Контрольная работа по "Эконометрике". 8. 2

Дано два временных ряда: X₁ – месячный уровень осадков (в миллиметрах) и X₂ – среднемесячные удои молока (в галлонах), которые Робинзон составил за 55 месяцев непрерывных наблюдений.

 

Годы	I		II		III		IV		V
X мес	X1	X2	X1	X2	X1	X2	X1	X2	X1	X2
1	29,2	11,2	27,7	6,6	28	5,7	27,8	6,8	28,2	6
2	32,6	9,8	33,1	7,5	33,5	7,1	32,5	7,6	32,5	6,8
3	29,9	8,6	30,6	6,6	31,6	6,6	30,3	7,2	30,8	6,5
4	31,3	8,4	31,2	7,2	32,6	6,4	31,8	6,9	32	7
5	31,3	8,1	31,2	6,7	30	12	30,7	6,9	30,7	6,3
6	24,8	6,8	25	5,5	24,7	8,5	24,9	5,6	24,9	5,1
7	23,3	5,9	23,4	5,3	22,1	7,3	24,6	5,6	24,1	4,9
8	32,2	7,7	32,4	7	33	9,2	32,7	7,1
9	31,8	7,6	32,1	6,8	31,8	8,1	31,9	7,1
10	38,7	8,7	38,6	8,1	39,3	9,7	38,8	8,3
11	34,8	7,7	35,1	7,6	35,7	8,7	35,3	7,6
12	26,7	5,8	26,7	5,3	27	6,5	27	5,8

 

Необходимо провести эконометрический анализ заданных временных рядов  с целью прогнозирования их значений.

 

 

1. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 

Одним из способов анализа временного ряда является графический. На его основе можно делать предположения о наличии в данных временных рядах различных компонент.

Построим график изменения уровня осадков.

Визуальный анализ графика позволяет  утверждать, что во временном ряда тренд отсутствует, зато присутствуют периодически повторяющиеся колебания с периодом, равным двенадцати месяцам.

Проанализируем теперь график изменения удоев молока.

Из графика не следует явное  наличие тренда, хотя возможен незначительный нисходящий тренд. Колебания значений удоев в некоторой степени повторяются. Можно предположить, что период равен году.

 

2. ПЕРВИЧНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 

Для того чтобы проанализировать эти  данные, найдем средние значения временных  рядов.

=30,445  =7,225

Таким образом, среднее количество осадков за время наблюдения составляет 30,445 мм в месяц, а средние удои 7,225 галлонов.

Для дальнейшего анализа определим меру разброса значений, найдем исправленные выборочные дисперсии и стандартные отклонения.

=16,809  =1,989

=4,1  =1,41

Так мы получили меру отклонений значений уровней относительно его среднего, то есть значения количества осадков допускают варьирование в пределах ±4,1 мм от среднего, значения удоев отклоняются от среднего на 1,41 галлона.

Для определения степени статистической взаимосвязи между элементами каждого  временного ряда вычислим автоковариционную и автокорреляционную функции.

Оценим автоковарицию  по имеющимся значениям временных рядов, используя следующую формулу:

, где 

В результате расчетов для  от 1 до 20 получаем следующие значение автоковариации по двум временным рядам:

 

1	5,433396	0,872537	11	5,033533	-0,363947
2	-4,326201	0,255643	12	16,6772	0,299942
3	-6,878074	0,335214	13	5,384793	-0,194742
4	-7,175064	-0,01184	14	-4,30824	-0,659095
5	0,492175	0,137808	15	-6,99993	-0,414411
6	9,357094	0,451824	16	-7,36845	-0,616788
7	0,3911	0,119065	17	0,71843	-0,48074
8	-7,278553	-0,24444	18	9,584277	-0,031131
9	-7,271254	-0,1128	19	0,294995	-0,239751
10	-4,640015	-0,49518	20	-7,19102	-0,550131

 

Выборочный аналог автокорреляционной функции вычислим по формуле:

В знаменателе дроби записана дисперсия  временного ряда, принимающая значения:

= 16,809  = 1,989

Произведя соответствующие расчеты, получаем такие значения автокорреляционных функций:

 

 

 

1	0,32325	0,438644	11	0,299461	-0,182964
2	-0,257379	0,128517	12	0,992179	0,150787
3	-0,409198	0,16852	13	0,320358	-0,097901
4	-0,426867	-0,00595	14	-0,25631	-0,331342
5	0,029281	0,069279	15	-0,41645	-0,208334
6	0,556683	0,227142	16	-0,43837	-0,310073
7	0,023268	0,059856	17	0,042742	-0,241678
8	-0,433024	-0,12288	18	0,570199	-0,01565
9	-0,43259	-0,05671	19	0,01755	-0,120528
10	-0,276049	-0,24894	20	-0,42782	-0,276563

 

Построим график автокорреляционной функции. Для временного ряда осадков  коррелограмма имеет следующий  вид:

 

Из графика видно, что наибольшая зависимость наблюдается между  элементами в момент времени  t и t+12, то есть явно следует, что период колебаний временного ряда равен 12 месяцам.

