Контрольная по "Статистике". 3

ЧОУ ВПО «Институт экономики, управления и права (г.Казань)»

 

Экономический  факультет

 

 

 

 

 

 

                                                                      Загретдинова Анастасия Ильдаровна

 I курс заочного отделения

экономического факультета

                                                                              гр. 101-у

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по общей теории статистики

за II семестр 2010/2011 уч.года

 

 

 

 

 

 

 

РТ, г. Тетюши, ул. Свердлова, 140-4

422370

+7(84373)27885

 

 

 

 

 

 

 

 

Казань - 2011

Контрольная по общей теории статистики

 

Имеются данные о деятельности 10% предприятий (механическая выборка) отрасли за период с 2000 по 2010 гг. (таблица 1). Провести группировку предприятий отрасли по объему товарооборота за 2000 г. в ценах текущего периода.

1. На основании проведенной группировки определить:
1. показатели центра распределения (среднюю арифметическую взвешенную, моду и медиану);
2. показатели вариации (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации).
2. На основании проведенной группировки построить графики: полигон, гистограмму и кумуляту. На графиках указать моду и медиану.
3. С вероятностью 0,950 определить предельные значения среднего товарооборота и доверительный интервал для среднего товарооборота в генеральной совокупности предприятий.
4. Для предприятий, входящих в 6-ю группу, определить:
1. средний товарооборот (в ценах текущего и базисного периода) за каждый год в периоде с 2000 по 2010 гг;
2. по средним товарооборотам в ценах 2000 г. определить:
1. показатели динамики (базисные и цепные: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста);
2. по вычисленным в п.4.2.1  средним показателям динамики провести точечный прогноз товарооборота на 2011 г.;
3. определить тренд методом скользящей средней;
4. методом аналитического выравнивания построить трендовую модель и произвести интервальный прогноз величины среднего товарооборота на 2011 г. для соответствующей группы с вероятностью 0,950.
5. По средним товарооборотам определить базисные индексы товарооборота, цен и физического объема.
6. Сделать выводы.

 

 

Решение

Определить оптимальное количество групп с равными интервалами можно по формуле Стерджесса:

n = 1 + 3,322lgN,

где N – численность единиц совокупности.

N = 30

Получаем следующее n:

n = 1 + 3,322lg30 = 5,906997 » 6

Определим длину интервала по формуле:

l = (х_max – x_min) /n,

где n – число выделенных интервалов.

n = 4

х_max = 7882,49

x_min = 3536,21

l = (7882,49 – 3536,21)/6 = 724,38

Группы:

1)	3536,21	-	4260,59
2)	4260,59	-	4984,97
3)	4984,97	-	5709,35
4)	5709,35	-	6433,73
5)	6433,73	-	7158,11
6)	7158,11	-	7882,49

Распределим предприятия по группам  и разместим их в статистической таблице:

№ группы	Группа предприятий  по объему товарооборота в ценах 2000 г.			Предприятие	Товарооборот, млн. руб.	Количество предприятий  в группе
1)	3536,21	-	4260,59	14	3536,21
				8	3703,81
				19	3705,95
				13	4010,72
				24	4169,09
				30	4222,26
				20	4259,77	7
2)	4260,59	-	4984,97	4	4490,1
				22	4554,43
				11	4948,83
				2	4961,13	4
3)	4984,97	-	5709,35	29	4988,92
				7	4993,12
				23	5139,5
				3	5179,03
				25	5198,08
				16	5217,44
				10	5290,44
				15	5618,59
				12	5708,48	9
4)	5709,35	-	6433,73	26	5731,47
				18	5834,85
				17	5995,33	3
5)	6433,73	-	7158,11	1	6588,24
				9	6607,36
				21	6629,68
				28	6487,12
6)	7158,11	-	7882,49	27	6809,78	4
				6	7708,45
				5	7882,49	2

 

1.1. Показатели центра распределения.

