Контрольная работа по "Эконометрике". 67

Министерство  образования и науки РФ

Федеральное агентство  по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный  финансово-экономический институт

Кафедра экономико-математических методов и моделей

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине:

«Эконометрика»

 

Вариант № 9

 

 

 

 

 

Преподаватель: Орлова Ирина Владленовна

(к.э.н., профессор)

 

Студентка: 

(УСФ, БУАиА,  гр. 16/1)

(3 курс, II в/о,  №)

 

 

 

 

 

 

Москва  – 2008

 

 

План  работы

 

1. Задача 1. Эконометрическое  моделирование стоимости квартир  в Московской области…………………………..…………….	4
2. Задача 2. Исследовать  динамику экономического показателя  на основе анализа одномерного  временного ряда.……………………………………...	11
Список использованной литературы…………………………………….	15

 

Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области.

Задание по эконометрическому  моделированию стоимости квартир  в Московской области:

 

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость  коэффициентов корреляции.
2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним  фактора. 
3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для каждого фактора Х. 
4. Оцените качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель.
5. Для выбранной модели осуществите прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора составит 80% от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения,  точки прогноза.
6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, b - и D - коэффициентов.

 

Таблица 1.   Наименования показателей

 

Обозначение	Наименование показателя	Единица измерения  (возможные  значения)
Y	цена квартиры	тыс. долл.
X4	жилая  площадь квартиры	кв. м
X5	этаж квартиры
X6	площадь кухни	кв. м

Таблица 2  Исходные данные для эконометрического  моделирования стоимости квартир

№	Y	X4	X5	X6
1	115	51,4	9	7
2	85	46	5	10
3	69	34	6	10
4	57	31	1	9
5	184,6	65	1	9
6	56	17,9	2	7
7	85	39	12	8,3
8	265	80	10	16,5
9	60,65	37,8	11	12,1
10	130	57	6	6
11	46	20	2	10
12	115	40	2	7
13	70,96	36,9	5	12,5
14	39,5	20	7	11
15	78,9	16,9	14	13,6
16	60	32	11	12
17	100	58	1	9
18	51	36	6	12
19	157	68	2	11
20	123,5	67,5	12	12,3
21	55,2	15,3	9	12
22	95,5	50	6	12,5
23	57,6	31,5	5	11,4
24	64,5	34,8	10	10,6
25	92	46	9	6,5
26	100	52,3	2	7
27	81	27,8	3	6,3
28	65	17,3	5	6,6
29	110	44,5	10	9,6
30	42,1	19,1	13	10,8
31	135	35	12	10
32	39,6	18	5	8,6
33	57	34	8	10
34	80	17,4	4	8,5
35	61	34,8	10	10,6
36	69,6	53	4	12
37	250	84	15	13,3
38	64,5	30,5	12	8,6
39	125	30	8	9
40	152,3	55	7	13

Решение:

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции.

1.1 Коэффициенты парной корреляции используются для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества. Для множества m признаков n наблюдений получают матрицу коэффициентов парной корреляции.

Количество наблюдений n=40

Количество факторов (переменных) m=3

Рассчитываем матрицу  парных коэффициентов корреляции с  использованием надстройки Excel:

1. Вводим данные  для корреляционного анализа, расположив их в смежных диапазонах ячеек (Y, Х4,Х5,Х6);
2. Выбираем команду Сервис-анализ данных-корреляция-задаем входной интервал (Y, Х4,Х5,Х6), по столбцам, метки, новый рабочий лист-ОК.

 

Таблица 3 Матрица коэффициентов  парной корреляции

 

	Y  Стоимость квартиры, тыс. долл.	X3  Общая площадь квартиры, кв. м.	X5  Этаж квартиры	X6  Площадь кухни, кв. м.
Y  Стоимость квартиры, тыс. долл.	1
X4  Жилая площадь квартиры, кв. м.	0,826390243	1
X5  Этаж квартиры	0,146382617	0,044398911	1
X6  Площадь кухни, кв. м.	0,277274009	0,274037387	0,413008439	1

 

 

Коэффициент парной корреляции определяется по формуле:

 

r_y,x= ,                                 (1)

где S_x²= , S_y²= - оценки дисперсий величин Х и Y.