Коррелограмма временного ряда удоев  выглядит следующим образом:

 

Анализируя график, можно прийти к выводу, что наиболее зависимы соседние уровни временного ряда удоев, так как наибольший коэффициент корреляции имеет первый порядок.

 

3. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

 

3.1. НАЛИЧИЕ НЕСЛУЧАЙНЫХ КОМПОНЕНТ  ВО ВРЕМЕННЫХ РЯДАХ

 

Для выявления факта присутствия  неслучайной составляющей во временных  рядах проверим гипотезу:

Проверим данную гипотезу, используя критерий серий.

Вычислим выборочные медианы исходных данных:

Ме (Х₁) = 31,2 мм. Ме (Х₂) = 7 галлонов

Вместо исходных элементов временного ряда Х(t) сформируем последовательность знаков: +, если Х(t) > Me,

−, если Х(t) < Me.

Полученные результаты для временного ряда осадков оформим в виде таблицы:

 

t	X1		t	X1		t	X1		t	X1
1	29,2	-	15	30,6	-	29	30	-	43	24,6	-
2	32,6	+	16	31,2	-	30	24,7	-	44	32,7	+
3	29,9	-	17	31,2	-	31	22,1	-	45	31,9	+
4	31,3	+	18	25	-	32	33	+	46	38,8	+
5	31,3	+	19	23,4	-	33	31,8	+	47	35,3	+
6	24,8	-	20	32,4	+	34	39,3	+	48	27	-
7	23,3	-	21	32,1	+	35	35,7	+	49	28,2	-
8	32,2	+	22	38,6	+	36	27	-	50	32,5	+
9	31,8	+	23	35,1	+	37	27,8	-	51	30,8	-
10	38,7	+	24	26,7	-	38	32,5	+	52	32	+
11	34,8	+	25	28	-	39	30,3	-	53	30,7	-
12	26,7	-	26	33,5	+	40	31,8	+	54	24,9	-
13	27,7	-	27	31,6	+	41	30,7	-	55	24,1	-
14	33,1	+	28	32,6	+	42	24,9	-	56

 

Для временного ряда удоев результаты следующие:

 

t	X2		t	X2		t	X2		t	X2
1	11,2	+	15	6,6	-	29	12	+	43	5,6	-
2	9,8	+	16	7,2	+	30	8,5	+	44	7,1	+
3	8,6	+	17	6,7	-	31	7,3	+	45	7,1	+
4	8,4	+	18	5,5	-	32	9,2	+	46	8,3	+
5	8,1	+	19	5,3	-	33	8,1	+	47	7,6	+
6	6,8	-	20	7	-	34	9,7	+	48	5,8	-
7	5,9	-	21	6,8	-	35	8,7	+	49	6	-
8	7,7	+	22	8,1	+	36	6,5	-	50	6,8	-
9	7,6	+	23	7,6	+	37	6,8	-	51	6,5	-
10	8,7	+	24	5,3	-	38	7,6	+	52	7	-
11	7,7	+	25	5,7	-	39	7,2	+	53	6,3	-
12	5,8	-	26	7,1	+	40	6,9	-	54	5,1	-
13	6,6	-	27	6,6	-	41	6,9	-	55	4,9	-
14	7,5	+	28	6,4	-	42	5,6	-	56

 

Вычислим характеристики данной последовательности: количество серий – ν, длину максимальной серии – τ. Для данных рядов они примут следующие значения:

 

ν (Х₁) = 25 ν (Х₂) = 18

τ (Х₁) = 5 τ (Х₂) = 8

 

Проверим удовлетворяют  ли эти значения неравенствам:

ν (55) > 0,5(55 + 2 - 1,96 ) = 21,232

τ (55) < 1,43ln(55 + 1) = 5,76

 

В первом случае оба неравенства выполняются, то есть не отвергается, что говорит об отсутствии трендовой компоненты в разложении ряда. Во втором оба неравенства не выполняются, это означает, что во временном ряде удоев присутствуют неслучайные компоненты. Речь идет в первую очередь о трендовой компоненте.

