Контрольная работа по "Эконометрике". 61

 

 

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Дальневосточный Государственный университет путей  сообщения

Сахалинский институт железнодорожного транспорта

ФГБОУ ВПО

 

 

 

 

 

Кафедра «  Южно – Сахалинск »

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 1

 

По дисциплине : « Эконометрика »

 

Студент (ка) 3 курса

 

Шифр: К11-Э (Б)-176

 

СахИЖТ – филиала ДВГУПС в г. Южно – Сахалинске

 

Мошкова Алла Витальевна

 

 

 

Проверил (а): Казакова О. Г.

 

 

 

                                                                         Домашний адрес:

                                                               Г. Корсаков

                                                                                    Ул. Нагорная д.66  кв.69

 

 

 

 

 

 

Южно –  Сахалинск

2013

 

Задача 6

Имеются данные за 5 месяцев года о потребительских расходах на душу населения (у, руб.), средней заработной плате и социальных выплатах (х, руб.) по 16 районам региона. Данные приведены в таблице:

Январь
Задача 6
Районы	y	x
A	416	1288
B	501	1435
C	403	1210
D	208	1190
E	462	1640
F	386	1420
G	399	1250
H	342	870
I	354	740
J	558	910
K	302	1020
L	360	1050
M	310	1205
N	415	990
O	452	1042
P	450	1037

Задание:

1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий (y=a+bx+ε и y=a+b+ε в задачах 1 - 5; y=a+bx+ε и y=a+b₁x+ b₂x² +ε в задачах 6-10).
2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.
3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.
5. С помощью F-статистики Фишера (при α=0,01) оцените надежность уравнения регрессии.
6. Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для α=0,01.
7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснительной запиской.

Решение:

1. Рассчитаем параметры уравнения регрессии:

a) y=a+bx+ε

 Параметры линейной регрессии  определяются методом наименьших квадратов (МНК). Суть метода состоит в выполнении условия:

 

Для определения а и b строится система нормальных уравнений:

 

или

 

Из системы нормальных уравнений:

 

 

Для расчетов используются следующие формулы:

 

 

 

 

 

 

 

Составим  таблицу расчетов:

	x	x2	y	xy	y2								A (%)
1	1288	1658944	416	535808	173056	21,13	144,44	446,27	20862,19	402,84	13,16	173,19	3,16
2	1435	2059225	501	718935	251001	106,13	291,44	11262,52	84935,82	410,95	90,05	8109,74	17,97
3	1210	1464100	403	487630	162409	8,13	66,44	66,02	4413,94	398,54	4,46	19,90	1,11
4	1190	1416100	208	247520	43264	-186,88	46,44	34922,27	2156,44	397,44	-189,44	35885,90	91,07
5	1640	2689600	462	757680	213444	67,13	496,44	4505,77	246450,19	422,25	39,75	1580,03	8,60
6	1420	2016400	386	548120	148996	-8,88	276,44	78,77	76417,69	410,12	-24,12	581,71	6,25
7	1250	1562500	399	498750	159201	4,13	106,44	17,02	11328,94	400,74	-1,74	3,04	0,44
8	870	756900	342	297540	116964	-52,88	-273,56	2795,77	74836,44	379,79	-37,79	1428,07	11,05
9	740	547600	354	261960	125316	-40,88	-403,56	1670,77	162862,69	372,62	-18,62	346,75	5,26
10	910	828100	558	507780	311364	163,13	-233,56	26609,77	54551,44	382,00	176,00	30977,58	31,54
11	1020	1040400	302	308040	91204	-92,88	-123,56	8625,77	15267,69	388,06	-86,06	7406,55	28,50
12	1050	1102500	360	378000	129600	-34,88	-93,56	1216,27	8753,94	389,72	-29,72	883,02	8,25
13	1205	1452025	310	373550	96100	-84,88	61,44	7203,77	3774,57	398,26	-88,26	7790,34	28,47
14	990	980100	415	410850	172225	20,13	-153,56	405,02	23581,44	386,41	28,59	817,56	6,89
15	1042	1085764	452	470984	204304	57,13	-101,56	3263,27	10314,94	389,27	62,73	3934,49	13,88
16	1037	1075369	450	466650	202500	55,13	-106,56	3038,77	11355,57	389,00	61,00	3721,15	13,56
Σ	18297	21735627	6318	7269797	2600948	0,00	0,00	106127,75	811863,94	6318,0	0,00	103659,02	276,01
среднее значение	1143,56	1358476,69	394,88	454362,31	162559,25			6632,98	50741,50	394,88	0,00	6478,69	17,25
σ	225,26		81,44
σ2	50741,5		6632,98

Получим следующие  результаты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученное  линейное уравнение регрессии имеет  вид: =331,82+0,055x.

