Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Инвестиции и фиксированным доходом

РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ «ИНВЕСТИЦИИ С ФИКСИРОВАННЫМ ДОХОДОМ»

Задание I

На рынке ценных бумаг имеются безрисковые чисто дисконтные облигации B₁,В₂, В₃, В₄, сроки погашения которых в годах для каждого варианта указаны в таблице 1.

Вариант		4
Тип облигации	В₁	0,6
	В₂	1,5
	В₃	2,4
	В₄	3,1

Инвестиции в указанные облигации соответственно равны Р₁ Р₂, P₃, Р₄ долл. (табл. 2, столбцы 2, 4, 6, 8). При погашении каждой из дисконтных облигаций обещают выплатить номинальную стоимость, A₁ А₂, А₃ и А₄ долл., соответственно (табл. 2, столбцы 1, 3, 5, 7).

На рынке можно приобрести пятилетнюю купонную облигацию номиналом в 1000 долл., по которой обещают производить ежегодные 6%-ные купонные платежи. Если при выполнении пункта 1 (см. ниже) последовательность r(1), r(2), r(3) возрастает, то текущая стоимость облигации принимается равной 920 долл. Если указанная последовательность убывает, то текущая стоимость данной облигации принимается равной 1020 долл. В остальных случаях текущая стоимость рассматриваемой облигации принимается равной 960 долл.

Таблица 2

Вид облигации	В₁		В₂		В₃		В₄		В₅
Вар	А₁	Р₁	А₂	Р₂	А₃	Р₃	А₄	Р₄	А₅	f₅%	t
№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
4	150	145	150	137	150	128	400	320	200	9	2

1*. Используя методы интерполирования, определите временную структуру годовых процентных ставок, уравнение кривой рыночной доходности на пятилетнем периоде, а также безрисковые процентные ставки инвестирования на 1, 2,3,4 и 5лет, т.е. r(1), r(2), r(3), r(4), r(5).

2*. Постройте график кривой рыночной доходности r = r (t).

Задание II

В начальный момент времени t = 0 инвестор желает вложить капитал в купонную облигацию В₅, по которой обещают производить выплаты 1 раз в год по годовой купонной ставке f₅ в течение 5-и лет, а при погашении выплатить номинальную стоимость облигации А₅ долл. (табл. 2, столбцы 10,9).

3*. Оцените стоимость инвестиции в данную облигацию, соответствующую временной структуре безрисковых процентных ставок, вычисленных в п. 1*.

4*. Определите внутреннюю доходность этой облигации (r_внутр).

Кроме чисто дисконтных облигаций, указанных в табл. 2, на рынке появились купонные облигации, параметры которых приведены в табл. 3.(Набор облигаций для каждого варианта задан в табл.4)

Таблица 4

Вариант №		4
Тип облигации	В₆	1
	В₇	1
	В₈	1
	В₉	2
	В₁₀	2

5*. Проведите арбитражную оценку облигаций В₅ и В₁₀, используя критерии внутренней доходности и безрисковой ставки.

Замечание. Величины безрисковых процентных ставок инвестирования на срок t лет определяются парным сравнением ставок из временной структуры процентных ставок, полученной в п. 1*, и доходности облигаций В₆ В₇,В_8,В₉, В₁₀ (табл3).

6*. Проведите арбитражную оценку одной из двух облигаций В₅ или В₁₀ , которая по результатам п. 5 имеет меньшую доходность, с помощью закона одной стоимости, используя облигации, В₆ В₇ В₈, В₉ а также более доходную другую из облигаций B₅ или В₁₀ . Опишите арбитражный процесс.

Пусть минимальная номинальная стоимость каждой из облигаций В₅, В_6, B₇ ,В8, В₉, В₁₀ равна 100 долл. Инвестор имеет портфель на сумму 1000000 долл., в котором находится облигация с проведенной в п. 6* арбитражной оценкой. Купонный доход облагается налогом по ставке 30%. Комиссионные с продаж и покупок берутся по ставке 0,3%

7*. Опишите арбитражный процесс для указанного инвестора, используя данные табл. 3.