 

Проверим ту же гипотезу, используя  критерий «восходящих» и «нисходящих» серий, чтобы «уловить» постепенное смещение среднего значения не только монотонного, но и периодического характера.

Вместо исходных элементов временного ряда Х(t) сформируем последовательность знаков: +, если Х(t+1) > Х(t),

−, если Х(t+1) < Х(t).

Полученные результаты для временного ряда осадков оформим в виде таблицы:

 

t	X1		t	X1		t	X1		t	X1
1	29,2	+	15	30,6	+	29	30	-	43	24,6	+
2	32,6	-	16	31,2	-	30	24,7	-	44	32,7	-
3	29,9	+	17	31,2	-	31	22,1	+	45	31,9	+
4	31,3	-	18	25	-	32	33	-	46	38,8	-
5	31,3	-	19	23,4	+	33	31,8	+	47	35,3	-
6	24,8	-	20	32,4	-	34	39,3	-	48	27	+
7	23,3	+	21	32,1	+	35	35,7	-	49	28,2	+
8	32,2	-	22	38,6	-	36	27	+	50	32,5	-
9	31,8	+	23	35,1	-	37	27,8	+	51	30,8	+
10	38,7	-	24	26,7	+	38	32,5	-	52	32	-
11	34,8	-	25	28	+	39	30,3	+	53	30,7	-
12	26,7	+	26	33,5	-	40	31,8	-	54	24,9	-
13	27,7	+	27	31,6	+	41	30,7	-	55	24,1	-
14	33,1	-	28	32,6	-	42	24,9	-	56

 

Для временного ряда удоев результаты имеют вид:

 

t	X2		t	X2		t	X2		t	X2
1	11,2	-	15	6,6	+	29	12	-	43	5,6	+
2	9,8	-	16	7,2	-	30	8,5	-	44	7,1	-
3	8,6	-	17	6,7	-	31	7,3	+	45	7,1	+
4	8,4	-	18	5,5	-	32	9,2	-	46	8,3	-
5	8,1	-	19	5,3	+	33	8,1	+	47	7,6	-
6	6,8	-	20	7	-	34	9,7	-	48	5,8	+
7	5,9	+	21	6,8	+	35	8,7	-	49	6	+
8	7,7	-	22	8,1	-	36	6,5	+	50	6,8	-
9	7,6	+	23	7,6	-	37	6,8	+	51	6,5	+
10	8,7	-	24	5,3	+	38	7,6	-	52	7	-
11	7,7	-	25	5,7	+	39	7,2	-	53	6,3	-
12	5,8	+	26	7,1	-	40	6,9	-	54	5,1	-
13	6,6	+	27	6,6	-	41	6,9	-	55	4,9
14	7,5	-	28	6,4	+	42	5,6	-	56

 

Вычислим характеристики данной последовательности: количество серий – ν, длину максимальной серии – τ. Для данных рядов они примут следующие значения:

 

ν (Х₁) = 36 ν (Х₂) = 31

τ (Х₁) = 3 τ (Х₂) = 8

 

Проверим, удовлетворяют ли эти значения неравенствам:

ν (55) > 1/3(55×2 – 1) - 1,96 = 30,31

τ (55) < 6

 

В первом случае выполняются оба  неравенства, это означает, что  не отвергается, то есть не отвергается предположении об отсутствии неслучайных компонент в разложении временного ряда. Однако графический и первичный статистический анализ отвергают данное предположение. Поэтому предположим, что в разложении временного ряда присутствует сезонность с периодом 12 месяцев.

Во втором одно из условий не выполняется, поэтому гипотеза отвергается, т.е. в модели присутствуют неслучайные компоненты. Данный критерий говорит о присутствии сезонной или циклической компоненты.

 

3.2. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

 

В ходе анализа было выявлено, что  в разложении временного ряда осадков присутствует только сезонная компонента. Значит, аддитивная модель данного временного ряда будет иметь следующий вид:

Как было определено выше, в уравнении временного ряда удоев присутствуют как трендовая, так и сезонная компоненты. Тогда аддитивная модель данного временного ряда выглядит следующим образом:

Далее оценим сезонные и трендовые  компоненты временных рядов.

 

3.3. ОЦЕНКА СЕЗОННОЙ КОМПОНЕНТЫ

 

С помощью метода скользящих средних  оценим сезонную компоненту во временном  ряду осадков.

