Контрольная работа по "Эконометрике". 98

 

Федеральное государственное  образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Финансовый университет 

при правительстве  Российской Федерации

 Барнаульский  филиал 

 

 

Факультет финансово-кредитный

 

Направление «Экономика»

 

Кафедра Математики и информатики

 

 

 

Контрольная работа

Вариант №4

 

 

По дисциплине  «Эконометрика»

 

 

 

 

 

 

Студент____________                              Стренина Наталья Александровна

                           (подпись)

 

 

Группа 3БЭп-3                                           Номер личного дела   11ФЛД40934

 

 

 

Преподаватель  к.ф-м.н., доцент, Копылов Юрий Николаевич                                        

 

 

 

 

Барнаул 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Задача 1. Экономическое  моделирование стоимости квартир  в Московской области 3

Задача 2. Исследовать  динамику экономического показателя на основе анализа одномерного ряда 16

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Экономическое моделирование  стоимости квартир в Московской области

 

Исходные данные:

Y – цены на квартиры, тыс.долл.; X₁ – город области (1- Подольск, 0- Люберцы); X₂ – число комнат в квартире; X₄ – жилая площадь квартиры, кв.м.

Таблица 1.1 

номер наблюдения	Y	X1	X2	X4
41	38	1	1	19
42	62,2	1	2	36
43	125	0	3	41
44	61,1	1	2	34,8
45	67	0	1	18,7
46	93	0	2	27,7
47	118	1	3	59
48	132	0	3	44
49	92,5	0	3	56
50	105	1	4	47
51	42	1	1	18
52	125	1	3	44
53	170	0	4	56
54	38	0	1	16
55	130,5	0	4	66
56	85	0	2	34
57	98	0	4	43
58	128	0	4	59,2
59	85	0	3	50
60	160	1	3	42
61	60	0	1	20
62	41	1	1	14
63	90	1	4	47
64	83	0	4	49,5
65	45	0	1	18,9
66	39	0	1	18
67	86,9	0	3	58,7
68	40	0	1	22
69	80	0	2	40
70	227	0	4	91
71	235	0	4	90
72	40	1	1	15
73	67	1	1	18,5
74	123	1	4	55
75	100	0	3	37
76	105	1	3	48
77	70,3	1	2	34,8
78	82	1	3	48
79	280	1	4	85
80	200	1	4	60

 

Задания:

1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции Y с X.
2. Построить поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
3. Рассчитать параметры линейной парной регрессии для факторам Х, наиболее тесно связанного с Y.
4. Оценить качества модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F- критерий Фишера.
5. По модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составить 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения, точки прогноза.
6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построить модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7. Оценить качество построенной модели. Улучшилось ли качество качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β и ∆-коэффициентов.

Решение:

1. Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции; и оценим статистическую значимость коэффициентов корреляции Y с X.

Для того что бы рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции   воспользуемся средствами табличного процессора Microsoft Excel и применим к данным из Таблицы 1.2 обработку Сервис/ Анализ данных/ Корреляция, мы получим набор коэффициентов парной корреляции:

Таблица 1.2

	Y	X1	X2	X4
Y	1
X1	-0,011	1
X2	0,751	-0,034	1
X4	0,874	-0,080	0,869	1

 

Проверим коэффициенты парной корреляции на  мультиколлениарность.

Для Х₁, Х₂:

- выполняется,

  - не выполняется,

  - выполняется.

Так как, одно из условия  не выполняется, следовательно, факторы Х₁ (город области) и Х₂ (число комнат в квартире) мультиколлениарны, то есть не рекомендуется использовать их в модели одновременно. Поскольку , то фактор Х₂ теснее связан с исследуемой переменной Y (цены на квартиры), чем фактор Х₁. Поэтому исключить из рассмотрения следует фактор Х₁.

Для Х₁, Х₄:

- выполняется,

  - не выполняется, 

  - выполняется.

Так как, одно из условия  не выполняется, следовательно, факторы Х₁ (город области) и Х₄ (жилая площадь квартиры) мультиколлениарны, то есть не рекомендуется использовать их в модели одновременно. Поскольку , то фактор Х₄ теснее связан с исследуемой переменной Y (цены на квартиры), чем фактор Х₁. Поэтому исключить из рассмотрения следует фактор Х₁.

Для Х₂, Х₄:

- не выполняется,

  -  не выполняется,

  -  не выполняется.

Ни одно из условий не выполняется, следовательно, факторы  Х₂ (число комнат в квартире) и Х₄ (жилая площадь квартиры) мультиколлениарны, то есть не рекомендуется использовать их в модели одновременно. Поскольку , то фактор Х₄ теснее связан с исследуемой переменной Y (цены на квартиры), чем фактор Х₂. Поэтому исключить из рассмотрения следует фактор Х₂.

Для оценки статистической значимости коэффициентов корреляции используем t-критерий Стьдента. Для этого рассчитаем t-критерий Стьюдента для каждого коэффициента. Их можно увидеть в 3-й таблице Регрессии (Microsoft Excel/Сервис/ Анализ данных/ Регрессия). Чтобы рассчитать t-критическое воспользуемся функцией Microsoft Excel СТЬЮДРАСПОБР.

