Контрольная работа по "Эконометрике". 65

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ

ФГБОУ ВПО «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

 

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «Экономика»

 

 

 

 

 

 

 

 

К О Н Т  Р О Л Ь Н А Я    Р А Б О Т А

 

 

По дисциплине: Эконометрика

 

На тему: __________________________________________________

 

Вариант № 8

 

 

 

Выполнила:

Студентка __2__ курса

_____3______ семестра

Удодова В.С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Когалым, 2013

 

Содержание

 

 

ЗАДАЧА  1

 

Имеется  информация  по 10 предприятиям  оптовой  торговли  об  объеме  реализацииY  относительно  размера торговой  площади Х: 

 

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	700	750	800	830	850	900	920	950	980	890
Y	6350	7800	7600	8600	8600	9200	9000	9100	9950	9000

 

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = b₀ + b₁X + e  по  методу  наименьших  квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b₀, b₁, теоретических коэффициентов b₀, b₁ при уровнях значимости a = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте объем реализации  при размере торговой  площади X = 1000 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания M(Y|X = 1000).

5. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных значений объемов реализации при доходе X = 1000.

6. Оцените на сколько изменится объем реализации, если площадь вырастет на 100.

7. Рассчитайте коэффициент детерминации R²

8. Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

 

Решение:

Введем обозначения:

 

Для  простоты  расчетов,  преобразуем  данные:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	0,700	0,750	0,800	0,830	0,850	0,900	0,920	0,950	0,980	0,890
Y	6,350	7,800	7,600	8,600	8,600	9,200	9,000	9,100	9,950	9,000

 

X – факторный признак – размер  торговой  площади (тыс.ед.).

Y – результативный признак – объем реализации  (тыс.ед).

Графически исследуемая  совокупность будет выглядеть следующим образом:

 

В данном случае явно прослеживается линейная зависимость. Все точки расположены в вытянутой зоне и легко аппроксимируются при помощи прямой линии тренда.

Таким образом, видно, что объем  реализации находится в прямой зависимости от размера  торговой  площади, что является вполне объяснимым, исходя из экономического смысла исследуемых величин.

Рассчитаем необходимые для  дальнейших расчетов параметры и  результаты представим в следующей  таблице:

 

N	Факторный показатель,	Результативн. показатель,	X2	Y2	XY
	X	Y
1	0,7	6,35	0,49	40,3225	4,445
2	0,75	7,8	0,5625	60,84	5,85
3	0,8	7,6	0,64	57,76	6,08
4	0,83	8,6	0,6889	73,96	7,138
5	0,85	8,6	0,7225	73,96	7,31
6	0,9	9,2	0,81	84,64	8,28
7	0,92	9	0,8464	81	8,28
8	0,95	9,1	0,9025	82,81	8,645
9	0,98	9,95	0,9604	99,0025	9,751
10	0,89	9	0,7921	81	8,01
Σ	8,57	85,2	7,4153	735,295	73,789

1. Оценим коэффициенты линейной регрессии Y = b₀ + b₁X + e  методом  наименьших  квадратов

 

Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

Ŷ = b₀ + b₁X     (1.1)

где

Ŷ– теоретические  значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

b₀, b₁ – соответствующие оценки коэффициентов (параметры) уравнения регрессии.

Параметры уравнения b₀ , b₁ находят методом наименьших квадратов (МНК) (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), т.е. в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных Y_i от выровненных Ŷ, найденных по уравнению регрессии:

 

S = ® min  (1.2)

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных S = S(b₀, b₁) приравниваем к нулю ее частные производные, т.е.

 

,      (1.3)

 

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

      (1.4)

 

Решим эту систему  в общем виде:

 

 

 

 

Таким образом, в данном случае:

 

= -0,832

 

= 10,897

 

Определив значения оценок коэффициентов уравнения  регрессии b₀, b₁, подставим их в уравнение Ŷ= b₀ + b₁X

Следовательно, в данном случае уравнение линейной регрессии запишется в следующем виде:

 

Ŷ = 10,897X – 0,832

 

Параметр b₁ уравнения регрессии называется коэффициентом регрессии и характеризует изменение результата с изменением фактора на 1 единицу.

