Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Эконометрике". 26

Содержание

Задача № 1 ………………………………………………………………………3

Задача № 2 ………………………………………………………………………15

Задача № 3………………………………………………………………………..25

Задача №4 ……………………………………………………………………….28

Список литературы………………………………………………………………35

В соответствии с номером зачетной книжки принимается номер варианта №3 (последняя цифра зачетной книжки).

Задание № 1.

Данные приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Исходные данные

Районы	y	x
1	22,5	46
2	25,5	54
3	19,2	50,2
4	13,6	43,8
5	25,4	78,6
6	17,8	60,2
7	18	50,2
8	21,0	54,7
9	16,5	42,8
10	23	60,4
11	14,6	47,2
12	14,2	40,6

Необходимо:

1) Рассчитать параметры уравнений регрессии y=a+bx+ ε и y=a+b*+e.

2) Оценить тесноту связи с помощью индексов корреляции и детерминации.

3) Рассчитать средний коэффициент эластичности и дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4) Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

5) С помощью F-статистики Фишера (при α=0,01) оценить надежность уравнения регрессией

6) Рассчитайте прогнозное значение y_пр, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для α=0,01.

Решение:

Оценки параметров линейной регрессии y=a+bx+ ε могут быть рассчитаны по следующим формулам:

и , (1)

где - среднее значение факторного признака;

- среднее значение результативного признака;

n - количество наблюдений в выборочной совокупности.

- дисперсия факторного признака

Необходимые для вычислений значения приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Расчетные значения

N	y_i	x_i	x_i*y_i	y_i²	x_i²
1	22,5	46	1035	506,25	2116	40,84
2	25,5	54	1377	650,25	2916	2,59
3	19,2	50,2	963,84	368,64	2520,04	4,80
4	13,6	43,8	595,68	184,96	1918,44	73,81
5	25,4	78,6	1996,44	645,16	6177,96	686,91
6	17,8	60,2	1071,56	316,84	3624,04	60,98
7	18	50,2	903,6	324	2520,04	4,80
8	21,0	54,7	1148,7	441	2992,09	5,33
9	16,5	42,8	706,2	272,25	1831,84	91,99
10	23	60,4	1389,2	529	3648,16	64,14
11	14,6	47,2	689,12	213,16	2227,84	26,95
12	14,2	40,6	576,52	201,64	1648,36	139,03
Σ	231,3	628,7	12452,86	4653,15	34140,81	1202,17
Средние значения	19,275	52,391	1037,738	387,762	2845,0675

_{С учетом
этих числовых значений
получается:}

100,25

0,2784,71

Тогда уравнение линейной парной линейной регрессии имеет следующий вид:

y=4,71+0,278*х

Линейный коэффициент парной корреляции (r_xy) определяется:

, (2)

где и

Коэффициент корреляции близок к нулю-связь между признаками отсутствует.

Коэффициент детерминации (r²_xy):

r²_xy=0,691²=0,477

Полученное значение коэффициента детерминации означает, что парная линейная регрессия вида y=4,71+0,278*х объясняет только 47,7 % общей вариации результативного признака, остальные 52,3% вариации результативного признака объясняются изменением факторов, не включенных в модель.

Значение среднего коэффициента эластичности определяется по формуле:

₍₃₎

где f'(x) - первая производная уравнения регрессии по х.

Для уравнения парной линейной регрессии y=4,71+0,278*х:

f'(x)=0,278

В модели парной линейной регрессии при изменении среднего значения заработной платы и социальных выплат на 1% уровень потребительских расходов в среднем по совокупности изменится на 0,755 % от своего среднего значения.

Средняя ошибка аппроксимации определяется по формуле:

₍₄₎

где y_i - эмпирические (наблюдаемые) значения результативного признака;

- теоретические значения результативного признака (т.е. значения, рассчитанные на основе полученного уравнения регрессии).

Значение рассчитано в таблице 3.

