Контрольная работа по "Эконометрике". 33

Эконометрика.

Вариант №1.

Задача №1.

По территориям Южного федерального округа РФ приводятся данные за 2000 год:

Территории федерального округа	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y	Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., X
1. Респ. Адыгея3	5,1	1,264
2. Респ. Дагестан6	13,0	3,344
3. Респ. Ингушетия2	2,0	0,930
4. Кабардино-Балкарская Респ.5	10,5	2,382
5. Респ. Калмыкия7	2,1	6,689
6. Карачаево-Черкесская Респ.1	4,3	0,610
7. Респ. Северная Осетия – Алания4	7,6	1,600
8. Краснодарский край1)	109,1	52,773
9. Ставропольский край10	43,4	15,104
10. Астраханская обл.9	18,9	12,633
11. Волгоградская обл.8	50,0	10,936
12. Ростовская обл.11	69,0	20,014
Итого, S	225,9	75,506
Средняя	20,536	6,8642
Среднее квадратическое  отклонение, s	21,852	6,4427
Дисперсия, D	477,50	41,5079

 

¹⁾ Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.

Задание:

1. Расположите территории  по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции  и сформулируйте гипотезу о  возможной форме и направлении  связи.

3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции .

4. Оцените тесноту  связи с помощью показателей  корреляции  (r_yx) и детерминации (r²_yx), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.

6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По лучшему уравнению  регрессии рассчитайте теоретические  значения результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте прогнозное  значение результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,062 от среднего уровня ( ).

9. Рассчитайте интегральную  и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оценив точность выполненного прогноза.

Решение:

1.Для построения графика  расположим территории по возрастанию  значений фактора  . См. табл. 1.

Таблица №1.

Территории федерального округа	Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., X	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y
А
1. Карачаево-Черкесская Респ.	0,610	4,3
2. Респ. Ингушетия	0,930	2,0
3. Респ. Адыгея	1,264	5,1
4. Респ. Северная Осетия – Алания	1,600	7,6
5. Кабардино-Балкарская Респ.	2,382	10,5
6. Респ. Дагестан	3,344	13,0
7. Респ. Калмыкия	6,689	2,1
8. Волгоградская обл.	10,936	50,0
9. Астраханская обл.	12,633	18,9
10. Ставропольский край	15,104	43,4
11. Ростовская обл.	20,014	69,0
Итого, S	75,506	225,9
Средняя	6,8642	20,536
Среднее квадратическое  отклонение, s	6,4427	21,852
Дисперсия, D	41,5079	477,50

2. Обычно моделирование  начинается в построения уравнения  прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

3. Расчёт неизвестных параметров  уравнения выполним методом наименьших  квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа₀ и Δа₁ Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.2.

Расчётная таблица №2

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1	0,610	4,3	0,4	2,6	1,7	2,6	6,9	12,8
2	0,930	2,0	0,9	1,9	2,6	-0,6	0,4	3,1
3	1,264	5,1	1,6	6,4	3,6	1,5	2,1	7,1
4	1,600	7,6	2,6	12,2	4,7	2,9	8,6	14,3
5	2,382	10,5	5,7	25,0	7,0	3,5	12,1	17,0
6	3,344	13,0	11,2	43,5	9,9	3,1	9,5	15,0
7	6,689	2,1	44,7	14,0	20,0	-17,9	320,7	87,2
8	10,936	50,0	119,6	546,8	32,8	17,2	295,2	83,7
9	12,633	18,9	159,6	238,8	37,9	-19,0	362,4	92,7
10	15,104	43,4	228,1	655,5	45,4	-2,0	4,0	9,7
11	20,014	69,0	400,6	1381,0	60,2	8,8	77,5	42,9
Итого	75,506	225,9	974,9	2927,7	225,9	0,0	1099,4	385,4
Средняя	6,8642	20,536	—	—	—	—	—	35,03
Сигма	6,4427	21,852	—	—	—	—	—	—
Дисперсия, D	41,5079	477,50	—	—	—	—	—	—
Δ=	5022,7	—	—	—	—	—	—	—
Δа0=	-829,0		-0,165	—	—	—	—	—
Δа1=	15147,9		3,016	—	—	—	—	—

3. Расчёт определителя  системы выполним по формуле:

 11*974,9 – 75,506*75,506 = 5022,7;

  Расчёт определителя  свободного члена уравнения выполним  по формуле:

225,9*974,9 – 2927,7*75,506 = -829,0.

   Расчёт определителя  коэффициента регрессии выполним  по формуле:

 11*2927,7 – 225,9*75,506 = 15147,9.

 

4.Расчёт параметров уравнения  регрессии даёт следующие результаты:

;     .