Если затраты на комиссионные не позволяют осуществить арбитраж, то укажите ставку комиссионных, позволяющую иметь доход после арбитражного процесса.

Задание III

Пусть безрисковые процентные ставки инвестирования на все сроки в промежутке времени до 5 лет одинаковы и равны внутренней доходности облигации, найденной в п. 4*.

8*. Вычислите дюрацию и выпуклость облигации, в которую предполагается вложить капитал в задании II.

9*. Определите (тремя способами) стоимость облигации при изменении безрисковой процентной ставки на величину Dr, равную: а) 0,01; b) 0,02; с) -0,005.

Предполагается, что в течение 5 лет будут действовать следующие ставки налогов: на купонный доход a =0,3, на прирост капитала b= 0,4. За указанный временной период ожидается средний темп прироста инфляции p, соответствующий 5% в год.

10*. Определите номинальную внутреннюю доходность облигации с учетом выплачиваемых налогов.

11*. Определите реальную внутреннюю доходность облигации с учетом выплачиваемых налогов и ожидаемого годового темпа прироста инфляции.

Задание IV.

На рынке имеются облигации трех видов сос следующими характеристиками.

Вид облигации, J	Номинал. стоимость, А_j, долл.	Годовая купонная ставка f_j, %	Частота купонных платежей m_j, в год	Срок до погашения Т_{j ,} лет
1	100	10	1	2
2	100	10	1	4
3	100	10	1	5

В момент формирования портфеля безрисковые процентные ставки на все сроки инвестирования одинаковы и равны величине внутренней доходности облигации, найденной в п.4*.

12*. Имея 10000 долл., сформируйте портфель из указанных облигаций на 3 года. Рассчитайте стратегию иммунизации портфеля облигаций, если непосредственно после момента времени t (табл.2, графа 11) безрисковые процентные ставки на все сроки инвестирования увеличились на 0,02, если r_внутр<r(t), и уменьшились на 0,01, если r_внутр>r(t), а инвестиционный горизонт равен Т=t+2 года. Доли облигаций в портфеле должны удовлетворять условию w_i>0,i=1,2,3

Решение.

1*. Процентные ставки для чисто дисконтных облигаций B₁,В₂, В₃, В₄при непрерывном начислении найдем по формуле:

Вид облигации	В₁		В₂		В₃		В₄		В₅
Вар	А₁	Р₁	А₂	Р₂	А₃	Р₃	А₄	Р₄	А₅	f₅%	t
№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
4	150	145	150	137	150	128	400	320	200	9	2

Уравнение кривой рыночной доходности в общем виде:

Вместо t подставим значения 1,2,3,4,5

Т.к. последовательность r(1), r(2), r(3) возрастает то текущая стоимость пятилетней купонной облигации номиналом в 1000долл, по которой обещают производить ежегодные 6%-ные купонные платежи, будет равна 920долл.

где .

Составляем уравнение:

Рыночная доходность:

2*. Построим график кривой рыночной доходности r = r (t).

Для построения кривой разобьем временной промежуток на более мелкие периоды времени по 0,25года и вычислим r (t) для них.

t	r(t)
0	0,072819
0,25	0,065887
0,5	0,061422
0,75	0,058957
1	0,058071
1,25	0,058382
1,5	0,059552
1,75	0,061286
2	0,063331
2,25	0,065477
2,5	0,067555
2,75	0,06944
3	0,071049
3,25	0,072341
3,5	0,07332
3,75	0,074028
4	0,074554
4,25	0,075026
4,5	0,075618
4,75	0,076543
5	0,078059

3*. Оценить стоимость инвестиции в данную облигацию, соответствующую временной структуре безрисковых процентных ставок, вычисленных в п. 1*.