2. Рассчитаем  линейный коэффициент парной  корреляции по формуле:

 

 

Полученное значение коэффициента корреляции говорит о том, что  связь между признаками отсутствует.

Величина коэффициента детерминации равна: =0,0233,   это означает, что только 2,33% изменения признака объясняется вариацией объясняющей переменной x.

3. Рассчитаем средний коэффициент  эластичности по формуле:

 

 

Он показывает, на сколько процентов  изменится средний результат, если фактор изменится на 1%.

4. Для оценки качества моделей  определяется средняя ошибка  аппроксимации:

 

Средняя ошибка аппроксимации  = 17,25% вышла за допустимые пределы (8-10%), что подтверждает неудачный выбор модели регрессии.

5. Для проверки гипотезы Н₀: b=0 (об отсутствии линейной связи между признаками) используют F-распределение.

Рассчитаем  значение F-критерия Фишера:

 

где m - число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной х); n - объем совокупности.

 

Сравним полученное значение F-критерия Фишера с F_крит, найденным по таблице (см. приложение) по параметрам α, ν₁=m; ν₂=n – m – 1:

F_табл=F_крит(α=0,01;ν₁=1;ν₂=14) = 8,86

Т.к. неравенство F_факт>F_табл не выполняется (0,33<8,86), то гипотеза Н₀ о статистической незначимости параметра b в уравнении регрессии не отвергается. Уравнение регрессии статистически незначимо, линейная связь между признаками отсутствует.

6. Полученные оценки модели и  ее параметров не позволяют  использовать ее для прогноза.

Выберем в качестве модели нелинейное уравнение регрессии:

b) y=a+b₁x+ b₂x² +ε

1. Рассчитаем  параметры уравнения регрессии,  предварительно линеаризовав его. Обозначим: x = z₁ x²= z₂

Получим линейное уравнение множественной регрессии:

y=a+b₁z₁+b₂z₂+ε

Рассчитаем  параметры полученного уравнения, по формулам, полученным с помощью  метода наименьших квадратов (МНК).

Для этого необходимо найти решение  системы уравнений:

 

Коэффициенты уравнения множественной  регрессии можно также определить с помощью стандартизированных коэффициентов регрессии β₁ и β₂

 

 

 

на основании уравнения регрессии в стандартизированном масштабе:

 

где, – стандартизированные переменные,

β₁, β₂ – стандартизированные коэффициенты, которые определяются из системы уравнений:

 

по формулам:

 

 

где – парные коэффициенты корреляции:

 

 

 

Результаты  расчетов приведем в таблице:

 

 

