Контрольная работа по "Эконометрике". 93

 

Вариант №8

Задание № 1

В таблице 1.1:

Y(t) – показатель эффективности ценной бумаги;

X(t) – показатель эффективности рынка ценных бумаг.

Требуется:

1. Выбрать вид зависимости между показателем эффективности ценной бумаги и показателем эффективности рынка ценных бумаг. Построить выбранную зависимость. Дать экономическую интерпретацию найденным параметрам модели.
2. Оценить качество построенной модели и тесноту связи между показателями.
3. Доказать статистическую значимость построенной модели и найденных параметров.
4. Проанализировать влияние показателя эффективности рынка ценных бумаг на показатель эффективности ценной бумаги с помощью коэффициента эластичности.

Таблица 1.1

Y(t)	90	88	84	86	82	80	81	78	76
X(t)	56	58	60	63	67	66	70	72	74

 

Решение:

 

1. Построим поле корреляции. Из рисунка видно, что связь линейная, обратная.

 

 

Уравнение линейной парной регрессии имеет вид:

у = а + bх

Для расчета параметров а и b решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

 

Для вычисления заполним таблицу 1.2.

Таблица 1.2

 

№п/п	х	у	ух	х²	у²	∆х	∆у	∆х∆у	(∆х)²	(∆у)²
1	56	90	5040	3136	8100	-	-	-	-	-
2	58	88	5104	3364	7744	2	-2	-4	4	4,00
3	60	84	5040	3600	7056	2	-4	-8	4	16,00
4	63	86	5418	3969	7396	3	2	6	9	4,00
5	67	82	5494	4489	6724	4	-4	-16	16	16,00
6	66	80	5280	4356	6400	-1	-2	2	1	4,00
7	70	81	5670	4900	6561	4	1	4	16	1,00
8	72	78	5616	5184	6084	2	-3	-6	4	9,00
9	74	76	5624	5476	5776	2	-2	-4	4	4,00
Итого:	586	745	48286	38474	61841	18	-14	-26	58	58,00
Ср.знач.	65,11	82,78	5365,1	4274,9	6871,22	2,25	-1,75	-3,25	7,25	7,25

 

Подставляя значения из таблицы, получаем:

 

 

Решив данную систему  уравнений получим а=128,06; b= - 0,695

Получим уравнение регрессии: у = 128,06+( –  0,695)х

Коэффициент регрессии b показывает, что при увеличении эффективности рынка ценных бумаг на 1 усл.ед. эффективность ценной бумаги снижается на 0,695.

 

 

2. Оценим качество  построенной модели и тесноту  связи между показателями вычислив коэффициент детерминации и линейный коэффициент парной корреляции.

 

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции близок к – 1, что свидетельствует  о наличии существенной зависимости изучаемых явлений.

 

Определим коэффициент  детерминации:

Вариация результата на 89,9% объясняется вариацией фактора  х.

3. Докажем статистическую  значимость построенной модели  и найденных параметров.

 

n=9,

F= 62,3

Следовательно, делаем вывод  о статистической значимости, надежности уравнении регрессии в целом  с уравнением значимости α=0,05, так  как 

62,3 > 5,59

Оценим статистическую значимость параметров уравнения парной регрессии с помощью t-критерия Стьюдента путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Se=√ESS/n-2

ESS= =17,316

Se=1,57

Sb=

Sa=

 

Для оценки значимости коэффициента регрессии определим t-статистику

tb=b/ Sb= - 7,897

ta=a/ Sa = 22,27

| tb|=7,897>tтабл=2,36 (α=0,05)

| ta|=22,27> tтабл=2,36

Делаем вывод, что модель регрессии статистически значима  по параметрам с уравнением регрессии  α.

4. Проанализируем влияние  показателя эффективности рынка ценных бумаг на показатель эффективности ценной бумаги с помощью коэффициента эластичности.

 

Средний коэффициент  эластичности показывает, что с увеличением  показателя эффективности рынка  ценных бумаг на 1% показатель эффективности  ценной бумаги снижается на – 0,547%.

 

 

 

 

 

 

Задание № 2

В таблице 2.1:

Y(t) – прибыль коммерческого банка;

X₁(t) – процентные ставки банка по кредитованию юридических лиц;

X₂(t) – процентные ставки по депозитным вкладам за этот же период.

