Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Эконометрике". 95

Содержание

Контрольное задание 1

Задача 9

Имеются данные за 5 месяцев года о потребительских расходах на душу населения (у, руб.), средней заработной плате (х, руб.) по 16 регионам района.

районы	Апрель
	Задача 9
	у	х
A	445	1310
B	537	1490
C	463	1255
D	251	1287
E	553	1720
F	453	1500
G	478	1320
H	448	918
I	453	794
J	627	1012
K	364	1058
L	419	1213
M	392	1225
N	478	1042
O	521	1071
P	517	1093

Задание:

Рассчитайте параметры уравнений регрессий y=a+bx+ɛ и y=a+b1x+b2x2+ɛ.
Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.
Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
Рассчитайте среднюю ошибку апроксимации и оцените качество модели.
С помощью F-статистики Фишера (при α=0,01) оцените надежность уравнения регрессии.
Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для α=0,01.

Решение:

1) Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1).

Линейное уравнение регрессии имеет вид

y = 0,024 x + 433,18

С увеличением средней заработной платы на 1 руб. потребительские расходы на душу населения возрастают в среднем на 0,024 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции и детерминации:

;

это означает, что в 0,45 % случаев изменения средней заработной платы (х) приводят к изменению потребительских расходов на душу населения (y). Точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 99,55 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

	Таблица 1 – Исходные расчеты
	y	x	x2	xy	y2								A%
	445	1310	1716100	582950	198025	-17,44	103,25	304,07	10660,56	464,94	-19,94	397,64	4%
	537	1490	2220100	800130	288369	74,56	283,25	5559,57	80230,56	469,31	67,69	4582,57	13%
	463	1255	1575025	581065	214369	0,56	48,25	0,32	2328,06	463,61	-0,61	0,37	0%
	251	1287	1656369	323037	63001	-211,44	80,25	44705,82	6440,06	464,38	-213,38	45532,43	85%
	553	1720	2958400	951160	305809	90,56	513,25	8201,57	263425,56	474,88	78,12	6102,41	14%
	453	1500	2250000	679500	205209	-9,44	293,25	89,07	85995,56	469,55	-16,55	273,83	4%
	478	1320	1742400	630960	228484	15,56	113,25	242,19	12825,56	465,18	12,82	164,26	3%
	448	918	842724	411264	200704	-14,44	-288,75	208,44	83376,56	455,44	-7,44	55,30	2%
	453	794	630436	359682	205209	-9,44	-412,75	89,07	170362,56	452,43	0,57	0,33	0%
	627	1012	1024144	634524	393129	164,56	-194,75	27080,82	37927,56	457,72	169,28	28657,25	27%
	364	1058	1119364	385112	132496	-98,44	-148,75	9689,94	22126,56	458,83	-94,83	8992,88	26%
	419	1213	1471369	508247	175561	-43,44	6,25	1886,82	39,06	462,59	-43,59	1900,00	10%
	392	1225	1500625	480200	153664	-70,44	18,25	4961,44	333,06	462,88	-70,88	5023,97	18%
	478	1042	1085764	498076	228484	15,56	-164,75	242,19	27142,56	458,44	19,56	382,48	4%
	521	1071	1147041	557991	271441	58,56	-135,75	3429,57	18428,06	459,15	61,85	3825,91	12%
	517	1093	1194649	565081	267289	54,56	-113,75	2977,07	12939,06	459,68	57,32	3285,65	11%
сумма	7399	19308	24134510	8948979	3531243			109667,94	834581,00	7399,00	0,00	109177,29	233%
ср.значение	462,44	1206,75	1508406,8	559311	220702,69							6823,58	15%
σ	82,7904	228,389
σ2	6854,25	52161,3

3. Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = ∂y;∂x x;y = bx;y

E = 0.02421206.75;462.44 = 0.0633

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении х на 1%, y изменится менее чем на 1%. Влияние Х на Y не существенно.

