Контрольная работа по "Эконометрике". 58

Вариант № 19 
 

Задача  №1.

На основе имеющейся  базы данных магазина, торгующего подержанными автомобилям и требуется провести анализ зависимости цены автомобиля У от его возраста Х1 и мощности двигателя Х2 из базы данных. 

Номер автомобиля

i

 Цена

 уi , (тыс. у.е.)

 Возраст–хi1

(лет)

 Мощность двигателя- хi2

(л. с.)

1 12,6 5 139
2 5,1 7 89
3 10,5 6 136
4 6,6 6 84
5 4,8 8 100
6 4,5 7 74
7 12,5 4 114
8 17,1 4 171
9 13 4 125
10 9,2 5 96
11 13,8 5 151
12 13,5 5 151
13 14,3 4 142
14 10,2 6 129
15 9,5 6 118
16 11,8 5 129
 

1.Парные  зависимости. 

    1. Построим поля рассеяний для цены У и возраста автомобиля Х1, а так же для цены У и мощности двигателя Х2. На основе их визуального анализа выдвинем гипотезы о виде статистической зависимости у от х1 и у от х2 и запишем их математически.
 

Построим  поля рассеяния для зависимости  y(x1) и y(x2): 

    

 

    

 

    На  основе анализа полей рассеяния  выдвигаем гипотезы о том, что  зависимость цены автомобиля У от его возраста Х1 и мощности двигателя Х2 описывается линейной регрессионной моделью и соответственно. 

    1.2. Методом наименьших квадратов  найдём оценки уравнений регрессии:

      и   

 Найдем  точечные оценки параметров модели. Для этого составим вспомогательную расчетную таблицу

i Yi Xi1
Xi1Yi   i Yi Xi2
Xi2Yi
1 12,6 5 25 63   1 12,6 139 19321 1751,4
2 5,1 7 49 35,7   2 5,1 89 7921 453,9
3 10,5 6 36 63   3 10,5 136 18496 1428
4 6,6 6 36 39,6   4 6,6 84 7056 554,4
5 4,8 8 64 38,4   5 4,8 100 10000 480
6 4,5 7 49 31,5   6 4,5 74 5476 333
7 12,5 4 16 50   7 12,5 114 12996 1425
8 17,1 4 16 68,4   8 17,1 171 29241 2924,1
9 13 4 16 52   9 13 125 15625 1625
10 9,2 5 25 46   10 9,2 96 9216 883,2
11 13,8 5 25 69   11 13,8 151 22801 2083,8
12 13,5 5 25 67,5   12 13,5 151 22801 2038,5
13 14,3 4 16 57,2   13 14,3 142 20164 2030,6
14 10,2 6 36 61,2   14 10,2 129 16641 1315,8
15 9,5 6 36 57   15 9,5 118 13924 1121
16 11,8 5 25 59   16 11,8 129 16641 1522,2
Итого 169 87 495 858,5   Итого 169 1948 248320 21969,9
 
 

    Для нахождения параметров уравнения регрессии  составляется система линейных уравнений 

      

    Коэффициенты  этой системы находятся по формулам: 
 

     , , ,  

     , ,  

     ,

    

      

     ,  

      
 

    1.3. С помощью коэффициентов парной  корреляции, проанализируем тесноту  линейной связи между ценой  и возрастом автомобиля, а также  между ценой и мощностью двигателя.  Проверим их значимость с надёжностью  0,9: 

    Коэффициенты  парной корреляции вычисляются по формуле 

      

    Рассчитаем  матрицу парных коэффициентов корреляции 

    

      

    Проверим  значимость парных коэффициентов корреляции. Для этого рассчитаем значения выражения  для каждого значения rij. 

    

    

    Т.к. условие  > t0,95;14=1,761 выполняется, то коэффициенты парной корреляции статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля. 

    1. Проверим статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надёжностью   0,9:

Проверим с помощью  критерия Фишера значимость уравнения  регрессии (адекватность модели исследуемой  зависимости): 

1)

Рассчитаем  коэффициенты детерминации для зависимости y от x1:

,

т.е. вариация цены на 79,4% объясняется возрастом автомобиля; 

Рассчитаем  фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

Пусть доверительная вероятность р=0,9. По таблице найдём: Ft(0.1; 1; 14)=3,1

Т.к. FФ >Ft (0,1; 1; 14), то признается статистическая значимость уравнения. 

Проверим статистическую значимость параметров полученной модели:

Для парной регрессии  существует связь между статистиками Стьюдента и Фишера:

     ,

    Для зависимости y от x1 получаем: . Т.к. это значение больше =1,761, поэтому гипотезу о равенстве нулю коэффициента a1 отвергаем. 

2)

Рассчитаем  коэффициенты детерминации для зависимости  y от x2:

,

т.е. вариация цены на 65,8% объясняется мощностью  двигателя; 

Рассчитаем фактическое  значение F-статистики Фишера:

Пусть доверительная вероятность р=0,9. По таблице найдём: Ft(0.1; 1; 14)=3,1

Т.к. FФ >Ft (0,1; 1; 14), то признается статистическая значимость уравнения. 