Требуется:

1. Провести предварительный анализ одновременного включения показателей процентных ставок банка по кредитованию юридических лиц и процентных ставок по депозитным вкладам в модель. Сделать выводы.
2. Построить множественную зависимость прибыли коммерческого банка от процентных ставок банка по кредитованию юридических лиц и процентных ставок по депозитным вкладам. Дать экономическую интерпретацию найденным параметрам модели.
3. Оценить качество построенной модели.
4. Доказать статистическую значимость построенной модели и найденных параметров.
5. Проанализировать влияние показателей эффективности рынка ценных бумаг на прибыль коммерческого банка и показателя эффективности ценной бумаги на прибыль коммерческого банка с помощью коэффициентов эластичности.

Таблица 2.1

Y(t)	16	14	33	37	40	42	41	49	56	48
X1(t)	28	34	40	38	22	48	50	52	53	49
Х2(t)	87	85	78	86	81	80	83	78	76	79

 

Решение:

 

По расположению точек  делаем предположение, что форма  зависимости множественная линейная.

2. Построим уравнение  регрессии, используя «Пакет анализа»  табличного процессора MS Excel и полученные результаты сравним с расчетами по методу наименьших квадратов.

Решение с помощью  табличного процессора Excel

Введем исходные данные с включением в модель дополнительной переменной Х0, принимающей единственное значение, равное 1.

Тогда матрица Х примет вид:

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
28	34	40	38	22	48	50	52	53	49
87	85	78	86	81	80	83	78	76	79

Рассчитаем коэффициенты регрессии с помощью матричных  функций Excel.

2.1. Формирование матрицы  системы нормальных уравнений  (Х´Х) с помощью функции МУМНОЖ ( ):

10	414	813
414	18186	33441
813	33441	66225

2.2. Формирование вектора  правой части системы нормальных  уравнений (Х´Y) с помощью функции МУМНОЖ ( ):

376

16464

30211

2.3. Нахождение обратной  матрицы к матрице системы  нормальных уравнений с помощью  функции МОБР ( ):

99,07834	-0,26433	-1,08284
-0,26433	0,001475	0,0025
-1,08284	0,0025	0,012046

2.4. Получение вектора  оценок коэффициентов регрессии  путем умножения обратной матрицы  на правую часть системы нормальных  уравнений:

187,7798

0,429023

-2,0657

 

Таким образом, уравнение множественной линейной регрессии примет вид:

 

Экономический смысл  коэффициентов b₁ и b₂ в том, что это показатели силы связи, характеризующие изменение процентных ставок банка при изменении какого-либо факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии другого фактора. Так, при изменении процентных ставок банка по кредитованию юридических лиц на один процент, процентные ставки по депозитным вкладам за этот же период изменятся в том же направлении на 0,43 тыс. руб.; при изменении  процентных ставок по депозитным вкладам за этот же период на один процент процентные ставки банка по кредитованию юридических лиц изменятся в том же направлении на -2,07 тыс. руб.

3. Качество построенной  модели в целом оценивает коэффициент детерминации. Для расчета данных показателей произведем необходимые расчеты.

Найдем сумму квадратов  отклонений, результаты подсчетов представлены в табл. 2.2.

                                                                                Табл.2.2.

у	у^	у - у^	(у - у^)²
16	20,0766	-4,0766	16,61866
14	26,78214	-12,7821	163,3831
33	43,81618	-10,8162	116,9897
37	26,43253	10,56747	111,6714
40	29,89666	10,10334	102,0775
42	43,11696	-1,11696	1,247608
41	37,77791	3,222089	10,38186
49	48,96446	0,035544	0,001263
56	53,52488	2,475121	6,126223
48	45,61169	2,388313	5,70404
Сумма квадратов  отклонений			534,2013

Рассчитаем индекс множественной  корреляции по формуле:

Найдем индекс множественной  детерминации:

Зависимость у от х1 и х2 характеризуется как тесная ( ), в которой 68 % вариации прибыли коммерческого банка определяются вариацией учтенных в модели факторов: процентных ставок банка по кредитованию юридических лиц и процентных ставок по депозитным вкладам за этот же период. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 32 % от общей вариации у.