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

В уравнении коэффициент  регрессии а₁ = 3,016 означает, что при увеличении инвестиций в основной капитал на 1 млрд. руб. (от своей средней) валовой региональный продукт повысится на 3,016 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения  а₀ = - 0,165 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на валовой региональный продукт.

5.Относительную оценку  силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

В нашем случае, когда  рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

Это означает, что при увеличении инвестиций в основной капитал на 1% от своей средней валовой региональный продукт увеличивается на 1,008 процента от своей средней.

6. Для оценки тесноты  связи рассчитаем линейный коэффициент  парной корреляции:

    

Коэффициент корреляции, равный 0,81, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой инвестиций в основной капитал и валовым региональным продуктом. Коэффициент детерминации, равный 0,81, устанавливает, что вариация валового регионального продукта на 81% из 100% предопределена вариацией инвестиций в основной капитал; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 19%, что является сравнительно небольшой величиной.

7.Для оценки статистической  надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – F_{фактич.} и сравним его с табличным значением – F_табл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).

В нашем случае, .

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата в 38 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия валовой региональной продукции и инвестиций в основной капитал. Для обоснованного вывода сравним полученный результат  с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.₁=k-1=1 и d.f.₂=n-k=11-2=9 и уровне значимости α=0,05.

Значения  представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)». См. приложение 1 данных «Методических указаний…».

В силу того, что  , нулевую гипотезу о статистической незначимости  выявленной зависимости оборота розничной торговли от общей суммы доходов населения и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

8. Определим теоретические  значения результата Y_теор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт.

Например, . См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений Y_теор. и X_факт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся  с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.

 

 

График 1.

 

 

9. Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:

.

 В нашем случае  скорректированная ошибка аппроксимации  составляет 35,03%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).

10. Заключительным этапом  решения данной задачи является  выполнение прогноза и его оценка.

Если предположить, что прогнозное значение инвестиций в основной капитал, в среднем по территории Южного федерального округа возрастёт с 6,8642 млрд. руб.на 6,2 % и составит 7,2898 млрд. руб., то есть X_{прогнозн}.= 6,8642*1,062=7,2898, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Y_{прогнозн.} =-0,165+3,016*7,2898=21,82 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 6,2% приводит к приросту результата на 6,3 процента ( .

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии- и ошибки прогноза положения регрессии - . То есть, .

В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда (млрд. руб.).

Ошибка положения регрессии  составит: =

=  =  = 0,022 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит: = = 11,05 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*11,05 = 24,973 ≈ 25,0 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 9-1-1=7  составит 2,26. (См. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза составит млрд. руб.

Это означает, что фактическая  реализация прогноза не будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит

= 21,82 + 25,0 = 46,82(млрд. руб.).

Нижняя граница доверительного интервала составит:

= 21,82 - 25,0 = -3,8(млрд. руб.).

Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: = раза. Это означает, что верхняя граница в 12,3 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза  очень невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Астраханскую область с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

 

 

Задача №2.

Проводится анализ значений социально-экономических показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год.

Y – Валовой региональный продукт, млрд. руб.;

X₁ – Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

X₂ – Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

X₃ – Кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.

Требуется изучить влияние  указанных факторов на стоимость  валового регионального продукта.

Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям выявил наличие одной территории (г. Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта единица должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.

При обработке исходных данных получены следующие значения:

А) - линейных коэффициентов  парной корреляции, средних и средних  квадратических отклонений -σ:

N=9.

	Y	X1	X2	X3
Y	1	0,7677	0,8653	0,4237
X1	0,7677	1	0,8897	0,0157
X2	0,8653	0,8897	1	-0,0179
X3	0,4237	0,0157	-0,0179	1
Средняя	31,92	8,87	121,18	0,5683
σ	14,61	5,198	48,19	0,6942

 

 

Б) - коэффициентов частной  корреляции

	Y	X1	X2	X3
Y	1	-0,1462	0,8737	0,8791
X1	-0,1462	1	0,5562	0,1612
X2	0,8737	0,5562	1	-0,7842
X3	0,8791	0,1612	-0,7842	1

Задание:

1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель. 

2. Выполните расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

3. По значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a₁, a₂ и a₀). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности - .

4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R², а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).

5. Рассчитайте прогнозное  значение  результата, предполагая,  что прогнозные значения  факторов составят  102,1 процента от их среднего уровня.

6. Основные выводы  оформите аналитической запиской.

 

 

 

 

 

Решение.

1. Представленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что валовой региональный продукт -Y более тесно связан со среднегодовой стоимостью основных фондов в экономике –X₂ ( ) и с инвестициями 2000 года в основной капитал – X₁ ( ); наименее тесно результат Y связан с кредитами, предоставленными в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физ.лицам–X₃( ) Поэтому, в силу небольшой информативности фактора X₃, предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа. Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Наиболее тесная связь результата Y с кредитами, предоставленными в 2000 году (0,8791), затем со среднегодовой стоимостью основных фондов (0,8737) и с инвестициями 2000 года в основной капитал (-0,1462). Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчёт серии коэффициентов частной корреляции Y с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для Y с X₁  и с X₂, а также для Y c X₂ и X₃.

