Контрольная работа по "Эконометрике". 82

Вариант 4

Задание 1. Модель парной линейной регрессии.

Имеются данные за 7 лет относительно среднего дохода (млн. руб., x) и среднего потребления (млн. руб., y).

      Задания

1. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, оценить его статистическую значимость и построить для него доверительный интервал с уровнем значимости =0,05. Сделать выводы

2. Построить линейное уравнение парной регрессии y на x и оценить статистическую значимость параметров регрессии. Сделать рисунок.

3. Оценить качество уравнения регрессии при помощи коэффициента детерминации. Сделать выводы. Проверить качество уравнения регрессии при помощи F критерия Фишера.

4. Выполнить прогноз среднего потребления y при прогнозном значении x, составляющем 114% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости =0,05. Сделать выводы.

Решение

     Для решения задачи составим вспомогательную  таблицу:

     Построение  уравнения регрессии сводятся к  оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических  минимальна  т.е

     Для линейных уравнений, решается следующая  система уравнений:

     Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

     Уравнение регрессии:

     Рассчитаем  линейный коэффициент парной корреляции:

     Значение  коэффициентов парной корреляции лежит  в интервале от -1 до +1. его положительное  значение свидетельствует о прямой связи, отрицательное – об обратной, т.е. когда растет одна переменная, другая уменьшается. Чем ближе значение к 1, тем теснее связь. Связь считается достаточно сильной, если коэффициент корреляции по абсолютной величине превышает 0,7, и слабой, если меньше 0,4. При равенстве его нулю связь полностью отсутствует. Это коэффициент дает объективную оценку тесноты связи лишь при линейной зависимости переменных.

     Рассчитаем  коэффициент детерминации. Он показывает долю вариации результативного признака, находящего под воздействием изучаемых  факторов.

     Подставляя  в уравнение регрессии фактические  значения х, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации , которая показывает среднее отклонение расчетных значеий от фактических. Допустимый предел ее значений 8-10%.

     Рассчитаем  F-критерий Фишера, применяемый для оценки качества уравнения регрессии. Выполняется сравнение Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Если табличное значение меньше фактического, то признается статистическая значимость и надежность характеристик, если наоборот, то признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.:

     Рассчитаем  t-критерий Стьюдента, применяемый для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции. Если табличное значение показателя меньше фактического, то значения коэффициентов не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х, Если наоборот, то признается случайная природа формирования коэффициентов.

       для числа степеней свободы  и .

     Определим случайные ошибки:

     тогда

     Рассчитаем  доверительный интервал для a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

     Доверительные интервалы:

     Если  в границы доверительного интервала  попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр признается нулевым, т.к. он не может одновременно принимать отрицательное и положительное значение.

     Полученные  оценки уравнения регрессии позволяют  использовать его для прогноза. Если прогнозное значение фактора составит тогда прогнозное значение результата будет

     Ошибка  прогноза составит:

     Предельная  ошибка прогноза:

     Доверительный интервал прогноза:

     Выводы

     Линейный  коэффициент парной корреляции равен 0,991, следовательно связь изучаемых явлений является прямой.

     Коэффициент детерминации равен 0,982, т.е. вариация результата на 98,2% объясняется вариацией фактора х.

     Средняя ошибка аппроксимации равна 1,88%, что попадает в допустимый предел значений 8-10% и говорит о том, что расчетные значения отклоняются от фактических примерно на 2%.

     Полученное  значение F-критерия превышает табличное, следовательно параметры уравнения и показателя тесноты статистически значимы.

     Полученные  значения t-критерия показывают, что параметры а  статистически незначим, т.к. фактическое значения t-критерия меньше табличного. А коэффициент парной корреляции ми параметр bстатистически значимы, т.к. фактические значения t-критерия больше табличного.

     Определение доверительных интервалов показало, что параметр а является статистически незначимым и равен нулю, т.к. в границы его доверительного интервала попадает ноль:

Задание 2. Модель парной нелинейной регрессии.

По территориям  Северо-Западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997 г.

      Задания

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи. Рассчитайте параметры уравнений показательной ( ) и гиперболической ( ) парной регрессии. Сделайте рисунки.

2. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом для каждой модели. Сделайте выводы. Оцените качество уравнений регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации. Сделайте выводы.

3. По значениям рассчитанных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии. Дайте экономический смысл коэффициентов выбранного уравнения регрессии

4. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости a=0,05.

Решение

Построим поле корреляции:

     Судя  по расположению точек можно сделать  предположение о степенном характере зависимости. 

Рассчитаем  параметры уравнений.

  Степенная зависимость:

Уравнение степенной  регрессии имеет вид ŷ=а*х^b.

Используются  данные, указанные в приложении 1.

Для построения этой модели проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения: ln ŷ = ln a + b*ln x

b= = 0,879

lna= =0,371

а=1,449

получим уравнение  степенной модели регрессии.