Коэффициент парной корреляции также можно определить с использованием надстройки Excel:

• Выбираем пустую ячейку. Функция-КОРЕЛЛ-выбираем без надписи значения Y для массива 1 и значения одного фактора Хi для массива 2-ОК

 

Вывод: Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции (таблица 3) показывает, что переменная Х4 (жилая площадь квартиры, кв. м.) имеет тесную связь с Y (стоимость квартиры, тыс. долл.). Коэффициент корреляции достаточно высокий (r_yx4=0,826390243) и положительный (1>r_yx4>0), поэтому мы можем предположить тенденцию возрастания стоимости квартиры (Y) при возрастании жилой площади квартиры (Х4). Переменные Х5 (этаж квартиры) и Х6 (площадь кухни, кв. м.) имеют слабую связь с Y (стоимость квартиры, тыс. долл.)

 

1.2 Оценка статистической значимости коэффициентов парной корреляции с использованием t - критерия Стьюдента.

t_{расч. ух4} = = 9,0333

t_{расч. ух5} = = 0,9122

t_{расч. ух6} = = 1,7789

 

 

Критическое значение t-критерия (t_табл.) берется из таблицы значений                      t Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы.

Число степеней свободы k=n-2 = 40-2 = 38

Выбираем уровень значимости α= 0,05

 

(t_табл.)  можно определить с использованием надстройки Excel:

• Выбираем пустую ячейку. Функция-СТЬЮДРАСПОБР-задаем вероятность = 0,05 и степени свободы =38- ОК

t_табл. = 2,0244 при _{(α=0,05; k=n-2=38)}

Сравниваем числовые значения критериев: если t_расч > t_табл., то полученное значение коэффициента корреляции значимо.

 

t_{расч. ух4}  > t_табл. ;  9,0333> 2,0243

t_{расч. ух5  <} t_табл. ; 0,9122 _< 2,0243

t_{расч. ух6  <} t_табл. ; 1,7789 _< 2,0243

Вывод: Полученные значения коэффициентов корреляции:

r_y,x4  - значимо;

r_y,x5  - незначимо;

r_y,x6  - незначимо.

 

Коэффициент корреляции r_y,x4 = 0,826390243 имеет наибольшую величину и является наиболее значимым. Величина критерия t_{расч. ух6}  незначительно отличается от табличного значения, поэтому коэффициент корреляции   r_y,x6 =0,277274009 мы исключаем из дальнейших расчетов, как наименее значимый и r_{y,x5 =} 0,146382617 исключаем как незначимый.

 

2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.

Ответ:

Построив  график, можно определить, линейны  ли зависимости между            Y (ценой квартиры) и влияющим фактором Х3 (общей площадью квартиры).

 

       Ответ:

График1

График 2

Вывод: : Полученное корреляционное поле (График 1) иллюстрирует линейную взаимосвязь цены квартиры (Y) от наиболее тесно связанного с ним фактора - общей площади (Х4), характеризующуюся незначительным разбросом точек от прямой (График 2). По мере того как возрастает сила линейной связи, точки на графике будут лежать более близко к прямой линии, а величина r_ху будет ближе к единице.

 

3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для каждого фактора Х.