 Таким образом, t-кр. = 1,688, теперь сравним t-кр. с t-статистикой каждого фактора:

 

X₁ – город области: t-ст.=0,747 < t-кр, следовательно, фактор считается не значимым, то есть разница в стоимости квартиры не существенна с вероятностью 0,9;

X₂ – число комнат в квартире: t-ст.= -0,255 < t-кр, следовательно, фактор считается не значимым, то есть разница в стоимости квартиры не существенна с вероятностью 0,9;

X₄ – жилая площадь квартиры: t-ст.= 5,616 > t-кр, следовательно, фактор считается значимым, то есть разница в стоимости квартиры существенна с вероятностью 0,9.

Таким образом, исходя из выше изложенного, статистически более важным для результативного фактора Y (цены на квартиры) является фактор Х₄ (жилая площадь квартиры).

2. Построим поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.

Так как мы выяснили, что  наиболее тесно связанным с результативным признаком является фактор Х₄, то поле корреляции будем строить по нему.

Для построения поля корреляции воспользуемся «Мастером диаграмм»  в  Microsoft Excel. Выберем «Точечную» диаграмму, по одной из осей отложим значения наиболее тесно связанного фактора с результативным признаком, а по другой сам признак.

Рис.1.1 Поле корреляции

3. Рассчитаем параметры линейной парной регрессии для фактора Х, который наиболее тесно связан с Y.

Исходя из 1-го задания  наиболее тесно связанный с Y, является фактор Х₄.

Для построения линейной парной модели воспользуемся инструментом «Регрессия» в пакете «Анализ  данных» в Microsoft Excel. В диалоговом окне «Регрессии» входной интервал Y вводим адрес одного диапазона ячеек результативного признака, в поле входной интервал Х вводим адрес одного диапазона ячеек фактора Х₄.

Итак, как мы видим из итогов «Регрессии» коэффициенты уравнения  равны: а= -2,86, b= 2,48. И уравнение будет выглядеть следующим образом: y=-2,86+2,48*x. В этом уравнении а – постоянная величина (или свободный член уравнения), и не имеет реального смысла; т.к. b > 0, значит Y и Х₄ положительно коррелированы, это значит, что при увеличение жилой площади квартиры на 1 м² цены на квартиры с среднем увеличатся на 2,48 тыс. долларов.

Рис.1.2 Вывод итогов «Регрессии»

4. Оценим качества модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F- критерий Фишера.

Коэффициент детерминации – R²:

 

Мы можем увидеть в 1-й таблице вывода итогов «Регрессии», он равен 0,7639. Таким образом, вариация цены квартиры Y на 76,39% объясняется по уравнению y=-2,86+2,48*x изменением жилой площади квартиры (Х₄).

Средняя относительная ошибка аппроксимации - Е_отн.ср.: Для ее вычисления рассмотрим остатки модели, содержащиеся в столбце «остатки» «вывода остатков» таблице «Регрессии». Дополним таблицу столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS в Excel.

Рис.1.3 Вывод остатков «Регрессии»

По столбцу относительных  погрешностей найдем среднее значение с помощью функции СРЗНАЧ в Excel. Е_отн.ср. = 21,56%. Т.к. Е_отн.ср. > 15%, следовательно, точность модели считается удовлетворительной.

F-критерий Фишера: Он используется для оценки значимости уравнения регрессии. Расчётное значение F-критерия можно увидеть в таблице «Регрессии» дисперсионный анализ.

Рис.1.4 Дисперсионный анализ «Регрессии»

С помощью функции FРАСПОБР в Excel. Т.к. Fрас. = 122,95 > Fкр. = 2,84, следовательно, уравнение модели является значимым.

5. По модели осуществим прогнозирование среднего значения показателя  Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составить 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения, точки прогноза.

С помощью функции МАКС в Excel найдем Х_мах= 91. Т.к. прогнозное Х составляет  80% от Х_мах, то Х_прог. = 91*80%= 72,8. Теперь найдем прогнозное значение Y. Y_прог.=-2,86+2,48*Х=-2,86+2,48*72,8=177,684. Таким образом, если жилая площадь квартиры составит 72,8 м², то ожидаема цена квартиры будет составлять 177,684 тыс. долларов.

Зададим доверительную вероятность  р=1- α=1-0,1=0,9 и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y. Предварительно подготовим:

- стандартная ошибка (из  таблице «Регрессии») = 28,2;

- по столбцу Х₄ найдем среднее значение с помощью функции СРЗНАЧ в Excel, Х_ср. = 42,045, и сумму квадратов разности между Х_i и Х_ср с функции КВАДРОТКЛ в Excel, которая равна 15950,819.

