Контрольная работа по "Эконометрике". 84

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

 

КАФЕДРА  МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант №8

 

                                                      

Выполнил: Тютюнник К. С., 2ВО

Факультет: Финансы и кредит

№ з/к 10ФФД60458

Проверил: проф. Денисов В. П.

 

 

 

 

                                                

Омск -  2011

Задача. По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость коэффициента регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболическая;

• степенной;
• показательной.

    Привести  графики построенных уравнений  регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

X	17	22	10	7	12	21	14	7	20	3
Y	26	27	22	19	21	26	20	15	30	13

Решение

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Для расчета  параметров a и b линейной регрессии y=a+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

n*a+b =

a +b =

По исходным данным рассчитаем , , ,. Расчет произведем с помощью MS Excel.

               Рис. 1   Таблица с расчетами

10a+133b=219               *13.3

133a+2161b=3211

133a+1768,9b=2912,7

133a+2161b=3211

-392,1b= -298,3

b=0,76

133a+2161*0,76=3211

133a=1568,64; a=11,78

Уравнение регрессии: =11,78+0,76x.

Параметры линейной регрессии  можно также найти с помощью  надстроек MS Excel.

               Рис. 2   Расчет параметров с помощью MS Excel

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на 1 единицу. Т. е. с увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпуска продукции увеличивается в среднем на 0,76 млн. руб.

2.     Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Вычислим остатки  при помощи MS Excel.

               Рис. 3   Остатки

Найдем квадраты остатков и остаточную сумму квадратов.

Рис. 4   Остаточная сумма квадратов 

 

 

Рассчитаем  дисперсию остатков: = = = 4,75

Строим график остатков.

Рис. 5   График остатков

 

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

Проверим выполнение предпосылок МНК.

• Прежде всего проверяется случайный характер - первая предпосылка МНК.

С этой целью  строится график зависимости остатков от теоретических значений результативного признака (рис. 5).

Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки представляют собой случайные величины и МНК оправдан, что мы и видим на рисунке 5.

• Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней величины остатков означает, что .

Рис. 6   Выполнение второй предпосылки

Сумма всех остатков равна нулю, следовательно, предпосылка  выполнена.

• В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной, т.е. для каждого значения фактора остатки имеют одинаковую дисперсию.

Чтобы оценить  нарушение гомоскедантичности используем метод Гольдфельда – Квандта  – пройдем параметрический тест, который включает в себя следующие  шаги.

1. Упорядочим n наблюдения по мере возрастания переменной х.

Рис. 7   Упорядоченные наблюдения

2. Исключим из рассмотрения С центральных наблюдений; при этом (n – С):2 > p, где p – число оцениваемых параметров.

При n=10 С=2, т.е. исключаем наблюдения х=12, у=21 и х=14, у=20.

3. Разделим совокупность из (n – C) наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х) и определим по каждой группе уравнения регрессии.

Рис. 8   Деление совокупности на две группы

Для первой группы найдем параметры линейной регрессии  с помощью Анализа данных→Регрессия.

Рис. 9   Нахождение параметров линейной регрессии для 1-ой группы

Уравнение регрессии  имеет вид: =8,73+1,26х.Теперь аналогично найдем параметры линейной регрессии для второй группы.

Рис. 10   Нахождение параметров линейной регрессии  для 2-ой группы

Уравнение регрессии  имеет вид: =24,39+0,14х

4. Определим остаточную сумму квадратов для первой (S₁) и второй (S₂) групп и найдем их отношения: R=S₁:S₂.

Рис. 11   Остаточная сумма квадратов для  первой группы

Рис. 12    Остаточная сумма квадратов для второй группы

Найдем F-критерий с (n-C-2p) : 2=(10-2-2*1) : 2=3 степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов.

Рис. 13   Расчет F-критерия

R=9,29 : 10,46=0,89

Получили, что  величина R меньше F-критерия, значит, предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин не нарушена, т.е. имеет место гомоскедастичность.

• Еще одна предпосылка – это подчинение остатков нормальному закону (RS-критерий). RS = (e_max-e_min)/S; S =

Рис. 14   Расчет RS-критерия

Расчётный критерий сравниваем с двумя табличными, если расчётный критерий попадает внутрь табличного интервала, то свойство выполняется. Для n=10 границы значений от 2,67 до 3,69.

Расчетное значение RS = 2,65 < 2,67, т.е. оно не попадает в интервал, следовательно, остатки не подчинены нормальному закону.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

=11,78+0,76x

α=11,78;   β=0,76

Значения t-критерия вычислим по формулам:

;             , где

= ;       ;   

 

Проведем предварительные  расчеты.

Рис. 15   Таблица с предварительными расчетами

Найдем расчетные  значения t-критерия для соотвтствующих коэффициентов регрессии.

Рис. 16    Расчетные значения t-критерия

Теперь сравним  расчетные значения t с табличными. Если расчетное значение t-критерия с (n – k – 1) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым.

