Контрольная работа по "Эконометрике". 4. 2

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Челябинский государственный университет

Институт Экономики отраслей, бизнеса

и администрирования

Кафедра экономики отраслей и рынков

Контрольная  работа.

по предмету: Эконометрика.

Челябинск

2011

Проведем регрессионный анализ зависимости домашнего расхода от различных факторов по предоставленным в таблице данным.

                                                                                                                                                  Таблица 1.

Исходные статистические данные

1.      Построение описательной экономической модели.

Предположим что, на домашний расход влияет установленный расход, также на величину домашнего расхода влияют оплаченные услуги.

2. Исходя их сделанного предположения строим эконометрическую модель, которая относится к классу факторных статистических моделей:

у = f (х1, х2)

где    х1 – установленный расход (объясняющая переменная)

              х2 – оплаченные услуги (объясняющая переменная)

              у – установленный расход (зависимая переменная)

Чтобы убедиться в том, что выбор объясняющих переменных оправдан, оценим связь между признаками количественно, для этого заполним матрицу корреляций.

                                                                                                                                            Таблица 2.

Матрица корреляций между исходными статистическими признаками

Анализируя матрицу корреляций, можем сделать вывод о наличии положительной связи между домашним расходом и установленным расходом. В то же время связи между домашним расходом и оплаченными услугами и установленным расходом и оплаченными услугами не прослеживается. Поэтому модифицируем модель к виду парной регрессии:

у = f (х1)

Для выбора функциональной формы модели проанализируем корреляционное поле:

Рис. 1. Корреляционное поле

(х – домашний расход; у – установленный расход)

Виртуальный анализ показывает, что для построения модели вполне подойдет линейная функция:

у = αо+ α1 х1 + ε

3.      Оценка параметров модели.

Проведем оценку параметров модели при помощи различных способов.

3.1.          Метод средних

Предположим, что изменение установленного расхода обусловлено только изменением домашнего расхода (т.е. αо = 0) Тогда оценка а1 неизвестного параметра α1 определится по формуле:

а1 = Уср / Хср = 287,34/828,91 = 0,35

модель принимает вид: у = 0,35х1 + ε

3.2.           Метод проб

В феврале 2008 года домашний доход был наименьшим (712,4), при этом установленный расход составил 279,7. Можно предположить, что это значение характеризует нулевой уровень зависимой переменной, т. е. ее значение, обусловленное действием прочих факторов.

Тогда рассчитаем оценку параметров а1:

а1 = (Уср. – Уо) / Хср. = (287,34-279,7)/828,91 = 0,009

в этом случае уравнение регрессии примет вид:

у = 279,7 + 0,009х1 + ε

3.3.           Метод выбранных точек

Проанализируем корреляционное поле и выберем точки, которые ближе всех лежат в предполагаемой прямой линии, описывающей модель. Это будут точки «январь» (739,4;230,2) и «июнь» (784,9;283,9)

Рассчитаем параметры модели

а0 = (у1х2 – у2х1)/ (х2-х1)

а0 = (230,2*784,9 – 283,9*739,4)/(784,9-739,4) = -642,5

а0 = (у2-у1) / (х2 – х1) = (283,9 – 230,2) / (784,9-739,4) = 1,18

уравнение регрессии выглядит следующим образом:

у = -642,5 + 1,18х1 + ε

3.4.           Метод наименьших квадратов

Для применения этого метода составим вспомогательную таблицу:

Составим систему для расчета значений параметров:

12а0 + 9980,5а1 = 3460

9980,5а0 + 8371417,4а1 = 2905439,2

решив систему уравнений получим:

а0 = 0,40

а1 = -44,38

Линия регрессии описывается уравнением: у = -44,38 + 0,4х1 + ε

Сведем полученные результаты в таблицу:

                                                                                                                                            Таблица 3.

Уравнения регрессий, полученные при помощи разных методов

4.      Проверка качества построенной модели

Выполним оценку качества поэтапно:

4.1.           Оценку адекватности модели в целом проведем для каждой из выбранных моделей:

Таблица 4.

Предварительные расчеты для вычисления дисперсий случайных отклонений

На основе таблицы для каждой модели рассчитаем значение дисперсий случайного остатка и значения коэффициента детерминации. Результат запишем в таблицу:

                                                                                                                                            Таблица 5.

Оценка адекватности моделей парной регрессии

Как видно из таблицы, наилучшее качество имеют модели метода средних и метода наименьших квадратов. Но модель, построенная по методу наименьших квадратов имеет наилучшее качество.

Следующие этапы оценки качества проведем только для этой модели.

Для нее расчетное значение F – критерия равно:

F = R2 / (1 – R2) * (n – 2) /1 = 0.942/0.058*(12-2)/1 = 162.41

а соответствующее критическое значение  F0.05;1;10 = 4,96 (10%)

                                                                                                                F0,01;1;10 = 10,04 (2%)

Поскольку расчетное значение больше критического, то модель признается статистически значимой.

4.2. Вычислим дисперсии оценок коэффициентов регрессии.

Для этого воспользуемся формулами:

Sа12 = Se2/ (xi – xср.) = 1754,7/70552,3 = 0,052

Sa02 = xср.2 * Sa12 = 697618,11*0,025 = 17350,4

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии будут равны:

Sa1 = 0,025 = 0,158

Sa0 = 17350,4 = 131,72

4.3. Оценим статистическую значимость коэффициентов регрессии. Для этого рассчитаем t – статистику для каждого коэффициента.

ta1 = a1/Sa1 = 0.40/0.158 = 2.53

ta0 = a0/Sa0 = 44.38/131.72 = 0.34

Сравним с критическими значениями, взятыми из таблицы:

                                                                                                                                            Таблица 6.

Критические значения t – статистики

Можно сделать вывод, что коэффициент регрессии значим на 80% уровне значимости.

4.4. Оценим доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при разных уровнях значимости. Результат расчета занесем в таблицу:

                                                                                                                                                          Таблица 7.

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при различных уровнях значимости

5. Коэффициент детерминации (R2) достаточно высок (0,942), расчетное значение F – статистики для R2 (162,4) более чем в 16 раз больше критического (10,04), следовательно может использоваться на практике.

6. Как показал расчет, устойчивой связи между изменением оплаченных услуг и установленным расходом нет. Оценим силу связи между этими величинами.

                                                                                                                                                          Таблица 8.

Расчет прироста оплаченных услуг

Обозначим прирост оплаченных услуг через х12. Матрица корреляций в этом случае будет иметь вид:

              Таблица 9.

Матрица корреляций между выбранными статистическими признаками