4. Качество модели определяет ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели оценивается как плохое. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

5. F-тест – оценивание качества уравнения регрессии состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Для этого выполняется сравнение фактического и критического (табличного) значений F-критерия Фишера. определяется из соотношения факторной и остаточной дисперсий, рассчитанный на одну степень свободы:

определяется по таблице и зависит от уровня значимости, числа степеней свободы и числа степеней свободы .

Fтабл = 8,86

Fтабл > Fфакт

Гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадёжность уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

6. Уравнение регрессии имеет вид y = ax2 + bx + c

1) Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1∑x + a2∑x2 = ∑y

a0∑x + a1∑x2 + a2∑x3 = ∑yx

a0∑x2 + a1∑x3 + a2∑x4 = ∑yx2

x	y	x2	y2	x y	x3	x4	x2 y
1310	445	1716100	198025	582950	2248091000	2944999210000	763664500
1490	537	2220100	288369	800130	3307949000	4928844010000	1192193700
1255	463	1575025	214369	581065	1976656375	2480703750625	729236575
1287	251	1656369	63001	323037	2131746903	2743558264161	415748619
1720	553	2958400	305809	951160	5088448000	8752130560000	1635995200
1500	453	2250000	205209	679500	3375000000	5062500000000	1019250000
1320	478	1742400	228484	630960	2299968000	3035957760000	832867200
918	448	842724	200704	411264	773620632	710183740176	377540352
794	453	630436	205209	359682	500566184	397449550096	285587508
1012	627	1024144	393129	634524	1036433728	1048870932736	642138288
1058	364	1119364	132496	385112	1184287112	1252975764496	407448496
1213	419	1471369	175561	508247	1784770597	2164926734161	616503611
1225	392	1500625	153664	480200	1838265625	2251875390625	588245000
1042	478	1085764	228484	498076	1131366088	1178883463696	518995192
1071	521	1147041	271441	557991	1228480911	1315703055681	597608361
1093	517	1194649	267289	565081	1305751357	1427186233201	617633533
19308	7399	24134510	3531243	8948979	31211401512	41696748419654	11240656135

Для наших данных система уравнений имеет вид

16a0 + 19308a1 + 24134510a2 = 7399

19308a0 + 24134510a1 + 31211401512a2 = 8948979

24134510a0 + 31211401512a1 + 41696748419654a2 = 11240656135

Получаем a0 = 0.000403, a1 = -0.984, a2 = 1041.59

Уравнение регрессии:

y = 0,000403x2-0,984x+1041,59

2) Коэффициент корреляции, детерминации.

В 11,23% случаев изменения средней заработной платы (х) приводят к изменению потребительских расходов на душу населения (y), но точность подбора уравнения регрессии - низкая.

3) Критерий Фишера

Находим из таблицы Fтабл = 4,67

где m - количество факторов в уравнении регрессии (m=2).

Поскольку Fфакт < Fтабл, то уравнение регрессии не значимо.

4) Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

Sy = ∑yi - y2;n - m = 97347.05;16 - 1 = 80.56

m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении регрессии.

Uy = yn+L ± K

где

K = taSy 1 + 1;n + 3n+2L-12;nn2 - 1

L - период упреждения;

уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени;

n - количество наблюдений во временном ряду;

Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;

Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;α/2) = (13;0,005) = 3,012

Точечный прогноз,

x = 1094:

y = 0,000403*10942 -0,98*1094 + 1041,59 = 447,76

K1 = 3.012 • 80.56 1 + 1;16 + 316+2 • 1-12;16162 - 1 = 273.99

Доверительный интервал прогноза

447,76 – 273,99 = 173,77 ;

447,76 + 273,99 = 721,75

Контрольное задание 2

Задача 19

Имеются данные 12 месяцев по 5 районам города о рынке вторичного жилья, (у – стоимость квартиры,тыс.у.е., х1 – размер жилой площади, м2, х2 – размер кухни, м2)

месяцы	Задача 19
месяцы	у	х1	х2
1	22,5	37,2	7,6
2	25,5	58,0	9,4
3	19,2	60,2	9,5
4	13,6	52,0	8,1
5	25,4	44,6	7,4
6	17,8	31,2	6,3
7	18,0	26,4	5,9
8	21,1	20,7	5,5
9	16,5	22,4	5,7
10	23,0	35,4	6,8
11	16,2	28,4	6,5
12	17,2	22,7	6,0

Задание:

Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.
Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.
Оцените статистическую значимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01)
Рассчитайте среднюю ошибку апроксимации. Сделайте вывод.
Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и отберите информативные факторы.
Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической таблице.

