Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по дисциплине «Экономико-математическое моделирование»

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОСИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Алтайский государственный аграрный университет»

Кафедра «Геодезии и картографии»

Контрольная работа по дисциплине

«Экономико-математическое моделирование»

Выполнил: студент 5 курса

Факультет: Природообустройство

Специальность: Землеустройство

Шифр:

Проверил:

Барнаул 2013г.

Содержание:

20. Как осуществляется проверка плана на оптимальность при решении задач распределительным методом?

31. Раскройте этапы решения задач симплексным методом с искусственным базисом.

40. Элементы и принципы построения сетевых графиков. Их назначение.

50. Балансовые модели в землеустройстве и кадастре.

Задачи.

20. Как осуществляется проверка плана на оптимальность при решении задач распределительным методом?

Проверка плана транспортной задачи в описываемом методе на оптимальность осуществляется с помощью потенциалов. Потенциалы – это такие числа, которые по определенным правилам назначаются каждой строке и каждому столбцу. Потенциалы строк обозначим u_i, потенциалы столбцов – v_j. Они могут принимать любые значения. Однако удобнее работать с положительными, целыми и относительно небольшими числами. Такой потенциал первоначально назначается любой строке или столбцу. Рекомендуем поступать следующим образом. Выберем базисную клетку с максимальным расстоянием. В нашей матрице это клетка А₂В₃. Присвоим строке, в которой находится эта клетка, потенциал, равный 0 (u₃= 0). Далее можно рассчитать потенциалы столбцов по базисным клеткам строки 3 по формуле

2) Решим задачу с искусственным базисом (хотя бы один знак неравенств-ограничений " ≥ " или " = ").

Запишем задачу в канонической форме (в виде системы уравнений, что требует симплекс-метод), для этого введем две переменные х₃≥ 0 и х₄≥ 0 получим:

Система ограничений предлагает только одну допустимую базисную переменную x₄, только она входит только в одно уравнение в третье с коэффициентом 1, поэтому в первое и второе уравнения добавляем искусственные переменные R₁≥ 0 и R₂≥ 0 Чтобы можно было примененить симплекс-метод система уравнений-ограничений должна быть системой с базисом, т.е. в каждом уравнении должна быть переменная с коэффициентом 1, которая входит только в одно уравнение системы, в нашем случае это R₁, R₂и x₄. Получили, так называемую, М-задачу:

Данная система является системой с базисом, в которой R₁, R₂и x₄базисные переменные, а x₁, x₂и x₃свободные переменные, свободние члены всех уравнений неотрицательны. Следовательно, для решения задачи можно применить симплекс-метод. Запишем начальную симплекс-таблицу:

БП	x₁	x₂	x₃	R₁	R₂	x₄	Решение	Отношение
z	-4	-16	0	0	0	0	0	-
R₁	3	4	-1	1	0	0	6	6/4=3/2
R₂	1	3	0	0	1	0	3	3/3=1
x₄	2	1	0	0	0	1	4	4/1=4
Оценка	-4	-7	1	-1	-1	0	-	-

В таблицу для задач с искусственным базисом добавлена строка «Оценка». Она получается суммированием соответствующих коэффициентов строк с искусственными переменными (R) с обратным знаком. Она будет присутствовать в таблице до тех пор, пока хотя бы одна из искусственных переменных есть в базисе. По наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту строки "Оценка" определяется разрешающий столбец пока она есть в таблице. Когда строка "Оценка" выйдет из таблицы (в базисе нет искусственных переменных) разрешающий столбец будет определяться по z-строке, как и в задаче с начальным базисом. В данной таблице разрешающий столбец х₂, он выбран по наибольшей по модулю отрицательной оценке (-7). Разрешающая строка R₂выбрана по наименьшему отношению столбца "Решение" к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца, как и в задаче без искусственных переменных. Это значит, что на следующей итерации переменная х₂из свободной перейдет в базисную, а переменная R₂из базисной – в свободную. Запишем следующую симплекс-таблицу:

итерация 1

БП	x₁	x₂	x₃	R₁	R₂	x₄	Решение	Отношение
z	4/3	0	0	0	16/30	0	16	-
R₁	5/3	0	-1	1	-4/3	0	2	6/5
x₂	1/3	1	0	0	1/3	0	1	3
x₄	5/3	0	0	0	-1/3	1	3	9/5
Оценка	-5/3	0	1	-1	4/3	0	-	-

Разрешающий столбец х₁, разрешающая строка R₁, R₁выходит из базиса, x₁входит в базис. После этого в базисе не остается искусственных переменных, поэтому строки «Оценка» в следующей таблице нет:

итерация 2

БП	x₁	x₂	x₃	R₁	R₂	x₄	Решение	Отношение
z	0	0	4/5	-4/5	32/5	0	72/5	-
x₁	1	0	-3/5	3/5	-4/5	0	6/5	-
x₂	0	1	1/5	-1/5	3/5	0	3/5	-
x₄	0	0	1	-1	1	1	1	-

Далее разрешающий столбец выбирается по z-строке. В z-строке все коэффициенты неотрицательны кроме коэффициента при искусственной переменной R₁, который не влияет на оптимальность, когда искусственные переменные вышли из базиса. Следовательно, получено оптимальное решение x₁= 6/5; x₂= 3/5; z_max= 72/5.

31. Раскройте этапы решения задач симплексным методом с искусственным базисом.

Особые случаи применения симплекс-метода

1) Когда прямая (если рассматривается двухмерная задача линейного программирования, а в общем случае гиперплоскость), представляющая целевую функцию параллельна прямой (гиперплоскости), соответствующей одному из неравенств-ограничений (которое в точке оптимума выполняется, как точное равенство) целевая функция принимает одно и тоже оптимальное значение на некотором множестве точек границы области допустимых решений. Эти решения называются альтернативными оптимальными решениями. Наличие альтернативных решений можно определить по оптимальной симплекс-таблице. Если в z-строке оптимальной таблицы есть нулевые коэффициенты небазисных переменных, то есть альтернативные решения.

2) Если в разрешающем столбце симплекс-таблицы все коэффициенты меньше или равны нуль, то нельзя выбрать разрешающую строку, в этом случае решение неограничено.

3) Если ограничения задачи линейного программирования несовместны (т.е. они не могут выполняться одновременно), то задача не имеет допустимых решений. Такая ситуация не может возникнуть, если все неравенства, составляющие систему ограничений, имеют тип " ≤ " с неотрицательными правыми частями, т.к. в этом случае дополнительные переменные могут составить допустимое решение. Для других типов ограничений использются искусственные переменные. Если задача имеет решение, то в оптимальной таблице в базисе нет искусственных переменных (R_i). Если они там есть, то задача не имеет решений.

При решении автоматически определяется использование М-метода (симплекс-метод с искусственным базисом) и двухэтапного симплекс-метода.

Алгоритм симплекс-метода включает следующие этапы:

Составление первого опорного плана. Переход к канонической форме задачи линейного программирования путем введения неотрицательных дополнительных балансовых переменных.
Проверка плана на оптимальность. Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, то план не оптимальный, и его необходимо улучшить.
Определение ведущих столбца и строки. Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбирается наибольший по абсолютной величине. Затем элементы столбца свободных членов симплексной таблицы делит на элементы того же знака ведущего столбца.
Построение нового опорного плана. Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана—Гаусса.

40. Элементы и принципы построения сетевых графиков. Их назначение.

Сетевая модель — это план выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ, заданного в форме сети, графическое изображение которой называется сетевым графиком.

Главными элементами сетевой модели являются работы и события.

При составлении сетевых графиков (моделей) используют условные обозначения. События на сетевом графике (или, как ещё говорят, на графе) изображаются кружками (вершинами графа), а работы — стрелками (ориентированными дугами):

— событие,

— работа (процесс),

— фиктивная работа — применяется для упрощения сетевых графиков (продолжительность всегда равна 0).