А₅	f₅%
200	9

1	2	3	4	5
18	18	18	18	218

4*. Определите внутреннюю доходность этой облигации (r_внутр).

r_внутр=0,07961

	А	P	f	T	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅
B6	100	106	9	1	109
B7	100	101	7	2	7	107
B8	100	93	5	3	5	5	105
B9	100	100	7	4	7	7	7	107
B10	100	94	8	5	8	8	8	8	108
B5	200	208,3013	9	5	18	18	18	18	218

Для арбитражной оценки облигаций В₅ и В₁₀ используем критерий внутренней доходности

У облигации В₁₀ внутренняя доходность выше, чем у облигации В₅ , поэтому рекомендуем инвестору вкладывать деньги в облигацию В₁₀.

Критерий безрисковой ставки:

В₆:

В₇:

В₈:

В₉:

В₁₀:

В₅:

, значит по критерию безрисковой ставки облигация В₁₀ выгоднее для вложений, чем облигация В₅

Облигация В₅ имеет меньшую доходность. Проводим ее арбитражную оценку.

СХ=С₀

Все х положительны, значит облигация покупается.

Определим стоимость арбитражного портфеля:

Р_А<P_B5

Следовательно, проведенная арбитражная оценка в пользу арбитражного портфеля т.к. он на 208,3013-196,0583=12.243 долл. дешевле. И для покупки необходимо рекомендовать В₁₀

До арбитражной оценки в портфеле инвестора была облигация В₅. После арбитражной оценки необходимо:

Продать облигацию В₅ за 208,3013 долл, или взять ту же сумму на 5 лет в кредит под 9%годовых;
Купить облигаций на сумму 196,05 долл. В следующей структуре:

- облигацию В₁₀на 189,74 долл. (или дать ту же сумму на пять лет под 8% годовых);

- облигацию В₉на 1,73 долл. (или дать ту же сумму на пять лет под 7% годовых);

- облигацию В₈на 1,53 долл. (или дать ту же сумму на пять лет под 5% годовых);

- облигацию В₇на 1,56 долл. (или дать ту же сумму на пять лет под 7% годовых);

- облигацию В₆на 1,50 долл. (или дать ту же сумму на пять лет под 9% годовых);

Разницу 12,24 доллара использовать по своему усмотрению, так как при этом все платежи по облигации В₅ будут компенсированы платежами по облигациям арбитражного портфеля.

7*.Пусть минимальная номинальная стоимость каждой из облигаций В₅, В_6, B₇ ,В₈, В₉, В₁₀ равна 100 долл. Инвестор имеет портфель на сумму 1000000 долл., в котором находится облигация с проведенной в п. 6* арбитражной оценкой. Купонный доход облагается налогом по ставке 30%. Комиссионные с продаж и покупок берутся по ставке 0,3%

Опишите арбитражный процесс для указанного инвестора, используя данные табл. 3.

Из-за налога размером в 30% процентные ставки купонного дохода уменьшаются на 30%, т.е.фактически умножаются на коэффициент 0,7.

	А	P	f	T	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅
B6	100	102	6,3	1	106,3
B7	100	101	4,9	2	4,9	104,9
B8	100	93	3,5	3	3,5	3,5	103,5
B9	100	105	4,9	4	4,9	4,9	4,9	104,9
B10	100	94	5,6	5	5,6	5,6	5,6	5,6	105,6
B5	100	104,15065	6,3	5	6,3	6,3	6,3	6,3	106,3

В арбитражной оценке из п.6 матрица платежей меняет свой вид следующим образом:

Матрица платежей по оцениваемой облигации:

Тогда получаем следующую систему уравнений:

СХ=С₀

Т.к. все х>0, то облигации покупаем.

Определим стоимость арбитражного портфеля:

Затраты на покупку составляют величину комиссионных 0,3%, т.е.стоимость портфеля, умноженная на коэффициент 0,003. При этом должно быть выполнено условие:

Условие не выполняется, поэтому арбитражная сделка смысла не имеет.

8*. Вычислите дюрацию и выпуклость облигации, в которую предполагается вложить капитал в задании II.

