Задача 1

      По  предприятиям легкой промышленности региона  получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн. руб.) от объема капитальных вложений (Х, млн. руб.)

      Требуется:

      1. найти параметры  уравнения линейной  регрессии, дать  экономическую интерпретацию коэффициенту регрессии 

     Уравнение линейной регрессии имеет вид: У= а + b * х.

     Оценка  параметров которого может быть оценена  методом наименьших квадратов. Система нормальных уравнений составит:

     b =

     а =

     Уравнение линейной регрессии имеет вид:

     У = - 1,035  +  2,3138 * х

     Т.е. с увеличением объема капитальных вложений на 1 руб. объем выпуска продукции повысится в среднем на 2,3138 %-ных пункта.

     Расчетные значения  определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения, т.е.

     2. Вычислены остатки,  остаточная сумма  квадратов, оценка  дисперсии остатков, построен график остатков

     Для проведения корреляционного анализа  воспользуемся инструментом Корреляция и Регрессия в EXCEL. Результаты вычисления (корреляционного анализа) представлены в таблице 1.

Таблица 1

     Используя расчеты таблицы 1, получаем:

      Остатки по линейной модели равны

     Остаточная сумма квадратов равна - Стандартная ошибка регрессии  S = , где - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии), n – число наблюдений (в нашем примере 10), m – число объясняющих переменных (в нашем примере равно 2). В рассматриваемой модели составляет S = = 2,225694, что свидетельствует о высокой точности построенной модели.

     График  остатков имеет вид:

     3. проверено выполнение  предпосылок МНК

      Оценка параметров модели регрессии (a₀ , b) осуществляется по методу наименьших квадратов. Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости переменных, т.е. решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы.

     Оценим  значимость отдельных параметров построенной  модели. Из таблицы 1 видно, что на уровне значимости α = 0,05 все включенные в модель факторы являются значимыми: Р – значение < 0,05.

     Границы доверительного интервала для коэффициентов  регрессии не содержат противоречивых результатов:

     - с надежностью 0,95 (с вероятностью 95,0 %) коэффициент b₁ лежит в интервале -7,51783 ≤ а₁ ≤ 5,447078;

     - с надежностью 0,95 (с вероятностью 95,0 %) коэффициент b₂ лежит в интервале 2,159098≤ b₁ ≤ 2,46826

     Таким образом, модель запишется в виде:

     

 = - 1,035  +  2,3138 * х

     Как говорилось выше, анализ Р – значения  показывает, что оба коэффициента а₁ и а₂  значимы. 

     4. осуществлена проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента статистической значимости коэффициентов уравнения линейной  регрессии 

ta_j =

     Табличное значение t – критерия при доверительной вероятности 0,95 составляет 2,365. Поскольку  tb₁ > t_расч = 2,365, то коэффициент являются существенными (значимы). 

     5. вычислен коэффициент  детерминации R², проверена значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (a = 0,05), найдена средняя относительная ошибка аппроксимации, оценено качество модели 

     Коэффициент детерминации R² показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Значение R² = 0,993329 свидетельствует о том, что вариация зависимой переменной У (объем производства продукции) в основном (на 99,33 %) можно объяснить вариацией включенных в модель объясняющей переменной Х. Следовательно, около 99,33 % вариации зависимой переменной У учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов. Это свидетельствует об адекватности модели.

     Стандартная ошибка регрессии в рассматриваемой модели составляет 1,225755, что свидетельствует об очень высокой точности построенной модели.

     Расчетное значение F-критерия Фишера составляет  1191,282. Значимость F = 5,43E-10, что меньше чем 0,05. Таким образом,  полученное уравнение в целом значимо. 

      6. построен прогноз  среднего значения  показателя У при  уровне значимости a = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составляет 80,0 % от его максимального значения 

Х _{прогноз} = 54,0 * 0,8 = 43,2   У _{прогноз}  = 98,915 

    7. построен график  фактических, модельных  и прогнозного  значения У (см. график)

      8. составлены уравнения нелинейной регрессии, для каждой из которых найдены коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. 