Таблица 3 - Расчетные параметры

№	y_i	x_i
1	22,5	46	17,498	5,002	0,222311	25,02
2	25,5	54	19,722	5,778	0,226588	33,38528
3	19,2	50,2	18,6656	0,5344	0,027833	0,285583
4	13,6	43,8	16,8864	3,2864	0,241647	10,80042
5	25,4	78,6	26,5608	1,1608	0,045701	1,347457
6	17,8	60,2	21,4456	3,6456	0,204809	13,2904
7	18	50,2	18,6656	0,6656	0,036978	0,443023
8	21,0	54,7	19,9166	1,0834	0,05159	1,173756
9	16,5	42,8	16,6084	0,1084	0,00657	0,011751
10	23	60,4	21,5012	1,4988	0,065165	2,246401
11	14,6	47,2	17,8316	3,2316	0,221342	10,44324
12	14,2	40,6	15,9968	1,7968	0,126535	3,22849
Σ	231,3	628,7	231,2986	27,7918	1,47707	101,6758

Средняя ошибка аппроксимации для парной линейной регрессии:

=1,477*100/16=9,231%

В среднем расчетные значения, полученные с помощью уравнения парной линейной регрессии, отличаются от фактических значений на 9,231 %. Значение средней ошибки аппроксимации лежит в пределах допустимых значений (8%-10%), что говорит об удачном выборе модели регрессии.

Рассчитаем значение F-критерия Фишера :

, (5)

где n-объем выборки;

m-количество оцениваемых параметров в уравнении регрессии.

9,12

Критическое значение F-критерия при α=0,01; v₁=2-1=1; v₂=12-2=10 равно 10,04. Так как F_факт<F_крит, то принимается гипотеза H0 о статистической незначимости уравнения парной линейной регрессии (это означает, что оценки параметров а и b сформировались под воздействием случайных факторов).

Х_п=*1.05=52,391*1,05=55,01 м². - значение факторного признака при его увеличении на 5% от исходного среднего уровня.

Прогнозное значение результативного признака (Y_п) определяется путем подстановки в соответствующее уравнение регрессии прогнозного значения факторного признака (Х_п).

Y_п=4,71+0,278*55,01=20,003 тыс.у.е.

Затем вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза (m_Yп):

₍₆₎

где _.

Предельная ошибка прогноза (∆_Yп):

∆_Yп=t_табл(α,v)*m_Yп

Доверительный интервал прогноза (γ_Yп):

γ_Yп=Y_п±∆_Yп

γ_Yп=Y_п-∆_п

_Yп=Y_п+∆_Yп

Значение рассчитано в таблице 3, значение рассчитано в таблице 2 .

При n=12 и m=2 число степеней свободы v=n-m=12-2=10

При уровне значимости α=0.01 и v=10 коэффициент доверия t_α =3,169

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 99 %

случаев составит:

Dγ_Yп =3,169*3,327=10,542

Строим доверительный интервал, т.е. интервал, включающий в себя оцениваемое значение с вероятностью 1-α=1-0,01=0,99.

Доверительный интервал прогноза, полученного на основе парной линейной регрессии Y_п=4,71+0,278*x:

γ _Yп=55,01 ±10,542

γ _Yп(min)= 55,01 - 10,542=44,468

γ_Yп(max)= 55,01 + 10,542=65,552

D_γ=γ_Yп(max)/γ_Yп(min)= 65,552/44,468=1,474

Рассчитанный прогноз уровня потребительских расходов является надежным, но не достаточно точным, потому что верхняя граница доверительного интервала прогноза больше его нижней границы в 1,474 раза.

Для построения уравнение регрессии y=a+b* произведем замену z=. Тогда: y=a+b*z

Для расчета оценок параметров а и b используем данные таблицы 4

Таблица 4 – Расчетные показатели

N	y_i	z_i	z_i*y_i	y_i²	z_i²
1	22,50	6,78	152,60	506,25	46,00
2	25,50	7,35	187,39	650,25	54,00
3	19,20	7,09	136,04	368,64	50,20
4	13,60	6,62	90,01	184,96	43,80
5	25,40	8,87	225,19	645,16	78,60
6	17,80	7,76	138,11	316,84	60,20
7	18,00	7,09	127,53	324,00	50,20
8	21,00	7,40	155,31	441,00	54,70
9	16,50	6,54	107,95	272,25	42,80
10	23,00	7,77	178,75	529,00	60,40
11	14,60	6,87	100,31	213,16	47,20
12	14,20	6,37	90,48	201,64	40,60
Σ	231,30	86,50	1689,66	4653,15	628,70
Средние знач.	19,275	7,208	140,805	387,7625	52,391

0,435

4,3

-11,724

Уравнение с переменной z: y=-11,724+4,3*z

После обратной замены получим уравнение: y=-11,724+4,3*

Для нелинейной регрессии индекс детерминации (R²) рассчитывается по следующей формуле:

(7)

Значения , рассчитаны в таблице 5

Таблица 5 – Расчетные величины

№	y_i	x_i					(y_i- )²
1	22,5	46	17,44002	5,059981	0,224888	25,60341	10,40
2	25,5	54	19,87442	5,625582	0,220611	31,64718	38,75
3	19,2	50,2	18,74234	0,457658	0,023836	0,209451	0,01
4	13,6	43,8	16,73407	3,134074	0,230447	9,822423	184,96
5	25,4	78,6	26,39836	0,998356	0,039305	0,996714	37,52
6	17,8	60,2	21,63912	3,839123	0,215681	14,73887	2,18
7	18	50,2	18,74234	0,742342	0,041241	0,551072	1,63
8	21,0	54,7	20,07856	0,921437	0,043878	0,849047	2,98
9	16,5	42,8	16,40733	0,092665	0,005616	0,008587	7,70
10	23	60,4	21,6945	1,305502	0,056761	1,704336	13,88
11	14,6	47,2	17,81797	3,21797	0,220409	10,35533	21,86
12	14,2	40,6	15,6748	1,474796	0,103859	2,175022	25,76
Σ	231,3	628,7	231,2438	26,86949	1,426533	98,66144	347,60

R²=1-

=0,716

Полученное значение коэффициента детерминации означает, что парная регрессия вида y=-11,724+4,3*объясняет 71,6 % общей вариации результативного признака, остальные 28,4% вариации результативного признака объясняются изменением факторов, не включенных в модель.

Определим индекс корреляции (R) :

Значение коэффициента корреляции близко к единице - связь между признаками прослеживается хорошо.

Далее рассчитаем значение среднего коэффициента эластичности.

Для уравнения регрессии y=-11,724+4,3*

В модели парной регрессии y=-11,724+4,3*при изменении среднего значения заработной платы и социальных выплат на 1% уровень потребительских расходов в среднем по совокупности изменится на 0,807 % от своего среднего значения.

Значение , необходимое для определения средней ошибки аппроксимации рассчитаны в таблице 5.

Средняя ошибка аппроксимации для парной регрессии y=-11,724+4,3*:

=1,426533*100/12=11,887 %

То есть, в среднем расчетные значения, полученные с помощью уравнения парной регрессии y=-11,724+4,3*, отличаются от фактических значений на 11,887 %. Значение средней ошибки аппроксимации вышло за пределы допустимых значений (8%-10%), что говорит о неудачном выборе модели регрессии.

Рассчитаем значение F-критерия Фишера

n-объем выборки;

m-количество оцениваемых параметров в уравнении регрессии.

Расчетное значение F сопоставляется с табличным (критическим) значением, определяемым для числа степеней свободы v₁=m-1 и v₂=n-m и заданного уровня значимости α.

Критическое значение F-критерия при α=0,01; v₁=2-1=1; v₂=12-2=10 равно 10,04. Так как F_фактF_крит, то гипотеза H₀ о статистической незначимости уравнения регрессии y=-11,724+4,3*отклоняется.

Значение факторного признака при его увеличении на 5% от исходного среднего уровня:

Х_п=

*1.05=52,391*1.05=55,01 м²

Y_п= y= y=-11,724+4,3*

=20,168 тыс.у.е.

При n=12 и m=2 число степеней свободы v=n-m=12-2=10. При уровне значимости α=0.01 и v=10 коэффициент доверия t=3,169. Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 99 % случаев составит:

Dγ_Yп =3,277*3,169=10,387

Доверительный интервал прогноза, полученного на основе парной регрессии y=-11,724+4,3*:

γ_Yп=55,01±10,387

γ _Yп(min)=55.01-10,387=44,623

γ _Yп(max)=55.01+10,387=65,397

D=γ_Yп(max)/γ_Yп(min)=65.397/44.623=1,465

На основе проведенных расчетов можно сделать следующие выводы.

Оба уравнения регрессии характеризуются очень низким значением коэффициента детерминации и коэффициента корреляции. Это свидетельствует о том, что модель построена на основе фактора, не имеющей существенной связи с результативным признаком.

Оба уравнения регрессии характеризуются значительной величиной средней ошибки аппроксимации, что свидетельствует о недостаточной точности рассчитываемых теоретических значений результативного признака.