Средняя арифметическая взвешенная:

Для того чтобы рассчитать среднюю арифметическую интервального  ряда, надо сначала определить среднюю  для каждого интервала, а затем – среднюю для всего ряда.

Средняя арифметическая для каждого интервала определяется как полусумма верхней и нижней границ, т.е. по формуле средней арифметической простой.

Средняя для всего ряда вычисляется  по формуле:

,

где – это средние интервалов, – частота соответствующих средних (в данном случае, количество предприятий в группе, n – количество групп.

№ группы	Группа предприятий			Средний товарооборот по группе, млн. руб.	Количество предприятий  в группе	(Средний товарооборот) х (Количество предприятий в группе)
1)	3536,21	-	4260,59	3898,4	7	27288,8
2)	4260,59	-	4984,97	4622,78	4	18491,12
3)	4984,97	-	5709,35	5347,16	9	48124,44
4)	5709,35	-	6433,73	6071,54	3	18214,62
5)	6433,73	-	7158,11	6795,92	5	33979,6
6)	7158,11	-	7882,49	7520,3	2	15040,6
				Всего предприятий:	30
Средняя арифметическая взвешенная:					5371,306

 

Мода:

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака.

Величина моды определяется по формуле:

 

где  х_Мо – начало модального интервала;

h – величина интервала;

f_Мо – частота, соответствующая модальному интервалу;

f_(-1) – предмодальная частота;

f₍₊₁₎ – послемодальная частота.

Сначала определяется модальный интервал как интервал с наибольшей частотой, в данном случае, с наибольшим количеством предприятий в группе. Это 3-я группа.

х_Мо = 4984,97

f_Мо = 9

f_(-1) = 4

f₍₊₁₎ = 3

h = 724,38

 

Медиана:

Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам.

При нахождении медианы интервального  вариационного ряда вначале определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), а затем – приближенное значение медианы по формуле:

где  х_Ме – нижняя граница медианного интервала;

h – величина интервала;

S_(-1) – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Ме – частота медианного интервала;

- сумма частот или число членов ряда.

Медианный интервал в нашей задаче – 3-й, поскольку в этом интервале  накопленная частота (накопленное  количество предприятий в группе) равняется 20, что больше половины всего количества предприятий. Следовательно, в этой группе и находится медиана.

х_Ме = 4984,97

h = 724,38

S_(-1) = 7 + 4 = 11

f_Ме = 9

= 30

 

 

1.2. Показатели вариации.

Размах вариации:

Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями x из имеющихся в изучаемой статистической совокупности:

R=x_max – x_min = 7882,49 – 3536,21 = 4346,28

Размах вариации показывает лишь то, насколько велик диапазон изменения  значений в совокупности. В данном случае размах вариации показывает, что  между минимальным товарооборотом и максимальным товарооборотом разница  в 4346,28 млн. руб.

Среднее линейное отклонение:

Cреднее линейное отклонение  – это средний модуль отклонений  значений x от среднего арифметического  значения.

Если исходные данные x сгруппированы, то расчет среднего линейного отклонения выполняется по формуле средней  арифметической взвешенной – получим среднее линейное отклонение взвешенное:

Составим вспомогательную таблицу:

№ группы	Интервал			Кол-во пр-й в группе (fi)	Середина интервала (xi)	ABS(xi-xср)	ABS(xi-xср)*fi
1)	3536,21	-	4260,59	7	3898,4	1472,91	10310,342
2)	4260,59	-	4984,97	4	4622,78	748,53	2994,104
3)	4984,97	-	5709,35	9	5347,16	24,15	217,314
4)	5709,35	-	6433,73	3	6071,54	700,23	2100,702
5)	6433,73	-	7158,11	5	6795,92	1424,61	7123,07
6)	7158,11	-	7882,49	2	7520,3	2148,99	4297,988
Всего предприятий				30		Сумма:	27043,52

 

Этот показатель показывает, насколько в среднем каждое значение отклоняется от среднего.

