Контрольная работа по "Эконометрике". 78

                                                     Контрольная работа по эконометрике

                                

          (составила ст. преподаватель каф. ПМ и И С.А.Почечуева)

    

    Номер  Вашего варианта – последняя  цифра в зачетке. Если это цифра «0», то Ваш вариант 10.

 

Задача 1.

 

 

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y , млн. руб.) от объема капиталовложений (X , млн. руб.)

 

Требуется:

 

1. Построить корреляционное поле и по его виду определить формулу зависимости между X и Y.

 

2. Оценить параметры уравнения линейной регрессии по методу наименьших квадратов, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

 

3. Вычислить выборочный  коэффициент корреляции.  *

 

4. Вычислить коэффициент детерминации . Сделать вывод о качестве модели. (Критерий Фишера*).

 

5. Осуществить прогнозирование среднего значения объёма выпуска продукции, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

 

     6. Построить  график полученного уравнения регрессии в той же системе     координат, что и поле корреляции.

 

 

Вариант 1.

 

X 66 58 73 82 81 84 55 67 81 59 

Y 133 107 145 162 163 170 104 132 159 116 

 

 

 

 

Вариант 2.

 

X 72 52 73 74 76 79 54 68 73 64 

Y 121 84 119 117 129 128 102 111 112 98 

 

Вариант 3.

 

X 38 28 27 37 46 27 41 39 28 44 

Y 69 52 46 63 73 48 67 62 47 67 

 

Вариант 4.

 

X 36 28 43 52 51 54 25 37 51 29 

Y 104 77 117 137 143 144 82 101 132 77 

 

Вариант 5.

 

X 31 23 38 47 46 49 20 32 46 24 

Y 38 26 40 45 51 49 34 35 42 24 

 

Вариант 6.

 

X 33 17 23 17 36 25 39 20 13 12 

Y 43 27 32 29 45 35 47 32 22 24 

 

Вариант 7.

 

X 36 28 43 52 51 54 25 37 51 29 

Y 85 60 99 117 118 125 56 86 115 68 

 

Вариант 8.

 

X 17 22 10 7 12 21 14 7 20 3 

Y 26 27 22 19 21 26 20 15 30 13 

 

Вариант 9.

 

X 12 4 18 27 26 29 1 13 26 5 

Y 21 10 26 33 34 37 9 21 32 14 

 

Вариант 10.

 

X 26 18 33 42 41 44 15 27 41 19 

Y 43 28 51 62 63 67 26 43 61 33 

 

 

 

Задача 2

 

По следующим статистическим данным постройте четыре регрессионные модели

  

 

  

 

1 вариант

T	Y
1	1	0	3
2	3	1	1
3	5	3	0
4	11	4	-2
5	11,5	5	-3

 

2 вариант

T	Y
1	20	10	12
2	35	15	10
3	30	20	9
4	45	25	9
5	50	25	11

 

     3 вариант

T	Y
1	60	40	8
2	69	37	8
3	75	43	6
4	90	35	4
5	100	50	4

 

     4 вариант

T	Y
1	105	38	4
2	110	55	5
3	120	50	3
4	130	35	1
5	140	40	0

 

 

5. вариант

T	Y
1	1	0	3
2	3	1	1
3	5	3	0
4	11	4	-2
5	13	6	-4

 

6. вариант

T	Y
1	130	40	2
2	130	55	3
3	135	45	1
4	140	65	2
5	145	60	3

 

7. вариант

T	Y
1	14	8	1,65
2	16	9,5	1,8
3	18	11	2,0
4	20	12	2,1
5	25	10	2,5

 

8. вариант

T	Y
1	18	11	2,0
2	20	12	2,1
3	23	13	2,2
4	23,5	14	2,4
5	24	15	3,0

 

9. вариант

T	Y
1	23	13	2,2
2	23,5	14	2,4
3	25	15	2,65
4	26,5	16,5	2,85
5	27	18	3,0

 

 

 

 

10. вариант

T	Y
1	25	15	2,65
2	26,5	16,5	2,85
3	28,5	17	3,2
4	30,5	18	3,55
5	33	20	5

 

Сравните построенные  модели. Какая из них предпочтительнее и почему?

 

 

 

 

Образец решения  контрольного задания 

 

Задача 1

 

Для анализа зависимости  объёма потребления Y (y.e) домохозяйства в зависимости от располагаемого дохода X (y.e) отобрана выборка объёма n=12 (помесячно в течение года), результаты которой приведены в таблице. Необходимо определить вид зависимости, методом наименьших квадратов оценить параметры уравнения регрессии Y на X, оценить силу линейной зависимости между Y и X, спрогнозировать потребление при доходе X=160.

 

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	107	109	110	113	120	122	123	128	136	140	145	150
	102	105	108	110	115	117	119	125	132	130	141	144

 

Для определения вида зависимости построим корреляционное поле. Корреляционное поле – это множество точек в системе координат . В нашем примере это 12 точек: (107;102), (109;105),…(150;144).

 

 

 

По расположению точек  на корреляционном поле полагаем, что зависимость между X и М(Y/Х=х) – линейная:

                  

                          ,

где Х – объясняющая переменная,

- оценка условного математического ожидания,

a и  b – оценки параметров уравнения регрессии.