Решение:

В предложении линейной зависимости, будем искать уравнение в виде . Для нахождения параметров уравнения регрессии составим расчетную таблицу, в предпоследней строке которой стоит сумма элементов соответствующего столба, а в последнем – среднее значение.

месяцы	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2	x12	x22	y2
1	22,5	37,2	7,6	837,0	171,0	282,7	1383,8	57,8	506,3
2	25,5	58,0	9,4	1479,0	239,7	545,2	3364,0	88,4	650,3
3	19,2	60,2	9,5	1155,8	182,4	571,9	3624,0	90,3	368,6
4	13,6	52,0	8,1	707,2	110,2	421,2	2704,0	65,6	185,0
5	25,4	44,6	7,4	1132,8	188,0	330,0	1989,2	54,8	645,2
6	17,8	31,2	6,3	555,4	112,1	196,6	973,4	39,7	316,8
7	18,0	26,4	5,9	475,2	106,2	155,8	697,0	34,8	324,0
8	21,1	20,7	5,5	436,8	116,1	113,9	428,5	30,3	445,2
9	16,5	22,4	5,7	369,6	94,1	127,7	501,8	32,5	272,3
10	23,0	35,4	6,8	814,2	156,4	240,7	1253,2	46,2	529,0
11	16,2	28,4	6,5	460,1	105,3	184,6	806,6	42,3	262,4
12	17,2	22,7	6,0	390,4	103,2	136,2	515,3	36,0	295,8
сумма	236,0	439,2	84,7	8813,5	1684,6	3306,4	18240,7	618,5	4800,8
ср.знач.	19,7	36,6	7,1	734,5	140,4	275,5	1520,1	51,5	400,1
σ	3,65	13,43	1,31
σ2	13,29	180,50	1,72

Расчеты приведены ниже:

Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

где

-стандартизованные переменные;

Стандартизованные коэффициенты регрессии ( -коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

При эта система принимает вид:

Связь коэффициентов множественной регрессии со стандартизованными коэффициентам описывается соотношением

Параметр определяется так:

;

b1=-0,44*3,65/13,43=-0,12

b2 = 0,76*3,65/1,31 = 2,11

Уравнение регрессии примет вид:

2) Для характеристики относительной силы влияния и на рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

;

Частный коэффициент эластичности |Э1| < 1, |Э2| < 1. Следовательно, их влияние на результативный признак y незначительно.

С увеличением размера жилой площади на 1 % от ее среднего уровня стоимость квартиры упадет на 0,22% от своего среднего уровня; при повышении размера кухни на 1 % от его среднего уровня стоимость квартиры повысится на 0,76% от своего среднего уровня.

3. Линейные коэффициенты частной корреляции рассчитываются по рекуррентной формуле:

При получаем:

;

Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как очищают парную зависимость от взаимодействия данной пары признаков с другими признаками, представленным в модели.

В рассматриваемой задаче межфакторная связь очень сильная

выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают:

-связь между и слабая;

-связь между и сильная, прямая.

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов и :

R2= 0,342 = 0,12

Связь между признаками не сильная.