Коэффициент b₁ уравнения регрессии служит мерой тесноты линейной связи двух переменных. При наличии прямой корреляционной зависимости коэффициент регрессии имеет положительное значение, а в случае обратной зависимости коэффициент регрессии – отрицательный.

 

Положительный коэффициент регрессии в уравнении  Ŷ = 10,897X – 0,832, (b = 10,897 > 0) подтверждает прямую зависимость между объемом  реализации  и  размером  торговой  площади.

 

2. Проверим статистическую значимость оценок b₀, b₁ теоретических коэффициентов b₀, b₁ при уровнях значимости a = 0,05.

 

При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость  проверки значимости (существенности) каждого коэффициента регрессии. При  этом выясняют, насколько вычисленные  параметры характерны для отображения  комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин.

 

Значимость коэффициентов  простой линейной регрессии (применительно  к совокупностям, у которых n < 30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента.

 

В данном случае уровень  значимости a = 0,05 соответствует вероятности p = 1 – 0,05 = 0,95 = 95%.

 

На первом этапе выдвигается  гипотеза о том, что тот или  иной коэффициент уравнения регрессии  незначительно отличен от 0, т.е. имеет  случайную природу.

При этом вычисляются расчетные (фактические) значения t-критерия:

 

– для параметра b₀: 

 

– для параметра b₁: 

где

m_b0, m_b1 – стандартные ошибки по параметру b₀ / b₁ соответственно вычисляются по формулам:

 

 

 

s_ост – среднее квадратическое отклонение результативного показателя Y от выровненных значений Ŷ, рассчитываемое по формуле:

 

 

n – объём  выборки (в данном случае n = 10).

 – среднее значение факторного  показателя X, вычисляемое по формуле средней арифметической простой:

 

 

Рассчитаем  необходимые для дальнейших расчетов показатели и результаты представим в следующей таблице:

n	X	Y	Ŷ	(Y – Ŷ)2
					(Х-Хср)2
1	0,7	6,35	6,7959	0,1988	0,0246
2	0,75	7,8	7,3408	0,2109	0,0114
3	0,8	7,6	7,8856	0,0816	0,0032
4	0,83	8,6	8,2125	0,1501	0,0007
5	0,85	8,6	8,4305	0,0287	0,0000
6	0,9	9,2	8,9753	0,0505	0,0018
7	0,92	9	9,1932	0,0373	0,0040
8	0,95	9,1	9,5202	0,1765	0,0086
9	0,98	9,95	9,8471	0,0106	0,0151
10	0,89	9	8,8663	0,0179	0,0011
Σ	8,57	85,2	85,0673	0,9630	0,0708

 

Тогда:

s_ост – среднее квадратическое отклонение = = 0,12

 

▪ Стандартные  ошибки:

 

 

 

▪ Расчетные (фактические) значения t-критерия:

 

– для параметра b₀: 

 

– для параметра b₁: 

Вычисленные по вышеприведенным формулам значения сравнивают с критическими t, которые определяют по таблице Стьюдента с учетом уровня значимости α и числом степеней свободы вариации k = n – 2.

 

Параметр признаётся значимым (существенным) при условии, если t_расч > t_табл

 

В этом случае гипотеза о случайно природе формирования данного параметра отклоняется.

 

Следовательно, в данном случае:

 

По таблице  распределения Стьюдента находим  критическое значение t-критерия для k = 10 – 2 = 8 и уровня значимости a = 0,05 = 5,0%.

 

t_табл = 2,306

 

– Параметр b₀

 

t_b0 > t_табл (-0,734 < 2,306),

 

Следовательно, данная оценка теоретического коэффициента регрессии является не значимой, т.е. данный параметр сформировался под действием несистематически влияющего фактора.