3.1. Рассчитаем параметры линейной парной регрессии для фактора Х4, для чего воспользуемся инструментом Exсel:

 

Во вкладке  «Сервис» функция «Анализ данных»  выберем в качестве инструмента  анализа «Регрессия», отметив входной  интервал для значений Y и входной интервал для значений Х, получим вывод итого на другом листе книги Excel:

Таблица 4

 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,82639024
R-квадрат	0,68292083
Нормированный R-квадрат	0,67457665
Стандартная ошибка	29,3741824
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	70618,39	70618,39	81,84389	5,12E-11
Остаток	38	32788,02	862,8426
Итого	39	103406,4
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-1,3017262	11,47739	-0,11342	0,910297	-24,5365	21,933	-24,536	21,93304
X4	2,39671802	0,264926	9,046761	5,12E-11	1,8604	2,93303	1,8604	2,933032

 

После проведенного анализа уравнение будет иметь следующий вид:

y_i=-1,301726242+2,396718022x₄

 

3.2.Рассчитаем параметры линейной парной регрессии для фактора Х6, для чего воспользуемся инструментом Exсel:

Таблица 5

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,277274
R-квадрат	0,0768809
Нормированный R-квадрат	0,0525883
Стандартная ошибка	50,119971
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	7949,975	7949,975	3,16478	0,083243
Остаток	38	95456,44	2512,011
Итого	39	103406,4
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	33,372955	34,79737	0,959065	0,34359	-37,0706	103,817	-37,0706	103,8165
X6	5,9947584	3,369765	1,778984	0,08324	-0,82697	12,8165	-0,82697	12,81649

 

 

 

После проведенного анализа уравнение будет иметь  следующий вид:

y_i=33,372954673+5,994758361x₆

3. Рассчитаем параметры линейной парной регрессии для фактора Х5, для чего воспользуемся инструментом Exсel:

Таблица6

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,1463826
R-квадрат	0,0214279
Нормированный R-квадрат	-0,004324
Стандартная ошибка	51,603405
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	2215,78	2215,78	0,83209	0,3674202
Остаток	38	101191	2662,91
Итого	39	103406
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	80,342885	16,7151	4,80661	2,4E-05	46,504984	114,1808	46,50498	114,1808
X5	1,8875695	2,06927	0,91219	0,36742	-2,301457	6,076596	-2,30146	6,076596

 

 

После проведенного анализа уравнение будет иметь  следующий вид:

y_i=80,3428847081+1,887569544x₅

 

 

Решение:

Для проведения регрессионного анализа с использованием надстройки Excel:

• Выбераем команду СервисÞАнализ данных.
• В диалоговом окне Анализ данных выбираем инструмент Регрессия.
• В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводим вместе с надписями адрес одного диапазона ячеек, который  представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х вводим с надписями адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных. По очереди вводим Х3,Х5,Х6, три модели.
• Так как выделены и заголовки столбцов, то устанавливаем флажок Метки в первой строке. отмечаем галочками: уровень надежности 95%, новый рабочий лист, остатки, график подбора и график остатков -ОК
• Получаем три протокола, три уравнения парной регрессии, вывод остатков, графики подбора и остатков для каждого Х.

Основная задача регрессионного анализа заключается в исследовании зависимости изучаемой переменной от различных факторов и отображении их взаимосвязи в форме регрессионной модели.

Линейное уравнение связи двух переменных (парную регрессию) представим в виде:

у_i=α+β*х_i+ε_i,                                                                                                                                     (3)

где α – постоянная величина (или свободный член уравнения);

β – коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений.

ε_i – случайная составляющая отражает тот факт, что изменение у_i будет неточно описываться изменением Х, поскольку присутствуют другие факторы, неучтённые в данной модели.

Систематическую часть можно представить в  виде уравнения:

ŷ_i=α+β*х_i

Коэффициент регрессии β характеризует изменение переменной у_i при изменении значения х_i на единицу. Если β>0, переменные х_i и у_i положительно коррелированны и имеют прямую связь, если β<0 – отрицательно коррелированны и имеют обратную связь.

