Контрольная работа по "Эконометрике". 60

Государственное образовательное  учреждение

Высшего профессионального  образования

Владимирский государственный  университет

Кафедра ФиЭТ

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: «Эконометрика»

 

Вариант №9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача

По предприятию легкой промышленности региона получена информация, характеризующая  зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Найти:

1. Найти параметры уравнения  линейной регрессии, дать экономическую  интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок  МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость  уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80 % от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения  Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

- гиперболической;

- степенной;

- показательной.

9. Для указанных моделей  найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

 

Таблица значений

 

X	12	4	18	27	26	29	1	13	26	5
Y	21	10	26	33	34	37	9	21	32	14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Построение линейной модели парной регрессии

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

Связь между объемом капиталовложений Х и объемом выпуска продукции Y прямая, сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет  вид:

Значение параметров а и b линейной модели определим, используя данные табл. 1.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции  увеличиться в среднем на 968 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 98,8 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

2. Вычислим остатки

 

t	Факт	Расчет	Ошибка абс.	Ошибка относит.
1	21	19,73	1,27	6,048	1,613
2	10	11,99	-1,99	19,9	3,960
3	26	25,54	0,46	1,769	0,212
4	33	34,25	-1,25	3,788	1,563
5	34	33,28	0,72	2,118	0,518
6	37	36,19	0,81	2,189	0,656
7	9	9,08	-0,08	0,889	0,006
8	21	20,70	0,3	1,429	0,090
9	32	33,28	-1,28	4	1,638
10	14	12,96	1,04	7,429	1,082
Итого	237			49,559	11,338
Ср. знач.	23,7			4,956

 

 

3. Проверим  выполнение предпосылок МНК

Предпосылки построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия  Гаусса-Маркова.

1. в уравнение линейной модели - случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной .
2. математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равна нулю, а дисперсия постоянна.
3. случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).
4. распределение случайного члена является нормальным.

1. свойство случайности

Проверку случайности остаточной компоненты проведем по критерию поворотных точек. Количество поворотных точек  определим по графику остатков: р = 7.

Вычислим критическое значение по формуле:

При n = 10, р_кр. = 2, тогда р = 7> р_кр. = 2, следовательно, свойство случайности для ряда остаток выполняется.

2. Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты по методу наименьших квадратов, выполняется автоматически. Проверка гомоскедастичности остатков проводиться методом Голдфельда – Кванта.

Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х. разделим на две группы – с большим и меньшим х, и для каждой группы определим уравнения регрессии.

 

t	x	y	yx	x2
1	1	9	9	1	8,508	0,492	5,467	0,242
2	4	10	40	16	11,754	-1,754	17,54	3,077
3	5	14	70	25	12,836	1,164	8,314	1,355
4	12	21	252	144	20,41	0,59	2,81	0,348
5	13	21	273	169	21,492	-0,492	2,343	0,242
Итого	35	75	644	355			36,474	5,264
Ср. знач.	7	15	128,8	71			3,647
6	18	26	468	324	25,726	0,274	1,054	0,075
7	26	32	832	676	33,142	-1,142	3,569	1,304
8	26	34	884	676	33,142	0,858	2,524	0,736
9	27	33	891	729	34,069	-1,069	3,239	1,143
10	29	37	1073	841	35,923	1,077	2,911	1,160
Итого	126	162	4148	3246			13,297	4,418
Ср. знач.	25,2	32,4	829,6	649,2			1,329

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Значение параметров а  и b линейной модели определим, используя данные табл.

Уравнение линейной регрессии  имеет вид:

Рассчитаем остаточные суммы квадратов  для каждой регрессии

Вычислим F – распределение

, при α = 0,05; k₁ = m = 2, k₂ = n-m-1 = 3 F_табл. = 5,32

F<F_табл. = 5,32, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.

3. независимость ряда остатков

Проверяют с помощью  d-критерия Дарбина-Уотсона

t
1	1,27
2	-1,99	1,27	-0,72	0,518
3	0,46	-1,99	-1,53	2,341
4	-1,25	0,46	-0,79	0,624
5	0,72	-1,25	-0,53	0,281
6	0,81	0,72	1,53	2,341
7	-0,08	0,81	0,73	0,533
8	0,3	-0,08	0,22	0,048
9	-1,28	0,3	-0,98	0,960
10	1,04	-1,28	-0,24	0,058
Итого				7,705

Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной корреляции.