№	y	z1=x	z2=x2	yz1	yz2	z1z2	z12	z22	y2				A (%)
1	416	1288	1658944	535808	690120704	2136719872	1658944	2752095195136	173056	390,32	25,68	659,26	6,17
2	501	1435	2059225	718935	1031671725	2954987875	2059225	4240407600625	251001	414,16	86,84	7541,33	17,33
3	403	1210	1464100	487630	590032300	1771561000	1464100	2143588810000	162409	382,96	20,04	401,43	4,97
4	208	1190	1416100	247520	294548800	1685159000	1416100	2005339210000	43264	381,67	-173,67	30160,51	83,49
5	462	1640	2689600	757680	1242595200	4410944000	2689600	7233948160000	213444	469,14	-7,14	50,98	1,55
6	386	1420	2016400	548120	778330400	2863288000	2016400	4065868960000	148996	411,13	-25,13	631,54	6,51
7	399	1250	1562500	498750	623437500	1953125000	1562500	2441406250000	159201	386,28	12,72	161,78	3,19
8	342	870	756900	297540	258859800	658503000	756900	572897610000	116964	393,70	-51,70	2673,29	15,12
9	354	740	547600	261960	193850400	405224000	547600	299865760000	125316	416,22	-62,22	3871,21	17,58
10	558	910	828100	507780	462079800	753571000	828100	685749610000	311364	388,82	169,18	28620,23	30,32
11	302	1020	1040400	308040	314200800	1061208000	1040400	1082432160000	91204	380,38	-78,38	6143,26	25,95
12	360	1050	1102500	378000	396900000	1157625000	1102500	1215506250000	129600	379,34	-19,34	374,07	5,37
13	310	1205	1452025	373550	450127750	1749690125	1452025	2108376600625	96100	382,62	-72,62	5273,32	23,43
14	415	990	980100	410850	406741500	970299000	980100	960596010000	172225	381,96	33,04	1091,69	7,96
15	452	1042	1085764	470984	490765328	1131366088	1085764	1178883463696	204304	379,56	72,44	5246,86	16,03
16	450	1037	1075369	466650	483916050	1115157653	1075369	1156418486161	202500	379,72	70,28	4938,69	15,62
Σ	6318	18297	21735627	7269797	8708178057	26778428613	21735627	34143380136243	2600948	6318	0,00	97839,5	280,58
Среднее значение	394,88	1143,56	1358476,69	454362,31	544261128,56	1673651788,31	1358476,69	2133961258515,19	162559,25	394,88	0,00	6114,97	17,54
σ	81,44	225,26	537124,15
σ2	6632,98	50741,5	288502348034,22

 

Из таблицы  видно, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

 

 

Тогда коэффициенты уравнения множественной  регрессии равны:

 

 

 

 

 

Линейное  уравнение множественной регрессии имеет вид:

=738,355–0,6583z₁+0,0003z₂

Вернемся к нелинейной модели: y=a+b₁x+ b₂x² +ε

 

=738,355–0,6583x+0,0003x²

2. Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле:

 

 

 

Значение коэффициента детерминации говорит о том, что только 7,81% изменения  признака объясняется вариацией  объясняющих переменных z₁ и z₂.

Оценим надежность нелинейной модели с помощью индекса корреляции:

 

 

Полученное значение индекса  корреляции также свидетельствует  о том, что связь между признаками у и x очень слабая.

3. Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:

 

 

 

 

 

Следовательно, при увеличении z₁ на 1% у уменьшается на 1,91 % от своего среднего уровня.

При увеличении z₂ на 1% у увеличивается на 1,04% от своего среднего уровня.

4. Для оценки качества моделей  определяется средняя ошибка  аппроксимации:

 

Средняя ошибка аппроксимации  = 17,57% вышла за допустимые пределы (8-10%), что говорит о неудачном выборе модели регрессии.

5. Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле:

 

где m - число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной х); n - объем совокупности.

 

Сравним полученное значение F-критерия Фишера с F_крит, найденным по таблице (см. приложение) по параметрам α, ν₁=m; ν₂=n – m – 1:

F_табл=F_крит(α=0,01;ν₁=2;ν₂=13) = 6,7

Т.к. неравенство F_факт>F_табл не выполняется (0,55<6,7), то уравнение регрессии статистически не значимо в целом.

Выясним статистическую значимость каждого  фактора во множественном уравнении регрессии.

Для этого  рассчитаем частные F- статистики:

 

 

 

 

Сравним полученные значения F-критерия Фишера с F_крит, найденным по таблице (см. приложение) по параметрам α, ν₁=1; ν₂=n – m – 1:

F_табл=F_крит(α=0,01;ν₁=1;ν₂=13) = 9,07

Т.к. неравенство F_xjфакт>F_табл не выполняется (0,649<9,07 и 0,773<9,07), то параметры уравнения регрессии b₁ и b₂ статистически незначимы.

Полученные  результаты еще раз подтвердили  статистическую незначимость уравнения регресии в целом и всех его параметров.

6. Полученные оценки модели и  ее параметров не позволяют  использовать ее для прогноза.

 

 

 

Задача 16

Имеются данные 12 месяцев по 5 районам города о рынке вторичного жилья (y  - стоимость квартиры, тыс.у.е., x₁ – размер жилой площади, м², x₂ – размер кухни, м²).