Расчёты частных коэффициентов  корреляции выполним по следующим формулам:

 

 

 

Как видим, фактор X₁ и X₂, тесно связаны между собой, а с результатом заметно взаимосвязан фактор X₂, связь с результатом фактора X₁ – слабая.

Расчёт аналогичных  показателей по следующей паре факторов приводит к иным результатам:

 

 

 

В данном случае, межфакторное взаимодействие оценивается как слабое ( ) а связь факторов X₂ и X₃ – весьма тесная и тесная соответственно. Таким образом, вторая из рассмотренных пар факторных признаков (X₂  и X₃ ) в большей мере отвечает требованиям, предъявляемым МНК к исходным данным и, в частности, к отсутствию межфакторного взаимодействия. Указанные обстоятельства позволяют использовать X₂ и X₃ в качестве информативных факторов уравнения множественной регрессии.

2. При построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае исходное уравнение приобретает вид: . Выполним расчёт b-коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

;

;

В результате получено уравнение  в стандартизованном масштабе:

Параметры данного уравнения  представляют собой относительные  оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении среднегодовой стоимости основных фондов на одну сигму (от своей средней) валовой региональный продукт увеличится на 0,872 своей сигмы ( ); с увеличением предоставленных кредитов на результат увеличится на 0,439 .Сравнивая b-коэффициенты, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой – слабее. В данном случае увеличение валового регионального продукта происходит, прежде всего, под влиянием увеличения среднегодовой стоимости основных фондов и в меньшей степени – в результате увеличения предоставления кредитов.

3. Используя значения b-коэффициентов, можно рассчитать параметры уравнения в естественной форме:

 

 

. 

В конечном счёте, имеем  уравнение:

.

По значениям коэффициентов  регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).

С увеличением среднегодовой стоимости основных фондов на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт увеличивается на 0,264 млрд. руб., с увеличением предоставленных кредитов на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт возрастает на 6,318 млрд. руб.

Точную оценку силы связи  факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и β - коэффициенты.

4. Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1% (от своего среднего значения). В нашем случае расчёт показал, что влияние численности населения на розничный товарооборот оказалось более сильным по сравнению с влиянием инвестиций в экономику: С увеличением среднегодовой стоимости основных фондов на 1 % валовой региональный продукт увеличивается на 100,2 %, с увеличением предоставленных кредитов на 1 % валовой региональный продукт возрастает на 16,5%. 

Различия в силе влияния  весьма значительны: первый фактор влияет на результат почти в десять раз сильнее, чем второй. Поэтому регулирование величины валового регионального продукта через среднегодовую стоимость основных фондов будет более результативным, чем через размер предоставленных кредитов.

; .

5. Тесноту выявленной зависимости розничного товарооборота от инвестиций в экономику региона  и от численности населения оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β - коэффициентов. В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:

.

Как показали расчёты, установлена  весьма тесная зависимость уровня валового регионального продукта от среднегодовой стоимости ОФ и выданных кредитов. Это означает, что 94,05% вариации валового регионального продукта определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 5,95% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.

 

6. Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, .

Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.₁=k и d.f.₂=n-k-1; где: n –число изучаемых единиц; k – число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.

.

В нашем случае, когда  рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:

.

Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых  факторов, почти в 43 раза больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может и является результатом влияния существенных, систематических факторов.

Для принятия обоснованного  решения F_фактич. сравнивается с F_{табличн}., которое формируется случайно и зависит  степеней свободы факторной (d.f.₁  = k) и остаточной (d.f.₂ = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α=0,05. В нашем примере, где d.f.₁=k= 2 и d.f.₂=n-k-1 = 9-2-1=6 при α=0,05 F_табл = 5,14. (См. табл. приложения 1). В силу того, что F_фактич =42,76> F_табл. = 5,14, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы – согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.

7. Техническая часть прогнозных расчётов по уравнению множественной регрессии сравнительно проста. Достаточно определить прогнозные значения каждого факторного признака , подставить их в уравнение и выполнить с ними расчёт прогнозного значения результата - . При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае, прогнозное значение каждого из факторов, то есть и , получено на основе средней величины:

.        .

После подстановки в  уравнение получаем следующий результат:

(млрд. руб.)

Если среднегодовая стоимость ОФ возрастет до 123,6 млрд. руб., а размер выданных кредитов составит 0,58 млрд. руб., тогда следует ожидать, что валовой региональный продукт возрастет до 32,67 млрд. руб., то есть увеличится на 2,4% от своего среднего уровня.