4. свойство нормального распределения

Соответствие ряда остатков нормальному  закону распределения проверим с  помощью R/S – критерия.

-стандартная ошибка

-критическому интервалу, следовательно,  критерий выполняется, и остаточная  компонента распределена по нормальному  закону.

Вывод: Для данной модели выполняются все условия Гаусса-Маркова, т.е. выполняются все предпосылки для построения классической линейной регрессионной модели.

4. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

.

F>F_табл. = 5,32, для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n-m-1 = 8. уравнение регрессии с вероятностью0,95 в целом статически значимое, так как F>F_табл.

Определим среднюю относительную  ошибку:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,956%. Поскольку средняя относительная ошибка меньше 5%, то точность модели можно считать высокой.

5. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью t-критерия Стьюдента.

Определим стандартные ошибки m_a, m_b, m_rxy (остаточная дисперсия на одну степень свободы )

Тогда

t-статистики > t_табл. = 2,31, для α = 0,05; df = n-2 = 8, поэтому параметры m_a, m_b, m_rxy не случайно отличны от нуля, они статически значимы.

6. Осуществим  прогнозирование среднего значения  показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

X = 23,2 млн. руб., тогда

Рассчитаем прогнозный интервал:

1. зададим доверительную вероятность γ = 1-α
2. рассчитаем стандартную ошибку прогнозирования

3. размах доверительного интервала t_табл. = 1,86

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 23,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит от 28,2 до 32,94 млн. руб.

7. Представим  графически: фактические и модельные  значения Y, точки прогноза

 

 

 

 

 

 

 

t	y	x	yx	x2
1	21	12	252	144	-2,7	7,29	-4,1	16,81	11,07	19,73	1,27	6,048
2	10	4	40	16	-13,7	187,69	-12,1	146,41	165,77	11,99	-1,99	19,9
3	26	18	468	324	2,3	5,29	1,9	3,61	4,37	25,54	0,46	1,769
4	33	27	891	729	9,3	86,49	10,9	118,81	101,37	34,25	-1,25	3,788
5	34	26	884	676	10,3	106,09	9,9	98,01	101,97	33,28	0,72	2,118
6	37	29	1073	841	13,3	176,89	12,9	166,41	171,57	36,19	0,81	2,189
7	9	1	9	1	-14,7	216,09	-15,1	228,01	221,97	9,08	-0,08	0,889
8	21	13	273	169	-2,7	7,29	-3,1	9,61	8,37	20,70	0,3	1,429
9	32	26	832	676	8,3	68,89	9,9	98,01	82,17	33,28	-1,28	4
10	14	5	70	25	-9,7	94,09	-11,1	123,21	107,67	12,96	1,04	7,429
Итого	237	161	4792	3601	0	956,1		1008,9	976,3			49,559
Ср. знач.	23,7	16,1	479,2	360,1								4,956

Таблица 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение  степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет  вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

t	Факт y(t)	lg(Y)	Переменная x(t)	lg(X)
1	21	1,3222	12	1,0792
2	10	1	4	0,6021
3	26	1,4150	18	1,2553
4	33	1,5185	27	1,4314
5	34	1,5315	26	1,4150
6	37	1,5682	29	1,4624
7	9	0,9542	1	0
8	21	1,3222	13	1,1139
9	32	1,5051	26	1,4150
10	14	1,1461	5	0,6990
Итого	237	13,283	161	10,473
Ср. знач.	23,7	1,3283	16,1	1,0473

Обозначим . Тогда уравнение примет вид Y = A + bX – линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя  данные табл. 2.

;

Y = 0,8536+0,4533X

Перейдем к исходным переменным х и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

.

Связь между показателем y и х можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 95,1% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерия Фишера:

.

F>F_табл. = 5,32, для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n-m-1 = 8. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статически значимое, так как F>F_табл.

Определим среднюю относительную  ошибку:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 10,083%.