ŷ= 1,449*х^0,879

Гиперболическая зависимость:

Уравнение гиперболической  функции имеет вид: ŷ=а+b/x - линеаризуется при замене x=1/x.

Используются  данные, указанные в приложении 2.

 =-257359,724

a= = 840,33

Уравнение гиперболической  модели имеет вид:

ŷ = 840,33-257359,724/х.

Оценим  тесноту связи  с помощью показателей  корреляции и детерминации.

Коэффициент детерминации, как и коэффициент корреляции, можно рассматривать как меру качества уравнения регрессии. Чем ближе R²  к 1, тем лучше регрессия описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменными.

Для степенной зависимости:

Коэффициент детерминации:

R² =1-Σ(y-ŷ)²/Σ(y-y_ср)²=0,824

Определим индекс корреляции:

r=корень(R²)=0,908

Для гиперболической  зависимости:

Индекс корреляции: r=корень(R²) =0,894

Коэффициент детерминации:

R²=1- Σ(y-ŷ)²/Σ(y-y_ср) ²=0,7998

Вывод: показатели детерминации для всех моделей являются значимыми. 

Дадим с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько % изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %.

  Для степенной  зависимости:

Э_хср = 0,879%.

С увеличением  х на 1% y увеличивается на 0,879%

Для гиперболической  зависимости:

Э_хср = 0,94%

С увеличением  х на 1% y увеличивается на 0,94%.

Вывод: наибольшую силу связи  фактора x  с результатом y  показывает коэффициент эластичности для гиперболической модели. 

Оценим  с помощью средней  ошибки аппроксимации  качество уравнений.

Для степенной зависимости:

Средняя относительная  ошибка:

*100% =7,359%

В среднем расчетные  значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 7,359%.

Для гиперболической  зависимости:

Средняя относительная  ошибка:

*100% =7,693%

В среднем расчетные  значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 7,693%.

Вывод: наименьшая ошибка аппроксимации является ошибка для степенной  модели, следовательно, данное уравнения имеют наилучшее качество.

Таблица 1. Итоги  по пунктам 4-6:

Вывод: По результатам вычислений видим что наилучшая модель в данном случае степенная.

Экономическая интерпретация результатов: Коэффициент  корреляции равен 0,908, что говорит  о тесной прямой связи. Коэффициент детерминации равен 0,824, что говорит о том, что вариация У на 82,4% объясняется вариацией Х. Анализируя коэффициент эластичности видим, что с увеличением х на 1% y увеличивается на 0,879%. В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 7,359%.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора  увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный  интервал прогноза для  уровня значимости .

x_расч.= 1,1*x_ср= 659,14

y_расч.= a+ x_расч.^b = 316,78

Δx = S_x*t_кр= 159,27.

Доверительный интервал для x: 472,68< x < 791,21.

Δy=S_y*t_кр=248,74.

Доверительный интервал для y: 172,04< y < 669,51. 

Задание 3. Моделирование временных рядов

Имеются данные о разрешениях на строительство нового частного жилья, выданных США в 1990-1994 гг., % к уровню 1987 г.

      Задания:

1. Постройте график данного временного ряда. Охарактеризуйте структуру этого ряда.

2. Рассчитайте сезонную компоненты временного ряда и постройте его аддитивную модель. Постройте график построенного ряда.

3. Рассчитайте трендовую компоненту временного ряда и постройте его график

4. Оцените качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения.

Решение

1. Постройте график данного временного ряда. Охарактеризуйте структуру этого ряда.

     График  временно ряда имеет убывающую структуру, что говорит о снижение рассматриваемого фактора в течении года.

     Построим  график данного временного ряда. Анализ графика позволяет сделать вывод  о наличии в изучаемом временном  ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

2. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и, разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрирование скользящие средние. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними.

Таблица 1

Расчет  оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

     Для каждого месяца мы имеем оценки сезонной компоненты, которые включают в себя ошибку или остаток. Прежде чем мы сможем использовать сезонную компоненту, нужно пройти два следующих этапа. Найдем средние значения сезонных оценок для каждого сезона года. Эта процедура позволит уменьшить некоторые значения ошибок. Наконец, скорректируем средние значения, увеличивая или уменьшая их на одно и то же число таким образом, чтобы общая их сумма была равна нулю. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компоненты в целом за год. Корректирующий фактор рассчитывается следующим образом: сумма оценок сезонных компонент делится на 4. В последнем столбце табл. 1 эти оценки записаны под соответствующими месячными значениями:

3. Рассчитайте трендовую компоненту временного ряда и постройте его график

4. Оцените качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения.

Последний столбец этой таблицы можно использовать в шаге 4 при расчете среднего абсолютного отклонения (MAD) или средней  квадратической ошибки (MSE):

Средняя абсолютная ошибка достаточно мала и составляет примерно 5%, а вот средне квадратическое отклонение очень высоко. Что говорит о низком качестве построенной модели.