Проверим  статистическую значимость параметров полученной модели: .

Для парной регрессии  существует связь между статистиками Стьюдента и Фишера:

    

    Для зависимости y от x2 получаем: . Полученное значение также больше 1,761, поэтому гипотезу о равенстве нулю коэффициента b1 также отвергаем. 
 

    1. Построим доверительные  полосы надёжности для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразим на графике поля  рассеяния, прямые регрессии  и доверительные полосы.
 

Доверительные интервалы находятся по формуле 

     , где 

    yв, yн – верхняя и нижняя граница доверительного интервала

     - значение независимой переменной  x, для которой определяется доверительный интервал

     - квантиль распределения Стьюдента  с доверительной вероятностью 1-a и числом степеней свободы n-2. При a=0,1 t0,05;14=2,145.

    Значение  Sy определяется по формуле: 

     ,  

    Расчеты доверительных интервалов для среднего значения цены автомобиля в зависимости  от его возраста проведём в таблице:

i Yi X1i
Корень
1 12,6 5 11,768 0,832 0,693 0,191 0,267 1,007 10,761 12,775
2 5,1 7 6,258 -1,158 1,341 2,441 0,417 1,573 4,685 7,831
3 10,5 6 9,013 1,487 2,212 0,316 0,277 1,046 7,967 10,059
4 6,6 6 9,013 -2,413 5,822 0,316 0,277 1,046 7,967 10,059
5 4,8 8 3,503 1,297 1,683 6,566 0,602 2,269 1,234 5,772
6 4,5 7 6,258 -1,758 3,090 2,441 0,417 1,573 4,685 7,831
7 12,5 4 14,523 -2,023 4,092 2,066 0,396 1,493 13,029 16,016
8 17,1 4 14,523 2,577 6,642 2,066 0,396 1,493 13,029 16,016
9 13 4 14,523 -1,523 2,319 2,066 0,396 1,493 13,029 16,016
10 9,2 5 11,768 -2,568 6,594 0,191 0,267 1,007 10,761 12,775
11 13,8 5 11,768 2,032 4,130 0,191 0,267 1,007 10,761 12,775
12 13,5 5 11,768 1,732 3,000 0,191 0,267 1,007 10,761 12,775
13 14,3 4 14,523 -0,223 0,050 2,066 0,396 1,493 13,029 16,016
14 10,2 6 9,013 1,187 1,409 0,316 0,277 1,046 7,967 10,059
15 9,5 6 9,013 0,487 0,237 0,316 0,277 1,046 7,967 10,059
16 11,8 5 11,768 0,032 0,001 0,191 0,267 1,007 10,761 12,775
Сумма 169 87   0,000 43,313 21,938        
Среднее 10,563 5,438   0,000 3,094          
 
 

Построим доверительную  полосу для уравнения регрессии. Изобразим на графике поля  рассеяния, прямые регрессии  и доверительные  полосы. 
 

    

    Расчеты доверительных интервалов для среднего значения цены автомобиля в зависимости  от от мощности двигателя в таблице:

i Yi X2i
Корень
1 12,6 139 12,71918 -0,119 0,014 297,563 0,299 1,020 11,699 13,739
2 5,1 89 6,467942 -1,368 1,871 1072,563 0,398 1,361 5,107 7,829
3 10,5 136 12,3441 -1,844 3,401 203,063 0,284 0,970 11,374 13,315
4 6,6 84 5,842819 0,757 0,573 1425,063 0,436 1,490 4,353 7,333
5 4,8 100 7,843214 -3,043 9,261 473,063 0,324 1,107 6,737 8,950
6 4,5 74 4,592572 -0,093 0,009 2280,063 0,517 1,765 2,828 6,358
7 12,5 114 9,593559 2,906 8,447 60,063 0,261 0,890 8,704 10,484
8 17,1 171 16,71996 0,380 0,144 2425,563 0,529 1,808 14,912 18,528
9 13 125 10,96883 2,031 4,126 10,563 0,252 0,860 10,108 11,829
10 9,2 96 7,343115 1,857 3,448 663,063 0,349 1,193 6,150 8,536
11 13,8 151 14,21947 -0,419 0,176 855,563 0,373 1,275 12,945 15,494
12 13,5 151 14,21947 -0,719 0,518 855,563 0,373 1,275 12,945 15,494
13 14,3 142 13,09425 1,206 1,454 410,063 0,315 1,076 12,018 14,171
14 10,2 129 11,46893 -1,269 1,610 52,563 0,259 0,886 10,583 12,355
15 9,5 118 10,09366 -0,594 0,352 14,063 0,253 0,863 9,231 10,956
16 11,8 129 11,46893 0,331 0,110 52,563 0,259 0,886 10,583 12,355
Сумма 169 1948   0,000 35,514 11151,000        
Среднее 10,5625 121,75   0,000 2,537          
 
 
 

Построим доверительную  полосу для уравнения регрессии. Изобразим на графике поля  рассеяния, прямые регрессии  и доверительные  полосы. 
 