Для упорядочения вычислений a и b по МНК построим следующую таблицу.

 

Таблица

 

i
1	107	102	11449	10914	10404	103.63	-1.64	2.66
2	109	105	11881	11445	11025	105.49	-0.49	0.24
3	110	108	12100	11880	11664	106.43	1.57	2.46
4	113	110	12769	12430	12100	109.23	0.77	0.59
5	120	115	14400	13800	13225	115.77	-0.77	0.59
6	122	117	14887	14274	13689	117.63	-0.63	0.40
7	123	119	15129	14637	14161	118.57	0.43	0.18
8	128	125	16384	16000	15625	123.24	1.76	3.10
9	136	132	18496	17952	17424	130.71	1.29	1.66
10	140	130	1960	18200	16900	134.45	-4.45	19.8
11	145	141	21025	20445	19881	139.11	1.89	3.57
12	150	144	22500	21600	20736	143.78	0.22	0.05
сумма	1503	1448	190617	183577	176834	-		35.3
среднее	125.25	120.67	15884.75	15298.08	14736.17

 

,   ,    ,          

По МНК имеем:

Таким образом, уравнение  парной линейной регрессии имеет  вид:

                              

                              

Построим данную прямую на корреляционном поле.

По полученному уравнению  рассчитаем :

                               ,

в нашем конкретном случае

                               ,

 а так же 

                               .

Для анализа силы линейной зависимости вычислим коэффициент корреляции

                  

Полученное значение коэффициента корреляции позволяет  сделать вывод о сильной (прямой) линейной зависимости между переменными X и Y.

Вычислим коэффициент  детерминации .

                  

Коэффициент детерминации является характеристикой качества уравнения; чем ближе  к единице, тем надёжнее прогноз, сделанный по уравнению регрессии.

Прогнозируемое среднее  потребление при доходе X=160 по данной модели составит

                                  

Коэффициент трактуется как предельная склонность к потреблению; он показывает, на какую величину изменится объём потребления в среднем, если доход возрастёт на одну единицу.

 

Задача 2

 

По следующим статистическим данным постройте четыре регрессионные модели

                      

                      

                      

                      

 

 

 

Сравните построенные  модели. Какая из них предпочтительнее и почему?

 

T	Y
1	0	1	7
2	2	4	3
3	5	6	2
4	11	9	0

 

Как правило, на случайную величину оказывают влияние несколько факторов. Оценим вначале влияние каждой из них в отдельности, затем влияние обеих в совокупности. Часто влияние факторов происходит с запаздыванием. Последняя модель показывает влияние предыдущих значений и на .

Первых два уравнения  являются уравнениями парной линейной регрессии, построение таких уравнений  было рассмотрено в задаче 1.

Для нахождения параметров линейного уравнения регрессии 

                                     

воспользуемся матричным  соотношением:

                                 ,

где следующие матрицы:

             ,          ,        

  - транспонированная матрица ,  - матрица, обратная  .

В нашей задаче     ,      

- транспонированная матрица.  При транспонировании строчки  становятся столбцами, а столбцы  – строчками.

 

Напомню, как перемножаются  матрицы на примере.

        =

 

(в двух последних  матрицах элементы разделяла «;»)

Каждый элемент произведения матриц получается как сумма произведений элементов стоки на соответствующие  элементы столбца.

Найдём обратную матрицу  .

Алгоритм нахождения обратной матрицы.

1  Найти определитель матрицы. Если определитель отличен от нуля, то матрица имеет обратную.

Матрица имеет обратную.

2. Заменим каждый элемент  матрицы   его алгебраическим дополнением:

                            ,

- дополнительный минор, он  равен определителю матрицы, которая  получается вычёркиванием  строки и столбца.

                   

                     

                    

Получили матрицу

                                 

3. Полученную матрицу  следует транспонировать. Так  как матрица симметрична, то  результатом транспонирования будет  та же матрица.

4. Чтобы получить обратную  матрицу, осталось умножить последнюю  матрицу на  :

                 

Найдём

                    

Наконец найдём матрицу-столбец  параметров уравнения регрессии.

  

Получили оценку уравнения  регрессии

                             

Найдём коэффициент детерминации для построенной модели. Коэффициент детерминации вычисляется по формуле:

                           

                       

 

            

Значение коэффициента детерминации говорит о приемлемом качестве уравнения регрессии.

Постройте уравнения  регрессии

                      

как это было сделано  в задаче 1. Сравните качество полученных моделей, сравнив их коэффициенты детерминации.

При построении последней модели Y соответствует предыдущему значению объясняющих переменных.

T	Y
1	2	1	7
2	5	4	3
3	11	6	2

 

Параметры  линейного уравнения регрессии

                                      

находятся точно так же, как это было сделано для первого уравнения.

 

Рекомендуемая литература

 

1. Егорова Г.В., Афоничкин А.И. Основы эконометрики: Учебное пособие. – Тольятти: ПТИС, 2002.
2. Регрессионный анализ: подход с использованием EXCEL: методические указания к практическим работам по дисциплине «Эконометрика»/ сост. Г.В.Егорова. – Тольятти: Изд-во ТГУС, 2008.
3. Кремер А., Путко Б. Эконометрика. – М., 2002.