Расчет дюрации и выпуклости проведем с помощью таблицы:

k	Размер платежа C_tk	Приведенное значение платежа
1	18	16,6726874	0,08004121	0,08004121	0,16008241
2	18	15,4432502	0,074139	0,148278	0,444834
3	18	14,3044713	0,06867202	0,20601606	0,82406425
4	18	13,2496654	0,06360817	0,2544327	1,27216349
5	218	148,635313	0,71355922	3,56779608	21,4067765
Сумма		208,305387	1,00001962	4,25656405	24,1079207

r_внутр=0,07961

Получили Р(0,09)=208,305;

Дюрация - D₁=4,257 лет.

Выпуклость - С₁= 24,1079 лет.

а)при Dr=0,01

b)при Dr=0,02

c)при Dr=-0,05

10*.Определите номинальную внутреннюю доходность облигации с учетом выплачиваемых налогов.

Номинальная внутренняя доходность находится из уравнения:

Реальная внутренняя доходность находится из уравнения:

Задание IV.

На рынке имеются облигации трех видов со следующими характеристиками.

Вид облигации, J	Номинал. стоимость, А_j, долл.	Годовая купонная ставка f_j, %	Частота купонных платежей m_j, в год	Срок до погашения Т_{j ,} лет
1	100	10	1	2
2	100	10	1	4
3	100	10	1	5

r_внутр=0,07961

t=2

Т=2+2=4

Планируемая стоимость инвестиции в облигации:

В начальный момент времени портфель формируется так, чтобы дюрация была равна инвестиционному горизонту времени Т.

В начальный момент времени: r_внутр=0,07961

Дюрация J1:

k	Размер платежа C_tk	Приведенное значение платежа
1	10	9,26260409	0,09262604	0,09262604
2	110	94,375418	0,94375418	1,88750836
Сумма		103,638022	1,03638022	1,9801344

Дюрация J2:

k	Размер платежа C_tk	Приведенное значение платежа
1	10	9,26260409	0,09262604	0,09262604
2	10	8,57958345	0,08579583	0,17159167
3	10	7,94692847	0,07946928	0,23840785
4	110	74,9994696	0,7499947	2,99997878
Сумма		100,788586	1,00788586	3,50260435

Дюрация J3:

k	Размер платежа C_tk	Приведенное значение платежа
1	10	9,26260409	0,09262604	0,09262604
2	10	8,57958345	0,08579583	0,17159167
3	10	7,94692847	0,07946928	0,23840785
4	10	7,36092522	0,07360925	0,29443701
5	110	74,9994696	0,7499947	3,74997348
Сумма		108,149511	1,08149511	4,54703605

Получаем портфель П₀=П(1000;2790;6210).

Поток платежей:

t⁽⁰⁾_k	1	2	3	4	5
U⁽⁰⁾_tk	1000	2000	900	3690	6831

В момент t=2 безрисковые процентные ставки на все сроки инвестирования увеличились на 0,02, т.е. стали равны 0,12

В момент t=2 дюрации облигаций станут равными:

Дюрация J2:

k	Размер платежа C_tk	Приведенное значение платежа
1	12	11,1151249	0,11115125	0,11115125
2	112	96,0913346	0,96091335	1,92182669
Сумма		107,20646	1,0720646	2,03297794

Дюрация J3:

k	Размер платежа C_tk	Приведенное значение платежа
1	12	11,1151249	0,11115125	0,11115125
2	12	11,1151249	0,11115125	0,2223025
3	112	96,0913346	0,96091335	2,88274004
Сумма		118,321584	1,18321584	3,21619379

Новая располагаемая сумма:

В момент t=2 первая облигация уже погашена

Новый портфель должен удовлетворять условиям:

Эти условия не могут выполняться при .

Тогда имеющийся портфель облигаций продается и вся сумма инвестируется на срок 1 год под безрисковую ставку 12%.

В результате за три года получаем долл., которая меньше изначально планируемой суммы из-за увеличения ставок.

Инвестиции и фиксированным доходом 📙 Контрольная → 🆔 35600