Критическое значение F-критерия Фишера меньше величин его фактических значений для обеих моделей, следовательно, обе являются статистически значимыми. Таким образом, моделями регрессии можно воспользоваться для практических расчетов.

Задание №2.

Дано: Имеются данные о деятельности 5 крупнейших компаний в течение 12 месяцев 199X года. Известны – чистый доход (y), оборот капитала (х1), использованный капитал (х2) в млрд. у.е.; данные сведены в таблицу 6.

Задание:

1. Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии

2. Дать оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности

3. Оценить статистическую значимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01)

4. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации. Сделать вывод

5. Рассчитать матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и отберите информативные факторы

Таблица 6 – Исходные данные

y	X₁	Х₂
3,6	16,2	13,3
1,5	5,9	5,9
5,5	53,1	27,1
2,4	18,8	11,2
3,0	35,3	16,4
4,2	71,9	32,5
2,7	93,6	25,4
1,6	10	6,4
2,4	31,5	12,5
3,3	36,7	14,3
1,8	13,8	6,5
2,4	64,8	22,7

Решение:

Для решения необходимо рассмотреть уравнение вида:

Y=a+b₁x₁+b₂x₂+ε (8)

Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:

(9)

Или то же выражение в стандартизированном масштабе:

(10)

где ; – стандартизированные переменные;

- стандартизированные коэффициенты.

(11)

Коэффициенты определяются из системы уравнений:

(12)

Отсюда получается:

(13)

(14)

(15)

(16)

Числовые значений для расчетов определяются при помощи МS Excel и сведены в таблицу 7.

Таблица 7 – Расчетные значения

y	X₁	X₂	Yx₁	Yx₂	X₁x₂	X₁²	X₂²	Y²	N
3,60	16,20	13,30	58,32	47,88	215,46	262,44	176,89	12,96	1
1,50	5,90	5,90	8,85	8,85	34,81	34,81	34,81	2,25	2
5,50	53,10	27,10	292,05	149,05	1439,01	2819,61	734,41	30,25	3
2,40	18,80	11,20	45,12	26,88	210,56	353,44	125,44	5,76	4
3,00	35,30	16,40	105,90	49,20	578,92	1246,09	268,96	9,00	5
4,20	71,90	32,50	301,98	136,50	2336,75	5169,61	1056,25	17,64	6
2,70	93,60	25,40	252,72	68,58	2377,44	8760,96	645,16	7,29	7
1,60	10,00	6,40	16,00	10,24	64,00	100,00	40,96	2,56	8
2,40	31,50	12,50	75,60	30,00	393,75	992,25	156,25	5,76	9
3,30	36,70	14,30	121,11	47,19	524,81	1346,89	204,49	10,89	10
1,80	13,80	6,50	24,84	11,70	89,70	190,44	42,25	3,24	11
2,40	64,80	22,70	155,52	54,48	1470,96	4199,04	515,29	5,76	12
34,40	451,60	194,20	1458,01	640,55	9736,17	25475,58	4001,16	113,36	Σ
2,87	37,63	16,18	121,50	53,38	811,35	2122,97	333,43	9,45	cpeд
1,10	26,59	8,46							σ
1,21	706,95	71,63							σ²

При подстановке числовых значений получается:

Отсюда получается:

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:

Определение коэффициентов эластичности производится следующим образом:

(17)

Величина средней эластичности говорит о том, что при увеличении оборота капитала х₁ на 1 % доход y снижается на 0, 598 %.

При повышении использованного капитала х₂ на 1 % доход y увеличивается на 0, 405 %.

Оценка статистической значимости параметров и регрессии в целом

Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле:

, (18)

где n-объем выборки;

m-количество оцениваемых параметров в уравнении регрессии.

1,218

Критическое значение F-критерия при α=0,01; v₁=3-1=2; v₂=12-3=9 равно 8,02. Так как F_факт1<F_крит и F_факт2<F_крит, то принимается гипотеза H0 о статистической незначимости уравнения парной линейной регрессии (это означает, что оценки параметров а и b сформировались под воздействием случайных факторов).

Х_п1=*1.05=37,63*1,05=39,511 , Х_п1=*1.05=16,18*1,05=16,989 - значение факторного признака при его увеличении на 5% от исходного среднего уровня.

Затем вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза (m_Yп):

Контрольная работа по Эконометрике. 26 📙 Контрольная → 🆔 77259