Контрольная работа по "Эконометрике". 5. 2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО  «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»

ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

по курсу: «Эконометрика» 

Вариант 1 
 
 
 
 
 

                                                                                      Работу выполнила             

                                                                                      студентка 2 курса

                                                                                    заочного отделения

                                                                                      гр.  3.08.4ф2 з.к нф 08132

                                                                                      Афонина Алёна Вадимовна           

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

                                                                                      Проверил преподаватель:

                                                                     

            
 
 
 

Великий Новгород

2010г.

Рецензия 

      Задача 1 

      Изучается зависимость депозитов физических лиц (y – тыс. руб.) от их доходов (х – тыс. руб.) по  следующим данным. 

 
 

      Задание: 

      1. Постройте поле корреляции, характеризующее  зависимость размера депозитов от среднемесячного дохода.

      2. Определите параметры линейного уравнения регрессии. Дайте их интерпретацию.

      3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл. Определите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию.

      4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации.

      5. Рассчитайте стандартную ошибку  регрессии.

      6. С вероятностью 0,95 оцените статистическую  значимость уравнения регрессии в целом и его параметров. Сделайте выводы.

      7. С вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения депозитов в предположении, что среднемесячный доход увеличиться на 20 % от среднего по совокупности значения.

      8. Можно ли предположить, что с  ростом дохода на 1 тыс.руб. размер  депозитов увеличиться в среднем  на 3,5-4 тыс. руб.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      1. Строим поле корреляции. 
 

        
 
 

      2. Для определения параметров уравнения  линейной регрессии заполним  таблицу: 

 

      Уравнение линейной регрессии имеет вид:

      

      где параметры а и b можно найти из системы уравнений:

      

      Подставляя  значения из таблицы, получаем систему  уравнений:

      

      Решаем  систему и получаем:

      a = -13,46

      b = 3,81

      Таким образом, уравнение линейной регрессии  имеет вид:

      

      Параметр а = -13,46 показывает, что при значении х = 0 значение показателя y = -13,46. Параметр b = 3,81 показывает, что при увеличении среднемесячного дохода 1 тыс. руб. размер депозитов вырастает на 3,81 тыс. руб. 

      3. Для вычисления линейного коэффициента  корреляции заполним таблицу: 

 

      Коэффициент корреляции можно найти по формуле:

      

      Коэффициент корреляции близок к 1,0 следовательно между исследуемыми величинами наблюдается функциональная связь, направление связи – прямое.

      Коэффициент детерминации находится по формуле:

       , следовательно, вариация величины  y на 99,2% объясняется вариацией величины x. 

      4. Для определения средней ошибка  аппроксимации заполним таблицу: 
 

 

      Ошибка  аппроксимации определяется по формуле:

      

 

      5. Стандартную ошибку регрессии  находят по формуле:

      

      6. Находим стандартную ошибку коэффициента  регрессии:

      

      Фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии равно:

      

      Стандартная ошибка параметра а находится  по формуле:

      

      Фактическое значение t-критерия Стьюдента для параметра а равно:

      

      Теперь  сравним полученные значения t-критерия Стьюдента с табличными значениями. Для доверительной вероятности 0,695 и числе степеней свободы n – 2 = 8 табличное значение t-критерия Стьюдента равно: t_табл = 2,262.

      30,7 > 2,262, следовательно параметр b является существенным;

      13,8 > 2,262, следовательно параметр а является существенным. 

      Фактическое значение F-критерия Фишера для уравнения регрессии можно найти по формуле:

      

      Табличное значение F-критерия Фишера для доверительной вероятности 0,95 и количества степеней свободы 2 и 8 равно F_табл = 4,46.

      992 > 4,46, следовательно, уравнение регрессии в целом является существенным. 

      7. Прогнозируемое значение величины депозитов равно:

      

      где

      Тогда:

      Доверительный интервал прогноза имеет вид:

      

      где t_табл – табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости 0,95 и числа степеней свободы 10 – 2 = 8:  t_табл = 2,2622.

       - стандартная ошибка точечного  прогноза, которая рассчитывается  по формуле: 

      

      Получаем:

      

      Таким образом, размер депозита будет находиться в интервале:

      

      8. Как было вычислено в п.2 при увеличении среднемесячного дохода 1 тыс. руб. размер депозитов вырастает на 3,81 тыс. руб. следовательно, гипотеза верна. 
 

 

       Задача 2 

      По 79 регионам изучается зависимость среднемесячной номинальной начисленной заработной платы одного работника (у – рублей) от стоимости фиксированного набора потребительских товаров и услуг (x₁ – рублей) и индекса потребительских цен (x₂ - %). Известны следующие данные: 

 
 

      Задание: 

      1. Найдите уравнение множественной  регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе. Дайте интерпретацию коэффициентов регрессии.