 

– Параметр b₁

 

t_b1 > t_табл (8,369 > 2,306),

 

Следовательно, данная оценка теоретического коэффициента регрессии является значимой, т.е. данный параметр не случайно отличен от нуля и сформировался под действием систематически влияющего фактора.

 

3. Рассчитаем 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

 

Доверительные интервалы для теоретических  коэффициентов регрессии рассчитываются с предварительным определением предельной ошибки D для каждого из параметров.

▪ Предельные ошибки коэффициентов рассчитываются:

 

– для параметра b₀: D_b0 = t_табл ´ m_b0

 

– для параметра b₁: D_b1 = t_табл ´ m_b1

 

где

m_b0, m_b1 – стандартные ошибки по параметру b₀ / b₁ соответственно.

t_табл – табличное значение t-критерия Стьюдента.

 

Тогда доверительные  интервалы для теоретических  коэффициентов при соответствующем  уровне значимости (вероятности) будут  вычисляться:

 

g_b0 = b₀ ± D

 

g_b1 = b₁ ± D

 

Данные интервалы  задают соответствующие границы  для изменения параметров уравнения:

 

– верхнюю  границу 95%: g_b0/1 ^верх= b_0/1 + D

 

– нижнюю границу 95%:  g_b0/1 ^нижн = b_0/1 – D

 

Если в доверительный  интервал входит отрицательное значение показателя (т.е. нижняя граница < 0, верхняя > 0), то поскольку оцениваемый параметр не может одновременно принимать как положительное, так и отрицательное значение, то нижняя граница принимается равной 0.

 

Следовательно, в данном случае:

 

Уровень вероятности p = 95% соответствует уровню значимости a = 100% – 95% = 5% = 0,05

 

По таблице распределения Стьюдента находим критическое значение t-критерия для k = 10 – 2 = 8 и уровня значимости a = 0,05 = 5,0%.

 

t_табл = 2,306

▪ Стандартные  ошибки коэффициентов:

 

– для параметра b₀: m_b0 = 1,12

– для параметра b₁: m_b1 = 1,302

 

▪ Предельные ошибки коэффициентов:

 

– для параметра b₀: D_b0 = 2,306 ´ 1,12 = 2,58

– для параметра b₁: D_b1 = 2,306 ´ 1,302 = 3,002

Тогда 95%-е доверительные  интервалы для теоретических  коэффициентов регрессии (при уровне значимости a = 0,05):

 

– Параметр b₀

 

g_b0 = b₀ ± D = -0,832 ± 2,58

 

– верхняя  граница 95%:     g_b0 ^верх= b₀ + D_b0 = -0,832 + 2,58 = 1,748

– нижняя граница 95%:     g_b0 ^нижн = b₀ – D_b0 = -0,832 – 2,58 = -3,412

– Параметр b₁

g_b1 = b₁ ± D =10,897 ± 3,002

– верхняя  граница 95%:     g_b1 ^верх= b₁ + D_b1 = 10,897 + 3,002 = 13,899

– нижняя граница 95%:     g_b1 ^нижн = b₁ – D_b1 = 10,897 – 3,002 = 7,895

 

4. Спрогнозируйте объем реализации при размере торговой  площади X = 1,000 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания M(Y|X = 1,000).

Подставляем значение X = 1,000 в рассчитанное уравнение регрессии Ŷ = 10,897X – 0,832:

 

В данном случае потребление  при доходе X_k = 1,000 составит:

 

Ŷ_k  = 10,897 ´ 1,000 – 0,832 = 10,897 – 0,832 = 10,065

 

Доверительный интервал прогноза индивидуального значения рассчитывается аналогично доверительным интервалам для теоретических коэффициентов регрессии с предварительным определением предельной ошибки D:

 

▪ Предельная ошибка индивидуального прогнозного значения:

 

= t_табл ´

где

t_табл – табличное значение t-критерия Стьюдента.