Дисперсия:

Дисперсия представляет собой средний  квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и для сгруппированных данных вычисляется как

Для вычисления дисперсии составим вспомогательную таблицу:

№ группы	Интервал			fi	xi	xi-xср	(xi-xср)2	(xi-xср)2*fi
1)	3536,21	-	4260,59	7	3898,40	-1472,91	2169452,08	15186164,59
2)	4260,59	-	4984,97	4	4622,78	-748,53	560291,17	2241164,69
3)	4984,97	-	5709,35	9	5347,16	-24,15	583,03	5247,26
4)	5709,35	-	6433,73	3	6071,54	700,23	490327,65	1470982,96
5)	6433,73	-	7158,11	5	6795,92	1424,61	2029525,05	10147625,24
6)	7158,11	-	7882,49	2	7520,30	2148,99	4618175,21	9236350,42
Всего предприятий				30			Сумма:	38287535,18

Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение (s) равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической. Для сгруппированных данных среднее квадратическое отклонение вычисляется как:

или корень квадратный из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности – чем меньше значение среднего квадратического отклонения (также как и дисперсии), тем однороднее совокупность.

 

Коэффициент вариации:

Коэффициент вариации является критерием  однородности совокупности (в случае нормального распределения) и вычисляется как .

Вариация годовых товарооборотов различных предприятий в общей  совокупности не превышает 21%, то есть не является значительной, следовательно, совокупность товарооборотов однородная.

 

 

2. Графики.

 

3. Предельные значения среднего товарооборота и доверительный интервал для среднего товарооборота в генеральной совокупности предприятий

Как правило, в качестве предельной ошибки рассматривают произведение коэффициента доверия на среднюю  ошибку.

где m – среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности (механическая выборка);

n – число наблюдений.

t – коэффициент доверия, определяется по таблицам в зависимости от вероятности.

Для вероятности 0,95 t = 1,96

Предельные значения среднего товарооборота :

Доверительный интервал:

4. Для предприятий, входящих в 6-ю группу, определить:

4.1. средний товарооборот (в ценах текущего и базисного  периода) за каждый год в периоде с 2000 по 2010 гг

Средний товарооборот по группе считается  как простое среднее арифметическое. Поскольку в 6-й группе всего два предприятия, то средний товарооборот будет вычисляться, как полусумма товарооборотов обоих предприятий.

Рассчитанные данные приведены в таблице ниже:

		Товарооборот, млн. руб.		Средний товарооборот, млн. руб.
Годы	Период	Предприятия
		5	6
2000	в ценах текущего периода	7882,49	7708,45	7795,47
2001	в ценах текущего периода	8234,60	8101,48	8168,04
	в ценах 2000 года	7708,47	7520,43	7614,45
2002	в ценах текущего периода	8623,01	8169,66	8396,34
	в ценах 2000 года	7534,78	7069,79	7302,29
2003	в ценах текущего периода	9023,32	8408,32	8715,82
	в ценах 2000 года	7303,62	6788,76	7046,19
2004	в ценах текущего периода	9869,14	8661,64	9265,39
	в ценах 2000 года	7461,62	6469,34	6965,48
2005	в ценах текущего периода	10539,40	9124,03	9831,72
	в ценах 2000 года	7374,07	6328,39	6851,23
2006	в ценах текущего периода	11405,20	9932,28	10668,74
	в ценах 2000 года	7473,54	6414,79	6944,17
2007	в ценах текущего периода	11663,50	10329,50	10996,50
	в ценах 2000 года	7166,72	6225,98	6696,35
2008	в ценах текущего периода	11912,50	10382,10	11147,30
	в ценах 2000 года	6865,77	5843,33	6354,55
2009	в ценах текущего периода	12864,70	10465,10	11664,90
	в ценах 2000 года	6907,30	5473,25	6190,28
2010	в ценах текущего периода	13423,50	11190,80	12307,15
	в ценах 2000 года	6757,81	5414,81	6086,31

 

Показатели динамики по среднему товарообороту в ценах 2000 г. (базисные и цепные: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста):

Абсолютный прирост (А) определяется как разность между  двумя уровнями динамического ряда и показывает, насколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения:

Абсолютный прирост  базовым методом:

и т.д.