Среди событий сетевой модели выделяют исходное и завершающее события. Исходное событие не имеет предшествующих работ и событий, относящихся к представленному в модели комплексу работ. Завершающее событие не имеет последующих работ и событий.

Существует и иной принцип построения сетей — без событий. В такой сети вершины графа означают определённые работы, а стрелки — зависимости между работами, определяющие порядок их выполнения. Сетевой график «работы–связи» в отличие от графика «события–работы» обладает известными преимуществами: не содержит фиктивных работ, имеет более простую технику построения и перестройки, включает только хорошо знакомое исполнителям понятие работы без менее привычного понятия события.

Вместе с тем сети без событий оказываются значительно более громоздкими, так как событий обычно значительно меньше, чем работ (показатель сложности сети, равный отношению числа работ к числу событий, как правило, существенно больше единицы). Поэтому эти сети менее эффективны с точки зрения управления комплексом. Этим и объясняется тот факт, что в настоящее время наибольшее распространения получили сетевые графики «события–работы».

Если в сетевой модели нет числовых оценок, то такая сеть называется структурной. Однако на практике чаще всего используют сети, в которых заданы оценки продолжительности работ, а также оценки других параметров, например трудоёмкости, стоимости и т.п.

Сетевые графики составляются на начальном этапе планирования. Вначале планируемый процесс разбивается на отдельные работы, составляется перечень работ и событий, продумываются их логические связи и последовательность выполнения, работы закрепляются за ответственными исполнителями. С их помощью и с помощью нормативов, если таковые существуют, оценивается продолжительность каждой работы. Затем составляется (сшивается) сетевой график. После упорядочения сетевого графика рассчитываются параметры событий и работ, определяются резервы времени и критический путь. Наконец, проводятся анализ и оптимизация сетевого графика, который при необходимости вычерчивается заново с пересчётом параметров событий и работ.

При построении сетевого графика необходимо соблюдать ряд правил.

В сетевой модели не должно быть «тупиковых» событий, то есть событий, из которых не выходит ни одна работа, за исключением завершающего события. Здесь либо работа не нужна и её необходимо аннулировать, либо не замечена необходимость определённой работы, следующей за событием для свершения какого-либо последующего события. В таких случаях необходимо тщательное изучение взаимосвязей событий и работ для исправления возникшего недоразумения.
В сетевом графике не должно быть «хвостовых» событий (кроме исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа. Обнаружив в сети такие события, необходимо определить исполнителей предшествующих им работ и включить эти работы в сеть.
В сети не должно быть замкнутых контуров и петель, то есть путей, соединяющих некоторые события с ними же самими. При возникновении контура (а в сложных сетях, то есть в сетях с высоким показателем сложности, это встречается довольно часто и обнаруживается лишь при помощи ЭВМ) необходимо вернуться к исходным данным и путём пересмотра состава работ добиться его устранения.
Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой-стрелкой. Нарушение этого условия происходит при изображении параллельно выполняемых работ. Если эти работы так и оставить, то произойдёт путаница из-за того, что две различные работы будут иметь одно и то же обозначение. Однако содержание этих работ, состав привлекаемых исполнителей и количество затрачиваемых на работы ресурсов могут существенно отличаться.

В этом случае рекомендуется ввести фиктивное событие и фиктивную работу, при этом одна из параллельных работ замыкается на это фиктивное событие. Фиктивные работы изображаются на графике пунктирными линиями (рис.1).

В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее событие. Если в составленной сети это не так, то добиться желаемого можно путём введения фиктивных событий и работ.

Рисунок 1 - Примеры введения фиктивных событий

Фиктивные работы и события необходимо вводить в ряде других случаев. Один из них — отражение зависимости событий, не связанных с реальными работами. Например, работы А и Б (рис. 1, а) могут выполняться независимо друг от друга, но по условиям производства работа Б не может начаться раньше, чем окончится работа А. Это обстоятельство требует введения фиктивной работы С.