4) Средняя ошибка аппроксимации

Несмещенная ошибка (абсолютная ошибка аппроксимации)

y			ε2		\|ε : y\|
22.5	20.74	1.76	3.1	8.03	0.0782
25.5	22.04	3.46	11.94	34.03	0.14
19.2	21.99	-2.79	7.79	0.22	0.15
13.6	20.02	-6.42	41.18	36.8	0.47
25.4	19.43	5.97	35.68	32.87	0.24
17.8	18.71	-0.91	0.83	3.48	0.0513
18	18.44	-0.44	0.2	2.78	0.0247
21.1	18.28	2.82	7.93	2.05	0.13
16.5	18.5	-2	4.01	10.03	0.12
23	19.26	3.74	13.95	11.11	0.16
16.2	19.47	-3.27	10.71	12.02	0.2
17.2	19.1	-1.9	3.61	6.08	0.11
		0	140.93	159.51	1.87

A = 15,58%

4) t-статистика

Tтабл (n-m-1;α/2) = (9;0,005) = 3,25

ti = bi;Sbi

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0:

Sb0 = 55.38 = 7.44

t0 = 9.14;7.44 = 1.23<3.25

Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 не подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1:

Sb1 = 0.0393 = 0.2

t1 = -0.12;0.2 = 0.61<3.25

Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 не подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2:

Sb2 = 4.13 = 2.03

t2 = 2.11;2.03 = 1.04<3.25

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 не подтверждается.

Общий F-критерий проверяет гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи:

Определяем по таблице значений F-критерия Фишера

Поскольку фактическое значение Fфакт < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим и уравнение регрессии статистически ненадежно. Гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик неотклоняется и с вероятностью делаем заключение о статистической незначимости уравнения в целом и показателя тесноты связи, которые сформировались под воздействием факторов и .

Частные F-критерии - и оценивают статистическую значимость присутствия факторов и в уравнении множественной регрессии. оценивает, насколько целесообразно включение в уравнение регрессии фактора после фактора , а указывает целесообразность включения в уравнение регрессии фактора после фактора .

Определим наблюдаемое значение частного F-критерия:

Fтабл(k1=1;k2=9) = 10,56

Так как

то гипотезу о несущественности прироста за счет включения дополнительного фактора принимаем, и приходим к выводу о статистически подтвержденной нецелесообразности включения в уравнение регрессии фактора после фактора .

Проведенные выше исследования показывают, что в данном примере парная регрессионная модель зависимости стоимости квартиры от размера жилой площади и размера кухни не значима.

Контрольное задание 3

Задача 29

Модель имеет вид

Y1=b12y2+a11x1+a12x2+ɛ1

Y2=b21y1+b23y3+a22x2+ɛ2

Y3=b31y1+a31x1+a33x3+ɛ3

Задание:

Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.
Определить тип модели
Определить метод оценки параметров модели
Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.
Результаты оформить в виде пояснительной записки.

Модель включает три эндогенные переменные ( , , ) и три предопределенные переменные (экзогенные , , ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

1 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и две предопределенные (x1и x2).

Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1+1=2.

Уравнение идентифицировано.

2 уравнение.

Это уравнение включает три эндогенные переменные ( , , ) и одну предопределенную ( ).

Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3.

Уравнение идентифицировано.

3 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и две предопределенные ( и ).

Уравнение идентифицировано.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:


1 уравнение	-1	1	0		а12	0
2 уравнение		-1		0		0
3 уравнение	b31	0	0		0

1 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Определитель матрицы

а ранг матрицы

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один.

Следовательно, для первого уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

2 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Определитель матрицы

а ранг матрицы

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один.

Следовательно, для второго уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

3 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Определитель матрицы

а ранг матрицы

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один.

Следовательно, для третьего уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

Все уравнения системы точно идентифицируемы, следовательно, система в целом точно идентифицируема, для оценки ее параметров может быть применен косвенный метод наименьших квадратов.
Запишем приведенную форму модели в общем виде:

Контрольное задание 4

Задача 39

Имеются данные за 12 лет по 5 странам о годовом объеме продаж автомобилей.

Год Объем продаж 100 тыс.	Задача 39
Год Объем продаж 100 тыс.	Страна Д
1986	2,8
1987	3,6
1988	2,7
1989	2,0
1990	1,8
1991	1,4
1992	2,1
1993	2,5
1994	2,1
1995	3,0
1996	3,7
1997	3,1

Контрольная работа по Эконометрике. 95 📙 Контрольная → 🆔 77332