Абсолютный прирост  цепным методом:

 и т.д.

Коэффициент роста определяется как отношение двух сравниваемых уровней и показывает, во сколько  раз данный уровень превышает  уровень базисного периода.

Базовым методом: K_i= y_i/ y₀

Цепным методом: K_i= y_i/ y_i-1

Темп роста базовым методом рассчитывается в процентах как отношение текущего уровня к базовому уровню:

 и т.д.

Темп роста цепным методом рассчитывается в процентах  как отношение текущего уровня к  предыдущему уровню:

 и т.д.

Темп прироста вычисляется  как  для базового метода и для цепного метода.

Абсолютное значение одного процента прироста А_i рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста (в %) за тот же период времени.

Если преобразовать  эту формулу, то получим следующее  выражение:

А_i= 0,01 * y_i-1

Рассчитанные значения показателей динамики приведены  в таблице ниже:

		Абсолютный прирост		Коэффициент роста		Темп роста		Темп прироста		Абсолютное значение 1% прироста
Годы	Средний товарооборот, млн. руб.	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной
2000	7795,47	-	-	-	-	-	-	-	-	-
2001	7614,45	-181,0	-181,0	0,98	0,98	98%	98%	-2%	-2%	77,95
2002	7302,29	-493,2	-312,2	0,94	0,96	94%	96%	-6%	-4%	76,14
2003	7046,19	-749,3	-256,1	0,90	0,96	90%	96%	-10%	-4%	73,02
2004	6965,48	-830,0	-80,7	0,89	0,99	89%	99%	-11%	-1%	70,46
2005	6851,23	-944,2	-114,3	0,88	0,98	88%	98%	-12%	-2%	69,65
2006	6944,17	-851,3	92,9	0,89	1,01	89%	101%	-11%	1%	68,51
2007	6696,35	-1099,1	-247,8	0,86	0,96	86%	96%	-14%	-4%	69,44
2008	6354,55	-1440,9	-341,8	0,82	0,95	82%	95%	-18%	-5%	66,96
2009	6190,28	-1605,2	-164,3	0,79	0,97	79%	97%	-21%	-3%	63,55
2010	6086,31	-1709,2	-104,0	0,78	0,98	78%	98%	-22%	-2%	61,90

 

Точечный прогноз товарооборота на 2011 г. по вычисленным средним показателям динамики

Вычислим линейную регрессию методом  наименьших квадратов, чтобы построить  точечный прогноз на 2011 г.

В случае линейной регрессии y(x) = ax + b можно сразу получить значения коэффициентов a и b по следующим формулам:

Составим вспомогательную таблицу для расчетов:

	Годы (xi)	Средний товарооборот, млн. руб. (yi)	xi2	xiyi
	2000	7795,47	4000000,00	15590940,00
	2001	7614,45	4004001,00	15236514,45
	2002	7302,29	4008004,00	14619174,57
	2003	7046,19	4012009,00	14113518,57
	2004	6965,48	4016016,00	13958821,92
	2005	6851,23	4020025,00	13736716,15
	2006	6944,17	4024036,00	13929994,99
	2007	6696,35	4028049,00	13439574,45
	2008	6354,55	4032064,00	12759936,40
	2009	6190,28	4036081,00	12436262,48
	2010	6086,31	4040100,00	12233483,10
Сумма	22055	75846,76	44220385,00	152054937,08

 

Таким образом, линейная функция, описывающая изменение среднего товарооборота со временем, будет выглядеть следующим образом:

y(x) = –161,88x + 331462,74

Подставим в это уравнение следующий  год, чтобы получить точечный прогноз:

y(2011) = –161,88×2011 + 331462,74 = 5923,89

Тренд методом скользящей средней

Метод скользящей средней заключается  в следующем: формируются укрупненные  интервалы, состоящие из одинакового  числа уровней. Каждый последующий  интервал получается, сдвигом от начального уровня ряда на один уровень. По укрупненным интервалам определяется средняя из уровней, входящих в каждый интервал. Для более чёткого выражения тенденции дополнительно рассчитывается сглаженная центрированием (простое среднее арифметическое двух соседних значений скользящей средней) скользящая средняя.