      2. Определите частные средние коэффициенты эластичности.

      3. Найдите частные коэффициенты  корреляции.

      4. Рассчитайте множественный коэффициент  корреляции, общий критерий Фишера. Сделайте выводы о статистической значимости уравнения регрессии с вероятность 0,95.

      5. Оцените частные критерии Фишера  для каждого фактора и сделайте  вывода.

      6. Дайте интервальную оценку для  коэффициентов регрессии с вероятностью 0,95. 
 

      Решение: 

      1. Параметры множественной регрессии  можно найти по формулам:

      

      

      

      Тогда уравнение множественной регрессии  в натуральном масштабе имеет  вид:

      

      То  есть:

• при увеличении величины x₁ на 1,0 величина y увеличивается на 2,718;
• при увеличении величины x₂ на 1,0 величина y уменьшается на 229,96;
• при нулевых значения x₁ и x₂ величина у = 19935,7

 
 

      Стандартизированные коэффициент регрессии можно  найти по формуле:

      

      

      Тогда уравнение регрессии в стандартизированном виде будет следующим:

      

      То  есть:

• при увеличении величины x₁ на  величина y увеличивается на 0,949 ;
• при увеличении величины x₂ на  величина y уменьшается на 0,15 ;

 

      2. Коэффициенты эластичности определяются  по формулам:

       ;

      3. Частные коэффициент корреляции  рассчитываются по формулам:

      

      

 

      4. Множественный коэффициент корреляции  равен:

      

      Общий F-критерий Фишера можно найти по формуле:

      

      Сравниваем  с табличным значением F-критерия, которое для 76 степеней свободы и доверительной вероятности 0,95 равно F_табл = 3,12.

      F_табл < F, следовательно уравнение регрессии является значимым. 

      5. Рассчитываем частные критерии  Фишера:

       

      

      Сравниваем  с табличным значением F-критерия, которое для 76 степеней свободы и доверительной вероятности 0,95 равно F_табл = 3,12.

      F_табл < F, следовательно влияние отдельных факторов регрессии является значимым. 
 
 

 

       Задача 3 

      Пусть имеется модель, построенная по 10 наблюдениям:

      

      Ей  соответствует следующая приведенная  форма:

      

 

      Задание:

1. Провести идентификацию модели.
2. Найти структурные коэффициенты третьего уравнения системы.
3. Найти структурные коэффициенты первого уравнения системы, если известны следующие данные:

 
 
 

      Решение:  

      1. Проводим идентификацию модели:

      Проверим  выполнение порядкового условия  идентификации для каждого из уравнений модели. В модели 3 эндогенных переменных, находящихся в левой части каждого из уравнений. Это переменные y₁, y₂ и y₃. Оставшиеся переменные x₁ и x₂ – это экзогенные переменные.

     Далее заполняем таблицу:

 

      Проверим  каждое уравнение на идентифицируемость по достаточному условию:

      В первом уравнении отсутствуют переменные: x₁ и x₂.

      Составляем  матрицу:

       , следовательно, достаточное условие выполняется;

      Во втором уравнении отсутствует переменная x₂, следовательно ранг матрицы R = 1, а значит условие не выполняется.

      В третьем уравнении отсутствует переменная x₁, следовательно ранг матрицы R = 1, а значит условие не выполняется. 

      2. Третье уравнение неидентифицируемо,  поэтому его параметры найти невозможно. 

      3. Первое уравнение модели сверхидентифицировано,  поэтому его параметры можно  найти при помощи ДМНК. 

 

      Параметры модели можно найти из системы  уравнений: 

      

      Решаем  систему и получаем:

      a₁ = -80,39

      b₁₂ = 4,54

 

       Задача 4 

      Динамика  потребления мяса и мясопродуктов  на душу населения в регионе характеризуется  следующими данными: 

 
 

      Задание:

      1. Определите коэффициент автокорреляции  первого порядка его интерпретацию.

      2. Постройте уравнение тренда в  форме параболы второго порядка.  Дайте интерпретацию параметров.

      3. С помощью критерия Дарбина-Уотсона  сделайте выводы относительно  автокорреляции в остатках в  рассматриваемом уравнении.

      4. Дайте интервальный прогноз ожидаемого  уровня потребления мяса и  мясопродуктов на 2006 год. 
 

      

1. Для определения  коэффициента автокорреляции перового порядка заполним таблицу:

      Таблица 10