Контрольная работа по "Эконометрике". 81

Контрольная работа №3

1. В двух ящиках находится по 16 деталей. Причем в первом ящике находится 9 стандартных деталей, а во втором – 12. Из первого ящика наугад извлекли одну деталь и переложили во второй ящик.

Найти вероятность  того, что деталь, наугад извлеченная после этого из второго ящика, будет стандартной.

Решение.

_{События:}

= {переложена стандартная деталь}

= {переложена нестандартная  деталь}

= {извлеченная из второго  ящика деталь – стандартная}

;

;

По формуле  полной вероятности: .

2. Электронная система состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа любого из них в течение года равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов.

Найти вероятность  отказа за год работы:

1. двух элементов;
2. не менее двух элементов.

Решение.

1. Пусть – событие, состоящее в том, что за год работы отказали ровно два элемента. Тогда найдем, пользуясь асимптотической формулой Пуассона (так как ):

, где  .

(Для сравнения  )

2. Пусть – событие, состоящее в том, что за год работы отказало не менее двух элементов. События «за год работы отказало не менее двух элементов» (событие ) и «за год работы отказало менее двух элементов» (событие ) – противоположные. Поэтому . Если произошло , то это означает, что за год работы не отказало ни одного элемента, либо отказал один элемент. Так как это несовместные события, то по теореме сложения вероятностей имеем:

 

3. При установившемся технологическом процессе среди изготавливаемой продукции оказывается в среднем 15% бракованных шин.

Сколько шин  нужно отобрать для проверки, чтобы  с вероятностью 0,9876 число бракованных  шин отклонилось от своего среднего значения не более чем на 15 штук?

Решение.

Согласно следствию  из интегральной теоремы Лапласа:

, где 

По условию, Тогда, .

 

4. Даны две случайные величины и , причем имеет биномиальное распределение с параметрами и , а - распределение Пуассона с параметром . Пусть .

Необходимо:

1. найти математическое ожидание и дисперсию ;
2. оценить вероятность с помощью неравенства Чебышёва.

Решение.

1. Числовые характеристики биномиального распределения:

Числовые характеристики распределения Пуассона:

По свойствам  математического ожидания:

Тогда,

По свойствам  дисперсии:

Тогда,

2. Согласно неравенству Чебышёва: .

Неравенство Чебышёва имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную оценку. Например, как в предложенной задаче, когда , и, следовательно, , имеем . В этом случае неравенство Чебышёва указывает лишь на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и без того очевидно, так как любая вероятность выражается неотрицательным числом.

 

5. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Найти:

1. параметр ;
2. плотность вероятности ;
3. математическое ожидание и дисперсию .

Построить графики  функций  и .

Решение.

Плотностью  распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию – первую производную от функции распределения :

; ;

Параметр  найдем, исходя из условия нормировки: .

Таким образом,   и

Математическое  ожидание непрерывной случайной  величины по определению: или .

Дисперсия случайной  величины проще всего может быть рассчитана по следующей формуле:

 

Контрольная работа №4

1. С целью изучения дневной выработки ткани (м) по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100 ткачих комбината из 2000. Результаты обследования представлены в таблице.

Дневная выработка, м	Менее 55	55 - 65	65 - 75	75 - 85	85 - 95	95 - 105	Более 105	Итого
Число ткачих	8	7	15	35	20	8	7	100

Найти:

1. границы, в которых с вероятностью 0,9883 заключена средняя дневная выработка всех ткачих комбината;
2. вероятность того, что доля ткачих комбината, вырабатывающих в день не менее 85 м ткани, отличается от доли таких ткачих в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине);
3. объем бесповторной выборки, при котором те же границы для средней дневной выработки (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9942.

Решение.

1. Предельная ошибка выборки для средней определяется по формуле:

где  – нормированное отклонение, коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки,

 – средняя ошибка выборки.

Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

где  – выборочная дисперсия,

 – объем выборки,

 – объем генеральной совокупности.

В рассматриваемом  случае , .

Расчетная таблица.

Дневная выработка, м	fi	xi	xi·fi
Менее 55	8	50	400	-30,4	7393,28
55 - 65	7	60	420	-20,4	2913,12
65 - 75	15	70	1050	-10,4	1622,40
75 - 85	35	80	2800	-0,4	5,60
85 - 95	20	90	1800	9,6	1843,20
95 - 105	8	100	800	19,6	3073,28
Более 105	7	110	770	29,6	6133,12
Итого	100	û	8040	û	22984,00

Среднее значение признака: м

Дисперсия

По таблице  значений функции  для вероятности 0,9883 находим . Тогда предельная ошибка выборки для средней будет равна .

Для генеральной  средней верно, что  . Таким образом, возможные границы, в которых заключена средняя дневная выработка всех ткачих комбината, составляют: м. То есть с вероятностью 0,9883 можно утверждать, что дневная выработка одной ткачихи в среднем по комбинату лежит в пределах от 76,66 до 84,14 м.

2. Определить границы, в которых заключена генеральная доля признака, можно, зная выборочную долю признака и предельную ошибку выборки . Тогда верным будет двойное неравенство: ,

где – искомая доля признака в генеральной совокупности.

,

где  – нормированное отклонение, коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки.

 – средняя ошибка выборки  для альтернативного признака.

Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

где  – выборочная дисперсия альтернативного признака,

 – объем выборки,

 – объем генеральной совокупности.

Выборочная  доля ткачих комбината, вырабатывающих в день не менее 85 м ткани, равна: . Тогда, .

.