Составим расчетную таблицу. Для расчетов выбираем 5 уровней, так как прослеживается тенденция убывания, поэтому период лучше брать не слишком короткий.

Годы	Средний товарооборот, млн. руб.	Скользящая среднего товарооборота (интервал 5 лет)		Скользящая средняя из 5-ти уровней		Сглаженная центрированием скользящая средняя
2000	7795,47	7795,47 + 7614,45 + 7302,29 + +7046,19 + 6965,48 =	36723,88	36723,88 : 5 =	7344,775	7250,351
2001	7614,45	7614,45 + 7302,29 + 7046,19 + +6965,48 + 6851,23 =	35779,64	35779,64 : 5 =	7155,927	7088,899
2002	7302,285	7302,29 + 7046,19 + 6965,48 + +6851,23 + 6944,17 =	35109,35	35109,35 : 5 =	7021,87	6961,277
2003	7046,19	7046,19 + 6965,48 + 6851,23 + +6944,17 + 6696,35 =	34503,42	34503,42 : 5 =	6900,683	6831,519
2004	6965,48	6965,48 + 6851,23 + 6944,17 + +6696,35 + 6354,55 =	33811,78	33811,78 : 5 =	6762,355	6684,835
2005	6851,23	6851,23 + 6944,17 + 6696,35 + +6354,55 + 6190,28 =	33036,57	33036,57 : 5 =	6607,314	6530,822
2006	6944,165	6944,17 + 6696,35 + 6354,55 + +6190,28 + 6086,31 =	32271,65	32271,65 : 5 =	6454,33
2007	6696,35
2008	6354,55
2009	6190,275
2010	6086,31

 

 

Метод аналитического выравнивания

построить трендовую модель и произвести интервальный прогноз величины среднего товарооборота на 2011 г. для соответствующей группы с вероятностью 0,950.

При исчислении этого метода фактические  уровни ряда динамики заменяются теоретическими, вычисленными на основе уравнения определенной кривой, отражающей общую тенденцию развития явления.

Тенденцию развития обычно изображают кривой, параболой, гиперболой и прямой линией.

Рассмотрим в качестве линии  тренда прямую.

Уравнение тренда имеет вид y = ax + b

Найдем уравнение тренда методом наименьших квадратов.

Годы	Средний товарооборот, млн. руб.	t	t2	yt	Годы	t	Yt= at+b	Скользящая средняя (3-х  уровневая)
2000	7795,47	1	1	7795,47	2000	1	7704,555	7570,74
2001	7614,45	2	4	15228,90	2001	2	7542,676	7320,98
2002	7302,285	3	9	21906,86	2002	3	7380,797	7104,65
2003	7046,19	4	16	28184,76	2003	4	7218,918	6954,30
2004	6965,48	5	25	34827,40	2004	5	7057,039	6920,29
2005	6851,23	6	36	41107,38	2005	6	6895,16	6830,58
2006	6944,165	7	49	48609,16	2006	7	6733,28	6665,02
2007	6696,35	8	64	53570,80	2007	8	6571,401	6413,73
2008	6354,55	9	81	57190,95	2008	9	6409,522	6210,38
2009	6190,275	10	100	61902,75	2009	10	6247,643
2010	6086,31	11	121	66949,41	2010	11	6085,764
2011	75846,76	66,00	506,00	437273,83	2011	12	5923,885