 – стандартная ошибка индивидуального  прогноза значения.

 

▪ Стандартная ошибка индивидуального прогнозного значения:

 

где

X_k – конкретное индивидуальное значение (в данном случае X_k = 1,000).

s_ост – среднее квадратическое отклонение X (рассчитано ранее = 0,12)

n – – число  наблюдений. (в данном случае n = 10).

 

▪ 95%-й доверительный интервал индивидуального прогнозного значения:

 

Следовательно, в данном случае:

 

Уровень вероятности p = 95% соответствует уровню значимости a = 100% – 95% = 5% = 0,05

 

По таблице распределения  Стьюдента находим критическое  значение t-критерия для k = 10 – 2 = 8 и уровня значимости a = 0,05 = 5,0%.

 

t_табл = 2,306

 

▪ Стандартная ошибка индивидуального  прогнозного значения

(для условного  математического ожидания M(Y|X = 1000)):

 

 

▪ Предельная ошибка индивидуального  прогнозного значения:

(для условного  математического ожидания M(Y|X = 1,000)):

 

95% доверительный  интервал индивидуального прогнозного  значения:

(для условного  математического ожидания M(Y|X = 1,000)):

 

 

5. Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов реализации при торговой  площади X = 1,000.

Построение 95%-го доверительного интервала индивидуального  прогнозного значения позволяет  рассчитать границы интервалы, в  которых будет сосредоточено не менее 95% возможных значений  объемов  реализации:

– верхняя  граница 95%:  

 

– нижняя граница 95%:  

Следовательно, в данном случае:

 

– верхняя  граница 95%:  

 

– нижняя граница 95%:  

 

Ширина интервала = 0,39 ´ 2 = 0,78

 

Таким образом,

 

95% возможных  объемов реализации Y при размере торговой  площади X = 1,000 будут сосредоточены в интервале 9,675 £ Y £ 10,455.

 

6. Оценим насколько изменится объем реализации, если размер  торговой  площади вырастет на 0,100 тыс.ед.

В данном случае ранее было рассчитано среднее значение факторного признака (оборот капитала):

 

= 0,857

 

Если размер  торговой  площади вырастет на 0,100, то соответственно новое его значение составит:

 

X_k = 0,857 + 0,100 = 0,957.

 

Подставляем значение X = 0,957 в рассчитанное хранение регрессии  Ŷ = 10,897X – 0,832:

 

В данном случае объем  реализации  при  размере  торговой  площади  X_k = 0,957 составит:

 

Ŷ_k  = 10,897 ´ 0,957 – 0,832 = 10,428 – 0,832 = 9,596

 

t-критерий Стьюдента в данном случае составляет: t_табл = 2,306

▪ Стандартная  ошибка индивидуального прогнозного  значения

▪ Предельная ошибка индивидуального прогнозного  значения:

 

▪ 95% доверительный  интервал индивидуального прогнозного значения:

 

 

– верхняя  граница 95%:  

 

– нижняя граница 95%:  

 

Следовательно, если размер  торговой  площади  возрастет на 0,100, то с вероятностью 95% объем  реализации будет находиться в интервале 9,159 < Y < 10,033.

 

7. Рассчитаем коэффициент детерминации R²

 

При линейной форме уравнения применяется  показатель тесноты связи – линейный коэффициент корреляции:

 

,     (1.5)

 

где

n – число наблюдений.

 – соответствующие средние  значения факторного и результативного  признаков.

 

Для практических вычислений при малом числе наблюдений (n ≤ 20÷30) линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле:

 

    (1.6)

 

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале: -1≤ r ≤ 1.

 

Отрицательные значения коэффициента указывают на обратную связь, положительные –  на прямую.