По таблице  значений функции  для находим вероятность 0,7199. То есть с вероятностью 0,7199 можно утверждать, что доля ткачих комбината, вырабатывающих в день не менее 85 м ткани, отличается от доли таких ткачих в выборке не более чем на 0,05 и лежит в пределах от 30 до 40%.

3. Для бесповторной выборки .

Предельная  ошибка выборки для средней . По таблице значений функции для вероятности 0,9942 находим .

Для того чтобы  с вероятностью 0,9942 можно было утверждать, что дневная выработка одной ткачихи в среднем по комбинату лежит в пределах от 76,66 до 84,14 м, необходимо проверить 119 ткачих.

 

2. По данным задачи 1, используя  -критерий Пирсона, на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина – дневная выработка ткани – распределена по нормальному закону.

Построить на одном  чертеже гистограмму эмпирического  распределения и соответствующую  нормальную кривую.

 

Решение.

Исправленная  статистическая дисперсия:

Значение признака на интервале	-∞ - 55	55 - 65	65 - 75	75 - 85	85 - 95	95 - 105	105 - ∞
	8	7	15	35	20	8	7

Теоретические частоты: ,  , где

	-∞ - 55	55 - 65	65 - 75	75 - 85	85 - 95	95 - 105	105 - ∞
	8	7	15	35	20	8	7
	-∞	-1,67	-1,01	-0,35	0,30	0,96	1,61
	-0,5	-0,4525	-0,3438	-0,1368	0,1179	0,3315	0,4463
	-1,67	-1,01	-0,35	0,30	0,96	1,61	∞
	-0,4525	-0,3438	-0,1368	0,1179	0,3315	0,4463	0,5
	0,0475	0,1087	0,2070	0,2547	0,2136	0,1148	0,0537
	4,75	10,87	20,70	25,47	21,36	11,48	5,37
	2,22	1,38	1,57	3,57	0,09	1,05	0,49

Вычислим наблюдаемое  значение критерия:

По таблице  критических точек распределения  при уровне значимости и числе степеней свободы находим границу критической области: .

Так как  , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности отвергается.

 

3. Распределение 50 однотипных предприятий по основным фондам (млн. руб.) и единицы продукции (млн. руб.) представлено в таблице.

		1	2	3	4	5	Итого
30 – 80				1	2	3	6
80 – 130				1	4	3	8
130 – 180			4	8	3	1	16
180 – 230		2	5	4			11
230 – 280		3	4	2			9
Итого		5	13	16	9	7	50

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние и , построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными фондам и существует линейная корреляционная зависимость:
1. Найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
2. Вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными и ;
3. Используя соответствующее уравнение регрессии, определить себестоимость выпускаемой продукции на предприятии с основными фондами 270 млн. руб.

Решение.

1. ,  

 

		1	2	3	4	5	Итого
30 – 80				1	2	3	6	4,33
80 – 130				1	4	3	8	4,25
130 – 180			4	8	3	1	16	3,06
180 – 230		2	5	4			11	2,18
230 – 280		3	4	2			9	1,89
Итого		5	13	16	9	7	50
		235,00	205,00	170,63	110,56	90,71

 

2. Определим направление связи.

Рассчитаем  средние значения признаков:

Стоимость основных фондов ( ) млн. руб.

Себестоимость единицы продукции ( ) млн.руб.

Так как значение коэффициента ковариации меньше нуля, то можно предположить наличие обратной связи между исследуемыми показателями.

1. Для определения по данным парной корреляции параметров прямолинейной регрессии решается система нормальных уравнений:

Для нахождения параметров и целесообразно использовать способ определителей:

     

Расчетная таблица

1	55	4,33	3025	238,15
2	105	4,25	11025	446,25
3	155	3,06	24025	474,30
4	205	2,18	42025	446,90
5	255	1,89	65025	481,95
Σ	775	15,71	145125	2087,55

   

На рисунке  красным нанесена линия регрессии.

Если стоимость  основных фондов будет равна нулю, то себестоимость единицы продукции составит 5,3 млн. руб. При увеличении стоимости основных фондов на 1 млн. руб. сокращение себестоимости единицы продукции составит 13,9 тыс. руб.

 

Для определения  по данным парной корреляции параметров прямолинейной регрессии решается система нормальных уравнений:

Для нахождения параметров и целесообразно использовать способ определителей:

     

Расчетная таблица

1	1	235,00	1	235,00
2	2	205,00	4	410,00
3	3	170,63	9	511,89
4	4	110,56	16	442,24
5	5	90,71	25	453,55
Σ	15	811,90	55	2052,68

   

На рисунке  красным нанесена линия регрессии.

Если себестоимость  единицы продукции будет равна  нулю, то стоимость основных фондов составит 277,3 млн. руб. Рост себестоимости  единицы продукции на 1 млн. руб. позволяет сократить стоимость основных фондов на 38,3 млн. руб.

 

2. Рассчитаем дисперсию по обоим признакам.

Значение коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции проверяется  на значимость с помощью -критерия Стьюдента:

.

В качестве нулевой выдвигаем  гипотезу об отсутствии связи между  факторами.

Находим критическую  точку  по таблице критических точек распределения Стьюдента для уровня значимости и : . Расчетное значение -критерия существенно больше табличного, поэтому нулевая гипотеза об отсутствии связи между исследуемыми показателями отвергается.

Таким образом, между исследуемыми показателями существует достаточно тесная обратная связь.

 

 млн. руб.

 

 

 

Данная работа скачена с сайта  Банк рефератов http://www.vzfeiinfo.ru. ID работы: 26092