Другой случай — неполная зависимость работ. Например работа С требует для своего начала завершения работ А и Б, на работа Д связана только с работой Б, а от работы А не зависит. Тогда требуется введение фиктивной работы Ф и фиктивного события 3’, как показано на рис. 1, б.

Кроме того, фиктивные работы могут вводиться для отражения реальных отсрочек и ожидания. В отличие от предыдущих случаев здесь фиктивная работа характеризуется протяжённостью во времени.

Если сеть имеет одну конечную цель, то программа называется одноцелевой. Сетевой график, имеющий несколько завершающих событий, называется многоцелевым и расчет ведется относительно каждой конечной цели. Примером может быть строительство жилого микрорайона, где ввод каждого дома является конечным результатом, и в графике по возведению каждого дома определяется свой критический путь.

50. Балансовые модели в землеустройстве и кадастре.

Для решения землеустроительных задач различных классов используются разнообразное количество математических моделей, позволяющих проводить анализ использования земельных, трудовых и материальных ресурсов, выявить тенденции развития производства, находить оптимальные варианты устройства территории, определять оптимальные варианты проектов землеустройства и т.д.

С точки зрения народнохозяйственного значения землеустроительных проблем, исходя из вида землеустроительного действия, экономико-математические модели можно подразделить на следующие четыре класса:

-общеотраслевые и межотраслевые модели;

-модели межхозяйственного землеустройства;

-модели внутрихозяйственного землеустройства;

-модели задач рабочего проектирования.

Большое значение для целей практического использования в землеустройстве и кадастре, имеет классификация экономико-математических моделей, составляемая в зависимости от лежащих в их основе математических методов.

По этому классификационному признаку их можно подразделить на:

-аналитические;

-экономико-статистические;

-оптимизационные;

-балансовые;

-сетевого планирования и управления;

-другие экономико-математические модели.

Балансовые модели, применяемые в землеустройстве, обеспечивают обоснование и определение наилучших пропорций территориальной организации производства, его факторов и результатов. Они имеют форму матриц, систем таблиц и др. В землеустроительных расчётах балансовые модели могут быть использованы при обосновании проектных решений (балансы кормов, труда, расчёты населения на перспективу, баланс трансформации и перераспределения земель и т.п.

Задачи

Задача 2.10. Оценить однородность данной выборки, выполнить их статистическую обработку и сделать вывод об их качестве.

22,9		22,4	20,6	21,9	20,3	19,4	23,9	22,1
22,8		22,1	21,3	20,6	21,4	19,5	25,1	22,5
22,1		10,8	22,0	20,5	32,6	22,5	24,2	21,8
21,6		23,3	21,3	21,3	21,7	23,3	22,0	23,4
19,9		21,7	21,0	20,2	19,0	24,2	24,2	21,6
Карман	Частота
10,8	1
14,43333	0
18,06667	0
21,7	18
25,33333	20
28,96667	0
Еще	1

По данной гистограмме можно сделать вывод, что выборка вполне однородна, так как на гистограмме присутствует только один чётко выделенный пик. Поэтому выборку можно анализировать целиком.

Столбец1

Среднее	21,875
Стандартная ошибка	0,448998173
Медиана	21,85
Мода	22,1
Стандартное отклонение	2,839713781
Дисперсия выборки	8,063974359
Эксцесс	9,945794578
Асимметричность	-0,129787123
Интервал	21,8
Минимум	10,8
Максимум	32,6
Сумма	875
Счет	40

Вычислим коэффициент вариации по формуле:

V=(S/x)*100

V= 13%-изменчивость данных в выборке средняя.

Вычислим критерий достоверности Стьюдента: t=x/S_x.

t=48,71957468.

Для установления достоверности среднего вычисленное значение критерия Стьюдента, необходимо сравнить его с теоретическим значением. Предварительно вычислим число степеней свободы: n=n-1.