     8.1. степенная парная регрессия

     Уравнение степенной модели имеет вид:  У = а * х ^b

     Для построения этой модели произведем линеаризацию переменных. Для этого прологарифмируем обе части уравнения:

     lg у = lg а + b * lg  x.

     Обозначим  У = lg , Х = lg  x,  А = lg а. Тогда уравнение примет вид:

     У = А + b * Х   - линейное уравнение регрессии.

     Рассчитаем  его параметры, используя следующую таблицу:

     b =

     А =

     Уравнение регрессии будет иметь вид:   

     У = 0,3455 + 1,0085 *Х

     Перейдем  к исходным переменным у и х, выполнив потенцирование данного уравнения:

     У = 10 ^0,3455 * х ^1,0085

     откуда

     у = 2,21565 * х ^1,0085

     Расчетные значения  определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения, т.е.

     Определим индекс корреляции для данной модели

     r_УХ =

т.е. связь  между показателем у и фактором х нельзя считать достаточно сильной.

     Коэффициент детерминации равен: R² =  r_YX ² = 0,2115

     Вариация  результата У (объема выпуска продукции) только на 21,15 % объясняется вариацией  фактора Х (объемом капиталовложений).

     Рассчитаем  F - критерий Фишера:

     F =

     F < F _табл = 6,61, т.е. уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически незначимо.

     Определим  среднюю относительную ошибку:

     для нашего примера        = 4,30  %

     В среднем расчетные значения  у  для степенной модели отличаются от фактических значений на 4,30 %. 

     8.2. экспоненциальная парная регрессия

     Уравнение показательной  кривой имеет вид:  у = а * b ^х

     Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого прологарифмируем обе части уравнения:

     lg у = lg а + х * lg  b.

     Обозначим  У = lg у, В = lg  b,  А = lg а. Тогда показательное уравнение примет вид:

     У = А + В * х   - линейное уравнение  регрессии.

     Рассчитаем  его параметры, используя следующую  таблицу:

     В =

     А =

     Уравнение регрессии будет иметь вид:   

     У = 1,4914 + 0,01135 *х

     Перейдем  к исходным переменным у и х, выполнив потенцирование данного уравнения:

     У = 10 ^1,4914 * (10 ^0,01135)^х

     у = 31,0027 * 1,0265 ^х

     Расчетные значения  определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения, т.е.

     Определим индекс корреляции

     r_УХ =

     Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.

     Коэффициент детерминации равен: R² =  r_YX ² = 0,1592

     Вариация  результата У (объема выпуска продукции) на 15,92 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

     Рассчитаем  F - критерий Фишера:

     F =

     F < F _табл = 6,61, т.е. уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически ytзначимо.

     Определим  среднюю относительную ошибку:

     для нашего примера        = 5,3  %

     В среднем расчетные значения  у   для показательной модели отличаются от фактических значений на 5,3 %.

      8.3. гиперболическая функция

     Уравнение гиперболической  кривой имеет вид:  у = а * b / х

     Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных  путем  замены Х = 1/х.  Тогда гиперболическое уравнение примет вид:    У = а + b * Х   - линейное уравнение регрессии.

     Рассчитаем  его параметры, используя следующую  таблицу:

     b =

     а =

     Уравнение гиперболической модели имеет вид:

     у = 177,82 – 3145,07 / х

     Расчетные значения  определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения, т.е.

     Определим индекс корреляции

     r_УХ =

     Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.

     Коэффициент детерминации равен: R² =  r_YX ² = 0,2735

     Вариация  результата У (объема выпуска продукции) на 85,12 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

     Рассчитаем  F - критерий Фишера:

     F =

     F < F _табл = 6,61, т.е. уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически незначимо.