой 

L = mvr = mr²ω = mr²ω = Iω,

 
где I = mr². 
  Если же рассмотреть вращение произвольного тела, то для того, чтобы вычислить момент импульса всего тела, достаточно мысленно разбить его на малые части и просуммировать моменты импульсов всех малых частей. Так как угловые скорости всех точек одинаковы, то суммирование сведется к суммированию моментов инерции точек. 
  Легко заметить, что при движении произвольной системы материальных точек изменение суммарного момента импульса полностью определяется моментом внешних сил. По третьему закону Ньютона, тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Так как силы взаимодействия направлены вдоль одной прямой, то плечи этих сил равны. Следовательно, при суммировании уравнений вращательного движения для произвольной системы моменты внутренних сил взаимно уничтожатся (подобно тому, как взаимно уничтожаются внутренние силы при сложении уравнений поступательного движения). Таким образом, для произвольной системы материальных точек оказывается справедливым уравнение (3^/), в котором М − вектор моментов только внешних сил. 
  Для замкнутой системы тел, не взаимодействующих с другими телами, не включёнными в систему, момент внешних сил равен нулю, поэтому для замкнутой системы суммарный момент импульса сохраняется. Это утверждение выражает еще один фундаментальный физический закон − закон сохранения момента импульса. 
  В теоретической физике показано, что он является следствием изотропности пространства, в котором происходят все физические явления. Если вы уверены в том, что результаты физического эксперимента одинаковы независимо от того, как ориентирована ваша экспериментальная установка, то вы должны признать закон сохранения импульса. 

Закон сохранения момента импульса также как и  закон сохранения энергии является фундаментальным законом природы. Он связан со свойством симметрии  пространства - его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчёта (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).  

Продемонстрируем закон сохранения момента импульса с помощью скамьи Жуковского. Человек, сидящий на скамье, вращающаяся вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели, вращается внешним механизмом с угловой скоростью ω₁. Если человек прижмёт гантели к телу, то момент инерции системы уменьшится. Но момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения ω₂ увеличивается. Аналогичным образом, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, с целью уменьшить свой момент инерции и тем самым увеличить угловую скорость вращения.  
 

Сопоставим  основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси  и его поступательное движение.

 

Список литературы

http://ru.wikipedia.org/wiki/

http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/

http://fizportal.ru/

Л.Д.Ландау, А.И.Китайгородский «Физика  для всех»

М.М.Архангельский «Курс физики (механика)»