Рис. 17   Табличное значение t-критерия

Получили, что  расчетное значение t-критерия превосходит табличное, значит, коэффициенты регрессии являются значимыми.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость коэффициента регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации определяется следующим образом: R² = 1 – ; Этот коэффициент можно найти в Регрессионной статистике

Рис. 18   Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации говорит о том, что вариация объема выпуска продукции (результативного  признакаY) на 86% объясняется вариацией объема капиталовложений (фактора Х).Так как значение R² близко к 1, то качество модели достаточно велико.

Для проверки значимости модели регрессии используют F-критерий Фишера, вычисляемый по формуле:

F = ; F = 47,83

Табличное значение F-критерия равно 5,32.

Рис. 19   Табличное значение F-критерия Фишера

Получили, что F_расч > F_табл, значит, уравнение регрессии значимо, модель адекватна. Для оценки точности модели используют также среднюю относительную ошибку аппроксимации.  = *100%

Рис. 20   Средняя относительная ошибка аппроксимации

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,37%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах (не более 8 – 10%). Так как коэффициент детерминации близок к 1, расчетное значение F-критерия Фишера больше табличного, а средняя относительная ошибка аппроксимации лежит в допустимых пределах, то можно сделать вывод о хорошем качестве модели регрессии.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Прогнозируемое  значение переменной y получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины фактора х.

_прогн = + *x_прогн;; x_прогн = 22*0,8 = 17,6, где 22 – это максимальное значение фактора х; _прогн = 11,78 + 0,76*17,6 = 25,16. Данный прогноз называется точечным. Доверительные интервалы вычисляются по формуле:

_прогн ± ,  где   =

Рис. 21    Расчет границ доверительного интервала

 

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

Рис. 22    График модели парной регрессии зависимости  объема выпуска продукции от объема капиталовложений

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболическая;

• степенной;
• показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.
• Уравнение гиперболической функции: = a + b / x.

Произведем  линеаризацию модели путем замены Х=1/х. В результате получим линейное уравнение  = a + b*X.

Рассчитаем  его параметры

Рис. 23   Расчет параметров

b = = = -50,97

a = = = 27,38

Получим следующее  уравнение гиперболической модели:

=

Рис. 24   График гиперболической функции

• Уравнение степенной модели имеет вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lg = lg a + b lg x. Обозначим Y=lg , X=lg x, A= lg a. Тогда уравнение примет вид Y=A+b*X – линейное уравнение регрессии.

Рис. 25   Расчет параметров

b = = = 0,39; A = - b = 1,33 – 0,39*1,06 = 0,91

Уравнение регрессии  будет иметь вид: Y = 0,91 + 0,39*Х

Выполним потенцирование данного уравнения: = ; уравнение степенной модели регрессии: = 8,13

Рис. 26   График степенной функции

• Уравнение показательной кривой: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lg = lg a + lg x*b; Обозначим Y = lg , B = lg b, A = lg a.

Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B*х.

Рис. 27   Расчет параметров

B = = ;

A = =

Уравнение будет  иметь вид: Y= 1,11 + 0,02*х.

Выполним потенцирование данного уравнения: = 10^1,11 * (10^0,02)^х

Получим уравнение  показательной модели регрессии: = 12,99 * 1,05^х

Рис. 28   График показательной функции

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Для гиперболической  функции.

Рис. 29   Расчетная таблица

Определим индекс корреляции:

=

Связь между  показателем у и фактором х  можно считать сильной.

Тогда коэффициент  детерминации будет равен: =

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 67% объясняется вариацией фактора Х (объема капиталовложений).

Коэффициент эластичности для уравнения гиперболы рассчитывается по формуле: =

С ростом объема капиталовложений (фактора Х) на 1% объем выпуска продукции (результат Y) повысится на 0,16%.

Средняя относительная  ошибка аппроксимации:

A =

В среднем расчетные  значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 12,5%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации. Для степенной функции.

Рис. 30   Расчеты 

Индекс корреляции: =

Связь между  показателем у и фактором х  можно считать достаточно сильной, тогда коэффициент детерминации будет равен: = . Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 86% объясняется вариацией фактора Х (объема капиталовложений).Коэффициент эластичности для уравнения степенной зависимости:  = b = 0,39

С ростом объема капиталовложений (фактора Х) на 1% объем выпуска продукции (результат Y) повысится на 0,39%. Средняя относительная ошибка аппроксимации: A = . В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 7,6%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Для показательной функции

Индекс корреляции: =

.

Рис. 31   Расчеты 

Связь между  показателем у и фактором х  слабая. Коэффициент детерминации будет  равен: = Вариация результата Y (объем выпуск  прод.) на 26% объясняется вариацией фактора Х (объема капиталовлож). Коэффициент эластичности для уравнения показательной зависимости: = ln b * = ln 1,05 * 13,3 = 0,61. С ростом объема капиталовложений (фактора Х) на 1% объем выпуска продукции (результат Y) повысится на 0,61%. Средняя относительная ошибка аппроксимации:A = . В среднем расчетном значении для показательной модели отличаются от факт. знач. на 15,9%-повышенная ошибка аппроксимации.

Рис. 32    Свободная таблица результатов

Вывод,  наилучшей  моделью является степенная модель, т.к имеет наибольший коэффициент  детерминации, средняя относительная  ошибка аппроксимации лежит в  допустимых пределах, а коэффициент  эластичности имеет среднее значение по сравнению с коэффициентами эластичности других моделей.