4. Значимость уравнения  множественной регрессии в целом  оценивается с помощью F-критерия Фишера:

F=R²/(1 - R²) *(n – m -1)/m

n=10 (число наблюдений), m = 2 (число факторов), R² = 0,678

F= 0,678/(1- 0,678) * (10 – 2 – 1)/2 = 7,366

Следовательно, делаем вывод  о статистической значимости, надежности уравнении регрессии в целом с уравнением значимости α=0,05, так как

7,366 > 5,59

5. Проанализируем влияние  показателей эффективности рынка ценных бумаг на прибыль коммерческого банка и показателя эффективности ценной бумаги на прибыль коммерческого банка с помощью коэффициентов эластичности

 

 

С увеличением процентных ставок банка по кредитованию юридических  лиц х1на 1% от их среднего уровня прибыль коммерческого банка у возрастает на 0,472% от своего среднего уровня; при повышении процентных ставок по депозитным вкладам х2 на 1% от их среднего уровня прибыль коммерческого банка у уменьшается на 4,47% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния процентных ставок по депозитным вкладам х2 на прибыль коммерческого банка у оказалась большей, чем процентных ставок банка по кредитованию юридических лиц х1.

Проведем построение множественного линейного уравнения  регрессии и расчет всех его характеристик с помощью «Пакета анализа» табличного процессора Excel.

Для этого в главном  меню выберем Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкнем по кнопке ОК.

Заполним диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Входной интервал у –  диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал х - диапазон, содержащий данные факторов независимого  признака;

Метки – флажок, который  указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет.

Константа – ноль –  флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

 Результаты регрессионного анализа для данных нашего примера:

Идентичность результатов, полученных с помощью расчетных формул и  инструментальных средств Excel, свидетельствует о правильном понимании алгоритма МНК в матричной форме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание № 3

В таблице 3:

 Y(t) – показатель эффективности ценной бумаги;

  t – временной параметр ежемесячных наблюдений;

 

    Требуется:

1. Провести графический анализ временного ряда. Сделать выводы
2. Найти коэффициенты автокорреляции 1-го порядка, по полученным значениям сделать выводы.
3. Построить уравнение линейного тренда, с экономической интерпретацией найденных параметров.
4. Оценить качество построенного уравнения

 

Решение:

 

1. Построим график  анализа временного ряда с помощью Мастера диаграмм в ППП MS Excel, добавив на график линию тренда:

 

График характеризует  убывающую тенденцию при разных возможных периодических колебаниях.

2. Найдем коэффициенты  автокорреляции 1-го порядка по  формуле:

 

 

 

 

Для этого заполним таблицу:

Наблюдение	Предсказанное у
1	89,31111	0,688889	0,474567901	-
2	87,67778	0,322222	0,10382716	0,221975
3	86,04444	-2,04444	4,179753086	-0,65877
4	84,41111	1,588889	2,524567901	-3,2484
5	82,77778	-0,77778	0,604938272	-1,2358
6	81,14444	-1,14444	1,309753086	0,890123
7	79,51111	1,488889	2,216790123	-1,70395
8	77,87778	0,122222	0,014938272	0,181975
9	76,24444	-0,24444	0,059753086	-0,02988
Сумма			11,48888889	-5,58272

3. Уравнение линейного  тренда примет вид:

 
Произведем расчет параметров линейного  тренда по методу наименьших квадратов  используя статистическую функцию ЛИНЕЙН в ППП MS Excel:

-1,63333333	90,9444444
0,16539195	0,9307125
0,93303109	1,28112054
97,5261122	7
160,066667	11,4888889

 

Получим уравнение линейного  тренда:

4. Проведем расчет  всех характеристик полученного  уравнения с помощью «Пакета анализа» табличного процессора Excel.

Для этого в главном  меню выберем Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкнем по кнопке ОК.

Заполним диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Входной интервал у –  диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал х - диапазон, содержащий данные факторов независимого  признака;

Метки – флажок, который  указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет.

Константа – ноль –  флажок, указывающий на наличие или  отсутствие свободного члена в уравнении;

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты регрессионного анализа для данных нашего примера:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,9659353
R-квадрат	0,9330311
Нормированный R-квадрат	0,9234641
Стандартная ошибка	1,2811205
Наблюдения	9
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	160,066667	160,0667	97,52611219	2,32343E-05
Остаток	7	11,4888889	1,64127
Итого	8	171,555556
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	90,944444	0,9307125	97,71486	3,09785E-12
t	-1,6333333	0,16539195	-9,875531	2,32343E-05