 

Квадрат линейного  коэффициента корреляции R² называется линейным коэффициентом детерминации: R² = (R_XY)²

 

Из определения  коэффициента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, то есть 0 ≤ R² ≤ 1.

 

Следовательно, в данном случае:

 

▪ Коэффициент  корреляции R_XY:

 

 

= 0,947

При R_XY = 0 линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при R_XY = ±1 – связь функциональная.

 

В данном случае линейный коэффициент корреляции близок к единице, следовательно, связь между параметрами достаточно тесная.

 

▪ Коэффициент  детерминации R²:

 

R² = (R_XY)² = 0,947² = 0,897

 

Следовательно, исходя из рассчитанных параметров связь  между факторным и результативным признаками тесная.

 

8. Рассчитаем F-статистику для коэффициента детерминации и оценим его статистическую значимость.

 

На первом этапе  расчета F-критерия Фишера для коэффициента детерминации выдвигается гипотеза о том, что отсутствует влияние факторного признака X на результирующий признак Y.

 

Далее рассчитывает фактическое значение F-критерия Фишера:

 

где

R² – коэффициент детерминации.

n – число наблюдений.

 

На следующем  этапе производится сравнение вычисленного значения F_факт. и F_табл. и делаются соответствующие выводы:

 

– если F_факт. > F_табл., то гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется, т.е. вычисленное значение F-отношения признается достоверным и отличным от единицы; при этом делается вывод о существенности связи признаков.

– если F_факт. < F_табл., то вероятность предполагаемой гипотезы выше заданного уровня значимости и она не может быть отклонена без серьезного риска сделать вывод о наличии связи.

 

В этом случае гипотеза об отсутствии связи между  факторным и результативным показателями не отклоняется, и уравнение регрессии считается статистически незначимым.

 

Следовательно, в данном случае:

 

▪ Фактическое  значение F-критерия Фишера:

 

 = 142,94

 

Уровень вероятности p = 95% соответствует уровню значимости a = 100% – 95% = 5% = 0,05

 

По таблице  теоретических рассчитанных значений F-критерия Фишера находим теоретическое значение критерия для количества параметров k₁ = 1, числа степеней свободы k₂ = 10 – 2 = 8 и уровня значимости a = 0,05 = 5,0%.

 

▪ Теоретическое значение F-критерия Фишера:

 

F_табл. = F_0,05;1;8 = 5,32

 

F_факт. > F_табл. (142,94 > 5,32)

 

▪ Значимость F-критерия Фишера:

 

F_факт. > F_табл. (142,94 > 5,32), следовательно, гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется, т.е. вычисленное значение F-отношения признается значимым и отличным от единицы.

 

Следовательно:

 

Связь между  факторным и результирующим признаками (величиной дохода и величиной  потребления) является существенной.

 

 

ЗАДАЧА 2.

Имеются данные о динамике оборота розничной торговли и потребительских цен региона за два года. Используя метод Ш.Алмон, оцените параметры модели с распределенным лагом. Длину лага выберите не более 4, степень аппроксимирующего полинома – не более 3. Оцените качество построенной модели.

Месяц	Оборот розничной торговли, % к предыдущему месяцу	Индекс потребительских  цен, % к предыдущему месяцу
Январь	70,8	101,7
Февраль	98,7	101,1
Март	97,9	100,4
Апрель	99,6	100,1
Май	96,1	100,0
Июнь	103,4	100,1
Июль	95,5	100,0
Август	102,9	105,8
Сентябрь	77,6	145,0
Октябрь	102,3	99,8
Ноябрь	102,9	102,7
Декабрь	123,1	109,4
Январь	74,3	110,0
Февраль	92,9	106,4
Март	106,0	103,2
Апрель	99,8	103,2
Май	105,2	102,9
Июнь	99,7	100,8
Июль	99,7	101,6
Август	107,9	101,5
Сентябрь	98,8	101,4
Октябрь	104,6	101,7
Ноябрь	106,4	101,7
Декабрь	122,7	101,2