Задача 16
y	x1	x2
13,0	37,0	6,2
16,4	60,9	10,0
17,0	60,0	8,5
15,2	52,1	7,4
14,2	40,1	7,0
10,5	30,4	6,2
20,0	43,0	7,5
12,0	32,1	6,4
15,6	35,1	7,0
12,5	32,0	6,2
13,2	33,0	6,0
14,6	32,5	5,8

Задание:

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.
2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.
3. Оцените статистическую значимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01).
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.
5. Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и отберите информативные факторы.
6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

1. Рассчитаем параметры линейного уравнения множественной регрессии:

y=a+b₁x₁+b₂x₂+ε

Для этого необходимо найти решение  системы уравнений:

 

Коэффициенты уравнения множественной  регрессии можно также определить с помощью стандартизированных коэффициентов регрессии β₁ и β₂

 

 

 

на основании уравнения регрессии в стандартизированном масштабе:

 

где, – стандартизированные переменные,

β₁, β₂ – стандартизированные коэффициенты, которые определяются из системы уравнений:

 

по формулам:

 

 

где – парные коэффициенты корреляции:

 

 

 

Результаты  расчетов приведем в таблице:

№	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2	x12	x22	y2	yрасч	y-yрасч		(y-yрасч)2	A (%)
1	13	37	6,2	481	80,6	229,4	1369	38,44	169	13,76	-0,76		0,58	5,83
2	16,4	60,9	10	998,76	164	609	3708,81	100	268,96	17,93	-1,53		2,35	9,35
3	17	60	8,5	1020	144,5	510	3600	72,25	289	17,10	-0,10		0,01	0,59
4	15,2	52,1	7,4	791,92	112,48	385,54	2714,41	54,76	231,04	15,80	-0,60		0,36	3,94
5	14,2	40,1	7	569,42	99,4	280,7	1608,01	49	201,64	14,45	-0,25		0,06	1,78
6	10,5	30,4	6,2	319,2	65,1	188,48	924,16	38,44	110,25	13,13	-2,63		6,90	25,02
7	20	43	7,5	860	150	322,5	1849	56,25	400	14,98	5,02		25,22	25,11
8	12	32,1	6,4	385,2	76,8	205,44	1030,41	40,96	144	13,39	-1,39		1,93	11,58
9	15,6	35,1	7	547,56	109,2	245,7	1232,01	49	243,36	13,97	1,63		2,64	10,42
10	12,5	32	6,2	400	77,5	198,4	1024	38,44	156,25	13,28	-0,78		0,61	6,24
11	13,2	33	6	435,6	79,2	198	1089	36	174,24	13,28	-0,08		0,01	0,58
12	14,6	32,5	5,8	474,5	84,68	188,5	1056,25	33,64	213,16	13,13	1,47		2,16	10,07
Σ	174,2	488,2	84,2	7283,16	1243,5	3561,66	21205,06	607,18	2600,9	174,20	0,00		42,83	110,52
Среднее значение	14,52	40,68	7,02	606,93	103,62	296,81	1767,09	50,60	216,74	14,52	0,00		3,57	9,21
σ	2,45	10,58	1,17
σ2	6,01	111,95	1,36

Из таблицы  видно, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

 

 

Тогда коэффициенты уравнения множественной  регрессии равны:

 

 

 

 

 

Стандартизованная форма уравнения регрессии имеет вид:

 

Естественная  форма уравнения регрессии имеет  вид:

=7,139 +0,0956x₁+0,4972x₂

2. Для  выяснения относительной силы  влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:

 

 

 

 

 

Следовательно, при увеличении размера жилой площади (x₁) на 1% стоимость квартиры (у) увеличивается на 0,27 % от своего среднего уровня.

При увеличении размера кухни (х₂) на 1% стоимость квартиры (у) увеличивается на 0,24% от своего среднего уровня.

3. Значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью индекса множественной корреляции. Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле:

 

 

 

Значение коэффициента детерминации говорит о том, что 40,6% изменения признака объясняется вариацией объясняющих переменных x₁ и x₂.

Рассчитаем  значение F-критерия Фишера по формуле:

 

где m - число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной х); n - объем совокупности.

 

Сравним полученное значение F-критерия Фишера с F_крит, найденным по таблице (см. приложение) по параметрам α, ν₁=m; ν₂=n – m – 1:

F_табл=F_крит(α=0,01;ν₁=2;ν₂=9) = 8,02

Т.к. неравенство F_факт>F_табл не выполняется (3,08<8,02), то уравнение регрессии статистически не значимо в целом.