N= 40-1=39.

Исходя из данного числа степеней свободы, t_теор=2,02.

Вывод: t_факт=48,72> t_теор=2,02, следовательно, величина выборочного среднего является достоверной.

Чтобы оценить точность данных, вычислим относительную ошибку выборочной средней( S_x,%):

S_x,%=(S_x/x)*100.

S_x,%= 2,052563075(%)<3%-точность данных высокая.

Вывод: данные надёжны и могут быть использованы для математического моделирования.

Задача 3.7. Выполнить необходимые вычисления и сделать выводы о различиях между выборками.

Выборки	Значения
1	0,67	1,30	0,84	0,99	0,68	0,74	0,53	1,26	1,08	1,14	1,00
2	0,36	0,54	0,29	0,38	0,47	0,22	0,36	0,41	0,52	0,33	0,48
3	1,11	1,26	1,52	1,28	1,34	1,25	1,09	1,37	1,10	1,21	1,34
4	0,91	0,69	0,82	0,76	0,88	0,90	0,86	0,83	0,78	0,91	0,85

Дисперсионный анализ экспериментальных данных.

Комментарии:

1. Таблица разложения дисперсии ANOVA. Полная рендомизация.

————————————————————————————————————————————————————————————————

————————————————————————————————————————————————————————————————

Общая | 5.166 | 1.0000 | 43 | 0.120 | |

Фактор | 4.192 | 0.8114 | 3 | 1.397 | 57.38 |

Сл.Факторы| 0.974 | 0.1886 | 40 | 0.024 | |

—————————————————————————————————

2. Анализ различия факторных средних.

—————————————————————————————————

|Средние |Разница Значима?|

Варианты——————————————————————————

1 | 0.930 | Контроль |

2 | 0.396 | -0.534 Да! |

3 | 1.261 | 0.331 Да! |

4 | 0.835 | -0.095 Нет |

——————————————————————————————————

| 0.8557 | -0.074 Нет |

—————————————————————————————————

3a. Полная рендомизация: Анализ средних по НСР(5%)

F-критерий = 57.376, ст.св.=3, 40, Q=0.0000

Степень влияния по Снедекору = 0.8367

Станд.Ошибка = 0.0471 (5.50% от общего среднего)

HCP(1%)= 0.1800 HCP(5%)= 0.1345 HCP(10%)= 0.1121

3б. Рендомизация в блоках:

F-критерий = 58.063, ст.св.=3, 30, Q=0.0000

Степень влияния по Снедекору = 0.8384

Станд.Ошибка = 0.0468 (5.47% от общего среднего)

HCP(1%)= 0.1819 HCP(5%)= 0.1351 HCP(10%)= 0.1123

В результате дисперсионного анализа найдено значение НСР(5%)=0,1345. Величины выборочных средних: 1-0,930; 2-0,396; 3-1,261; 4-0,835. Находим разности между средними (по модулю) и сравниваем их с НСР:

А) между 1и 2:0,534-это больше НСР (0,1345), значит разница достоверна.

Б) между 2 и 3: 0,331- это больше НСР, значит разница между значениями 2 и 3 достоверна.

В) между 3 и 4:0,095- это меньше НСР, значит разница недостоверна.

Г) между 1 и 4: 0,074- это меньше НСР, значит разница недостоверна.

Выводы: 1)Наименьшее значение показателя свойственно выборке 2.

2) Наибольшее значение показателя имеет выборка 3.

Задача 4.1. Выполнить корреляционный анализ данных, оценить достоверность коэффициента корреляции и сделать выводы:

X	Y
8,7	20,9
8,5	20,4
7,9	20,1
9,6	21,7
9,4	21,4
8,2	20,3
8,2	20,5
8	20,1
7,9	19,7
7,6	19,4

Контрольная работа по дисциплине «Экономико-математическое моделирование» 📙 Контрольная → 🆔 55632