    

    1.6. На продажу поступила очередная  партия однотипных автомобилей.  Их возраст 3 года, мощность двигателя  165 л.с. Рассчитаем точечный и  интервальный прогноз среднего  значения цены поступивших автомобилей  в зависимости от возраста и мощности двигателя с вероятностью 0,95: 

    Точечный  прогноз: 

    Т.к. возраст автомобилей 3 года, мощность двигателя 165 л.с., то =3 года, =165 л.с. 

     (тыс. у.е.)

     (тыс. у. е.) 

    Интервальный  прогноз: 

    Рассчитаем  интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в  зависимости от возраста с вероятностью 0,95: 

     ,

    

     =17,278±1,761×2.145=17,278±2.178

     =15,100 , =19,456 

    Рассчитаем  интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в  зависимости от мощности с вероятностью 0,95: 

     ,

    

     =15,970±2.145×0,764=15,970±1,639

     =14,331 , =17,609 
 
 

    2. Множественная зависимость. 

    2.1. Найдем по методу наименьших  квадратов оценки коэффициентов  линейной регрессионной модели

    

 

    Для этого выполним следующие расчеты:

    
  12,6
  5,1
  10,5
  6,6
  4,8
  4,5
  12,5
Y= 17,1
  13
  9,2
  13,8
  13,5
  14,3
  10,2
  9,5
  11,8
    
 
1		 5 139
  1 7 89
  1 6 136
  1 6 84
  1 8 100
  1 7 74
  1 4 114
X= 1 4 171
  1 4 125
  1 5 96
  1 5 151
  1 5 151
  1 4 142
  1 6 129
  1 6 118
  1 5 129
       

      

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
XT= 5 7 6 6 8 7 4 4 4 5 5 5 4 6 6 5
  139 89 136 84 100 74 114 171 125 96 151 151 142 129 118 129

    

  16 87 1948
XT×X= 87 495 10281
  1948 10281 248320

    

  7,284 -0,667 -0,030
(XT×X)-1= -0,667 0,075 0,002
  -0,030 0,002 0,000
 
  7,284
XT×Y= -0,667
  -0,030

    

  9,694
A=(XT×X)-1×XT×Y= -1,624
  0,080
 
 

    

 
 

2.2. Проверим  статистическую значимость параметров  и уравнения множественной регрессии  с надёжностью   0,9: 

    Заполним  вспомогательную таблицу для  расчета: 
 
 

X1 X2 Y
5 139 12,6 12,648 0,002 4,151
7 89 5,1 5,415 0,099 29,839
6 136 10,5 10,784 0,081 0,004
6 84 6,6 6,641 0,002 15,701
8 100 4,8 4,667 0,018 33,206
7 74 4,5 4,219 0,079 36,754
4 114 12,5 12,280 0,048 3,754
4 171 17,1 16,822 0,077 42,739
4 125 13 13,157 0,025 5,941
5 96 9,2 9,221 0,000 1,856
5 151 13,8 13,604 0,038 10,481
5 151 13,5 13,604 0,011 8,629
4 142 14,3 14,511 0,045 13,969
6 129 10,2 10,226 0,001 0,131
6 118 9,5 9,350 0,023 1,129
5 129 11,8 11,851 0,003 1,531
        0,550 209,818
 
 

1) Проверим  статистическую значимость параметров  множественной регрессии с надёжностью   0,9: 

    По  таблице критических точек определяем фактическое значение t-критерия Стьюдента:

    t0,9;13=1,771. 

Найдём стандартные  ошибки  коэффициентов по формуле:

    Рассчитаем  стандартные ошибки коэффициентов  регрессии по формуле:

     , j=0,1,…,m,

    где zjj - диагональные элементы обратной матрицы (XT×X)-1, которые равны соответственно

7,284101 0,075473 0,000148

    .

     ,

     ,

     ,

    Т.к. неравенство tФ > t0,9;13=1,771 выполняется для всех коэффициентов, то коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля. 
 

2) Проверим  статистическую значимость уравнения  множественной регрессии с надёжностью   0,9:

Рассчитаем  коэффициенты множественной корреляции и детерминации. 

      

    Тогда коэффициент множественной корреляции R будет равен: 

      

    Коэффициент множественной детерминации равен 

    R2=0,9992=0,9974Þ регрессия y на x1 и x2 объясняет 99,74% колебаний значений y. 

    Рассчитаем  фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

      

    При уровне значимости a=0,1 и количестве степеней свободы df1=1, df2=16-3=13 определяем, что табличное значение F-статистики Фишера будет равно Fт(0,1;1;13)=3,136. Т.к. Fт<Fф то признается статистическая значимость уравнения регрессии, и оно может быть использовано в прикладных целях. 
 

2.3. Рассчитать точечный  и интервальный прогноз среднего  значения цены поступивших автомобилей  возраста 3 года и мощностью двигателя  165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.  

Контрольная работа по Эконометрике. 58 📙 Контрольная → 🆔 77317

Контрольная работа по Эконометрике. 58 📙 Контрольная → 🆔 77317

Контрольная работа по "Эконометрике". 58