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

 

t	y	Y	x	X	YX	X2
1	21	1,3222	12	1,0792	1,4269	1,1647	22,018	-2,7	7,29	-1,018	1,036	4,85
2	10	1	4	0,6021	0,6021	0,3625	13,381	-13,7	187,69	-3,381	11,431	33,81
3	26	1,415	18	1,2553	1,7762	1,5758	26,460	2,3	5,29	-0,46	0,212	1,77
4	33	1,5185	27	1,4314	2,1736	2,0489	31,799	9,3	86,49	1,201	1,442	3,64
5	34	1,5315	26	1,4150	2,1671	2,0022	31,260	10,3	106,09	2,74	7,508	8,06
6	37	1,5682	29	1,4624	2,2933	2,1386	32,846	13,3	176,89	4,154	17,256	11,23
7	9	0,9542	1	0	0	0	7,138	-14,7	216,09	1,862	3,467	20,69
8	21	1,3222	13	1,1139	1,4728	1,2408	22,831	-2,7	7,29	-1,831	3,353	8,72
9	32	1,5051	26	1,4150	2,1297	2,0022	31,260	8,3	68,89	0,74	0,548	2,31
10	14	1,1461	5	0,6990	0,8011	0,4886	14,805	-9,7	94,09	-0,805	0,648	5,75
Итого	237	13,283	161	10,473	14,8429	13,0243		0	956,1	3,202	46,900	100,83
Ср. знач.	23,7	1,3283	16,1	1,0473	1,4843							10,083

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение  показательной функции

Уравнение показательной кривой:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных, для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = A + B·x

Рассчитаем его параметры, используя  данные табл. 3.

Уравнение будет иметь вид:

Y = 0,997+0,0206х

Перейдем к исходным переменным х и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и х можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 94,3% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерия Фишера:

.

F>F_табл. = 5,32, для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n-m-1 = 8. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статически значимое, так как F>F_табл.

Определим среднюю относительную  ошибку:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 10,942%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t	y	Y	x	Yx	x2
1	21	1,3222	12	15,87	144	-2,7	7,29	17,63	11,357	3,37	16,048
2	10	1	4	4,00	16	-13,7	187,69	12,02	4,080	-2,02	20,200
3	26	1,415	18	25,47	324	2,3	5,29	23,49	6,300	2,51	9,654
4	33	1,5185	27	41,00	729	9,3	86,49	36,13	9,797	-3,13	9,485
5	34	1,5315	26	39,82	676	10,3	106,09	34,44	0,194	-0,44	1,294
6	37	1,5682	29	45,48	841	13,3	176,89	39,76	7,618	-2,76	7,459
7	9	0,9542	1	0,95	1	-14,7	216,09	10,42	2,016	-1,42	15,778
8	21	1,3222	13	17,19	169	-2,7	7,29	18,49	6,300	2,51	11,952
9	32	1,5051	26	39,13	676	8,3	68,89	34,44	5,954	-2,44	7,625
10	14	1,1461	5	5,73	25	-9,7	94,09	12,61	1,932	1,39	9,929
Итого	237	13,283	161	234,64	3601	0	956,1		55,548		109,424
Ср. знач.	23,7	1,3283	16,1	23,46	360,1						10,942

Таблица 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение  гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции:

Произведем линеаризацию модели путем  замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение

.

Рассчитаем его параметры по данным табл. 4.

Получим следующее уравнение гиперболической  модели:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и х можно считать относительно сильной.

Коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 46,8% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерия Фишера:

.

F>F_табл. = 5,32, для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n-m-1 = 8. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статически значимое, так как F>F_табл.

Определим среднюю относительную  ошибку:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 37,039%.

 

 

9. Сравним  модели уравнений нелинейной  регрессии по этим характеристикам 

 

Параметры	Коэффициент детерминации R2	Средняя относительная ошибка
1. степенная	0,951	10,083
2. показательная	0,943	10,942
3. гиперболическая	0,468	37,039

 

 

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых  факторов. Чем ближе R² к 1, тем выше качество модели.

Чем выше рассеяние эмпирических точек  вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует  о высоком качестве модели, а при больше 15% - о неудовлетворительном качестве модели.

При сравнении гиперболической, степенной  и показательной моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R² и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель, следовательно, ее можно считать наилучшей.