Учитывая, что при графическом  и статистическом анализе был определен период колебаний, равный году, а также исходя из условия задачи, установим период скольжения в 12 месяцев. Рассчитаем скользящие средние и центрируем их. Результаты расчетов представлены в таблице:

 

X1	Xск ср	Xцент	X1	Xск ср	Xцент	X1	Xск ср	Xцент	X1	Xск ср	Xцент
29,2			31,2	30,575	30,571	22,1	30,775	30,767	38,8	30,767	30,775
32,6			31,2	30,567	30,579	33	30,758	30,717	35,3	30,783	30,783
29,9			25	30,592	30,592	31,8	30,675	30,621	27	30,783	30,783
31,3			23,4	30,592	30,604	39,3	30,567	30,533	28,2	30,783	30,763
31,3			32,4	30,617	30,633	35,7	30,500	30,529	32,5	30,742
24,8			32,1	30,650	30,692	27	30,558	30,567	30,8
23,3	30,550	30,488	38,6	30,733	30,792	27,8	30,575	30,679	32
32,2	30,425	30,446	35,1	30,850	30,800	32,5	30,783	30,771	30,7
31,8	30,467	30,496	26,7	30,750	30,738	30,3	30,758	30,763	24,9
38,7	30,525	30,521	28	30,725	30,671	31,8	30,767	30,746	24,1
34,8	30,517	30,513	33,5	30,617	30,642	30,7	30,725	30,708
26,7	30,508	30,517	31,6	30,667	30,654	24,9	30,692	30,692
27,7	30,525	30,529	32,6	30,642	30,671	24,6	30,692	30,708
33,1	30,533	30,542	30	30,700	30,725	32,7	30,725	30,725
30,6	30,550	30,563	24,7	30,750	30,763	31,9	30,725	30,746
33	30,583	30,563	30,1	30,617	30,633	33,2	30,775	30,779
31,1	30,542	30,567	25,2	30,650	30,650	31,9	30,783	30,758

 

Найдем разность между  элементами ряда и центрированными  средними. С помощью осреднения определим оценки сезонной компоненты. Рассчитанные разности, а также значения сезонной компоненты приведены в таблице:

 

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
-	-	-	-	-	-	-7,188	1,754	1,304	8,179	4,287	-3,817
-2,829	2,558	0,038	0,629	0,621	-5,592	-7,204	1,767	1,408	7,808	4,300	-4,038
-2,671	2,858	0,946	1,929	-0,725	-6,063	-8,667	2,283	1,179	8,767	5,171	-3,567
-2,879	1,729	-0,463	1,054	-0,008	-5,792	-6,108	1,975	1,154	8,025	4,517	-3,783
-2,563	-	-	-	-	-	-
-2,735	2,382	0,174	1,204	-0,038	-5,815	-7,292	1,945	1,261	8,195	4,569	-3,801

 

Для выполнения условия  взаимопогашаемости сезонных воздействий  приведем сумму значений сезонной компоненты к нулю, отниманием от каждого значения величины:

K = 0,048611/12 = 0,004051

Получим следующие значения сезонной компоненты:

-2,739

2,378

0,170

1,200

-0,042

-5,819

-7,296

1,941

1,257

8,191

4,565

-3,805

Таким образом, получена оценка сезонной компоненты временного ряда осадков.

Для определения постоянной компоненты данного ряда исключим из него сезонность:

 

t	X1(t)-S(t)	t	X1(t)-S(t)	t	X1(t)-S(t)	t	X1(t)-S(t)	t	X1(t)-S(t)	t	X1(t)-S(t)
1	31,939	11	30,235	21	30,843	31	29,396	41	30,742	51	30,630
2	30,222	12	30,505	22	30,409	32	31,059	42	30,719	52	30,800
3	29,730	13	30,439	23	30,535	33	30,543	43	31,896	53	30,742
4	30,100	14	30,722	24	30,505	34	31,109	44	30,759	54	30,719
5	31,342	15	30,430	25	30,739	35	31,135	45	30,643	55	31,396
6	30,619	16	30,000	26	31,122	36	30,805	46	30,609	56
7	30,596	17	31,242	27	31,430	37	30,539	47	30,735	57
8	30,259	18	30,819	28	31,400	38	30,122	48	30,805	58
9	30,543	19	30,696	29	30,042	39	30,130	49	30,939	59
10	30,509	20	30,459	30	30,519	40	30,600	50	30,122	60