Выясним статистическую значимость каждого  фактора во множественном уравнении регрессии.

Для этого  рассчитаем частные F- статистики:

 

 

 

 

Сравним полученные значения F-критерия Фишера с F_крит, найденным по таблице (см. приложение) по параметрам α, ν₁=1; ν₂=n – m – 1:

F_табл=F_крит(α=0,01;ν₁=1;ν₂=9) = 10,56

Т.к. неравенство F_xjфакт>F_табл не выполняется (0,41<10,56 и 0,13<10,56), то параметры уравнения регрессии b₁ и b₂ статистически незначимы.

Зная величину F_xiфакт можно определить значение t- статистики для коэффициентов b_i по формуле:

 

 

 

Сравним полученные t_факт с табличными значениями t-статистики (см. приложение), найденными по параметрам α и ν=n – 2:

t_табл(α=0,01;ν=10) = 3,169

Т.к. неравенство t_факт>t_табл не выполняется (0,638<3,169 и 0,366<3,169), то гипотезы о несущественности коэффициентов уравнения регрессии b₁ и b₂ не отвергаются.

Полученные  результаты еще раз подтвердили  статистическую незначимость уравнения регресии в целом и всех его параметров и нецелесообразность включения данных факторов в уравнение регрессии.

4. Для оценки качества моделей определяется средняя ошибка аппроксимации:

 

Значение средней ошибки аппроксимации = 9,21% находится в допустимых пределах (8-10%).

6. Все полученные  результаты говорят о нецелесообразности  построения модели множественной  регрессии по данной выборке.

 

Задача 26

Модель имеет вид:

 

Задание:

1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.
2. Определите тип модели.
3. Определите метод оценки параметров модели.
4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.
5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.

Решение:

     Модель имеет 3 эндогенные (Y₁,Y₂ Y₃) и 2 экзогенные переменные (X₁,X₂).

Проверим необходимое условие идентификации:

D+1=H уравнение идентифицировано

D+1<H уравнение не идентифицировано

D+1>H уравнение сверх идентифицировано

где Н - число эндогенных переменных

D - число предопределенных (экзогенных и лаговых), отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

1 уравнение является тождеством, так как представляет собой алгебраическое соотношение между эндогенными переменными: D=0, H=2 (Y₁,Y₂).

2 уравнение: D=1 (X₁) H=2 (Y₁,Y₂), D+1=H уравнение идентифицируемо

3 уравнение: D=1(X₂), H=2 (Y₂,Y₃), D+1=H уравнение идентифицируемо

Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено.

Система идентифицируема.

Проверим достаточное условие:

В 1 уравнении нет переменных X₁,X₂,Y₃. Строим матрицу:

	X1	X2	Y3
2 уравнение	c21	0	0
3 уравнение	0	1	-1

 

Во 2 уравнении переменных X₂,Y₃. Строим матрицу:

	X2	Y3
1 уравнение	0	0
3 уравнение	1	-1

 

В 3 уравнении нет переменных X₁, Y₁.Строим матрицу:

	X1	Y1
1 уравнение	0	-1
2 уравнение	с21	b21

 

Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено.

Система точно идентифицируема.

2.     Данная система является системой совместных одновременных уравнений.  Другими словами структурной формой модели. Запишем приведенную форму модели. Для этого второе уравнение системы подставим в первое:

 

Преобразуем его:

 

 

 

Полученное  выражение подставим во второе уравнение системы:

 

 

 

А затем полученный результат подставим в третье уравнение

 

 

Таким образом, записали систему в приведенной  форме:

 

3. К приведенной модели можно применить МНК. Для точно идентифицируемой структурной модели, всегда возможно осуществить переход к приведенной форме. Эти действия составляют косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).

 

 

Задача 36

Имеются данные за 12 лет по 5 странам  о годовом объеме продаж автомобилей.

Год	Объем продаж 100 тыс.
	Задача 36
	Страна А
1986	3,8
1987	4,7
1988	3,9
1989	2,7
1990	2,9
1991	2,3
1992	3,0
1993	3,6
1994	2,9
1995	3,7
1996	4,5
1997	4,2