Оценки наименьших квадратов:

Коэффициент регрессии β вычисляется по формуле:

                          

 

 

При   ≠ 0

Вычислим  Коэффициент регрессии β для фактора Х4 используя Exсel:

• Функция - ЛИНЕЙН - (известные_значения_у: выделяем значения столбца Y; известные_значения_х: выделяем значения столбца Х4; константа: выделяем значение коэффициента Y-пересечение из протокола; статистика: выделяем значение t-статистика для Y-пересечение из протокола)- ОК

или используем следующие формулы:

Таблица 7

Наименование показателя в отчёте Excel	Принятые наименование	Формула
Множественный R	Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляции	R=
R – квадрат	Коэффициент детерминации R2	R2=1-
Нормированный R – квадрат	Скорректированный R2
Стандартная ошибка	Среднеквадратическое отклонение от модели	Se=
Наблюдения	Количество наблюдений n	n

 

Таблица 8

	df – число степеней свободы	SS – сумма квадратов	MS – среднее значение	F – критерий Фишера
Регрессия	k=1		/k	F=
Остаток	n-k-1=38		/(n-k-1)
Итого	n-1=39

 

Вывод: Для первого уравнения α=-1,301726242 не имеет экономической целесообразности, так как при общей площади квартиры равной нулю, стоимость тоже будет равна нулю.

Для всех трех уравнений β>0, переменные Х_i (жилая площадь квартиры, этаж квартиры и площадь кухни) и y_i (цена квартиры) положительно коррелированны и имеют прямую связь.

 

4) Оценим качество  каждой модели через коэффициент  детерминации, среднюю ошибку аппроксимации  и F-критерий Фишера.  Выбираем  лучшую. (Модель для Х₄, модель для Х₅, модель для Х₆).

 Ответ:

Лучшая модель парной регрессии фактора Х4;

y₄=-1,301726242+2,396718022x₄,

Поскольку только для этой модели  F_расч > F_табл (F_yx4=81,84>4,098172), уравнение регрессии следует признать адекватным. Коэффициент детерминации (R²⁼0,683) высокий, близкий к 1, хорошее качество модели. 68% вариации зависимой переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора Х₃ (общая площадь квартиры). Самое меньшее значение средней ошибки аппроксимации =26,25 % , то есть самое меньшее рассеяние.

4.1 Коэффициент детерминации:                                                                             

R²=R²_{yx x} =1- =1-32788,02/103406,41=1-0,317=0,683 (для Х₄), 68%.

Коэффициент детерминации показывает, что около 68% вариации зависимой переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием на него включённых факторов.

R²=1- 101190,6/103406,41=1-0,978=0,022 (для Х₅), 2,2%,

Коэффициент детерминации очень низкий, близкий к 0, фактор почти не влияет на Y (стоимость квартиры).

 

 

R²=1-95456,44/103406,41=1-0,923=0,077 (для Х₆), 7,7%.

 

Коэффициент детерминации очень низкий, близкий к 0, фактор почти не влияет на Y (стоимость квартиры).

Наиболее удачная модель для фактора Х4; y₄=-1,301726242+2,396718022x₄,

 

 

4.2 Для оценки качества регрессионных моделей рассчитаем величину средней ошибки аппроксимации для всех факторов.

Средняя относительная  ошибка аппроксимации вычисляется  по формуле:

 

 

 

Подставляя в уравнения  регрессии фактические значения факторов Х_i, найдем ŷ_i

Вычисляем остаток e_i , который представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от ее значения, полученного расчетным путем.

e_i= y_{i −} ŷ_i

Или берем из таблицы (9,10,11)

 

Для того чтобы  получить значение e_i/y_i по модулю │e_i/y_i│*100 необходимо воспользоваться функцией Exсel – функция -ABS (выделяем значение e₁, / на y₁*100), а затем суммировать столбец и разделить на n.

Для Х₆ уравнение регрессии: y_i=33,37+5,99x₆

Найдём величину средней ошибки аппроксимации :

=48,60%.                          (5)

Для Х₅ уравнение регрессии: y_i=80,34+1,88x₅

= 45,74%.

 

Для Х₄ уравнение регрессии: y₄=-1,301726242+2,396718022x₄,

 

=26,25%.

 

< 7% свидетельствует о хорошем  качестве модели. Чем меньше рассеяние  эмпирических точек вокруг теоретической  линии регрессии, тем меньше  средняя ошибка аппроксимации.