 

- t-критическое, для его расчета воспользуемся функцией Microsoft Excel СТЬЮДРАСПОБР. t_кр.=1,686

- размах прогнозного интервала:  , L=28,2*1,686*1,041=49,49. Границы прогнозного интервала: верхние = Y_прог +L =177,684 +49,49 = 227,174; нижние = Y_прог – L=177,684-49,49 = 128,194. 

Таким образом, с вероятностью 90% можно утверждать, что если жилая  площадь квартиры будет составлять 80% от максимальной и составит 72,8 м₂,  то ожидаема средняя цена на квартиру будет находиться в границах от 128,194 тыс. долларов до 227,174 тыс. долларов.

Для построения графика используем «Мастер диаграмм» в Excel покажем исходные данные (поле корреляции). Затем с помощью опции «добавить линию тренда» построим линию модели и покажем на графике прогнозные значения. 

    

Рис.1.5 Прогнозные значения

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построим модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

Методом исключения построим трехфакторную модель в качестве «входного интервала Х» укажем Х₁,Х₂,Х₄. С помощью инструмента «Регрессия» получим:

.

Оценим значимость модели с помощью критерия Стьюдента. t-критическое найдем с помощью Excel (=СТЬЮДРАСПОБР(0,1;40-3-1)), и так t_кр. = 1,688. Сравним по модулю t_кр. с t_стат., получается, что t_стат. Х₁и t_стат.  Х₂ меньше t_кр., следовательно, коэффициенты регрессии не значимы, исключаем из модели коэффициент Х₂ с наименьшей по модулю t-статистикой.

Построим новую модель с  Y,X₁,X₄ аналогично и получим:

Оценим значимость модели с помощью критерия Стьюдента. t-критическое найдем с помощью Excel (=СТЬЮДРАСПОБР(0,1;40-2-1)), и так t_кр. = 1,687. Сравним по модулю t_кр. с t_стат., получается, что t_стат. Х₁ меньше t_кр., следовательно, коэффициент регрессии не значим, и мы его исключаем из модели.

Построим новую модель с  Y,X₄ аналогично и получим:

Оценим значимость модели с помощью критерия Стьюдента. t-критическое найдем с помощью Excel (=СТЬЮДРАСПОБР(0,1;40-1-1)), и так t_кр. = 1,687. Сравним по модулю t_кр. с t_стат., получается, что t_стат. Х₄ больше t_кр., следовательно, коэффициент регрессии значим. И у нас получается однофакторная модель, зависимости цены квартиры от жилой площади с уравнением регрессии вида: y=-2,86+2,48*x.

7. Оценим качество построенной модели. Улучшилось ли качество качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β и ∆-коэффициентов.

Оценка модели была сделана в 4-м пункте данной задачи,  улучшилось ли качество качество модели ответить нельзя, т.к. у нас получилась та же однофакторная модель. 

Рассчитаем коэффициент  эластичности:

С помощью функции СРЗНАЧ в Excel рассчитаем Хср. =42,045 и Yср. = 101,2375; значение а возьмём из 3-й таблице «Регрессии» а = 2,476

Э = 2,476*(42,045/101,2375) = 1,028, что означает, что при увеличение жилой площади на 1% цена на квартиру изменится на 102,8% с вероятностью 0,95.

Рассчитаем β-коэффициент:                                  

                                                      , что бы рассчитать S_x  и S_y нужно                                     рассчитать суммы (х_i-x_ср.)² и (у_i-у_ср.)² подготовим их с помощью функции КВАДРОТКЛ в Excel. Итак ∑(х_i-x_ср.)² =15950,82 и ∑ (у_i-у_ср.)² = 128009; n = 40, следовательно S_x = 20,22 и S_y = 57,29. β=2,476*(20,22/57,29) = 0,874 

Данный коэффициент показывает, что при увеличение жилой площади квартиры на 1 свое среднеквадратическое отклонение, цена на квартиры в среднем изменится на 50,07%(0,874*57,29) с вероятностью 0,95.

Рассчитаем ∆-коэффициент:                         , коэффициент парной корреляции с помощью инструмента Excel «Корреляция»:

  

r(x_j,y) = 0,874, β=0,874, R² найдем из таблице регрессионная статистика «Регрессии» и R²=0,764. ∆ = 0,874*(0,874/0,764) = 1. Это значит, что доля влияния жилой площади квартиры на цену составляет 100%.

Задача 2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного ряда

 

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (мил.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

Таблица 2.1

Требуется:

1.проверить наличие аномальных наблюдений;

2.построить линейную модель  , параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3.оценить адекватность  модели, используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  и соответствия нормальному закону  распределения (при использовании  R/S критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7);

4.оценить точность на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации;

5.осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%;

6.фактическое значение  показателя, результаты моделирования  и прогнозирования предоставить  графически.

Вычисления провести с  одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений предоставить в таблицах (при  использовании компьютера предоставить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1.Проверим наличие аномальных  наблюдений.

Используем метод Ирвена, основанный на определении λ_t-статистик по формуле: λ_t=|(у_t-у_t-1)/S_y|, где S_y – выборочное среднее квадротическое (стандартное) отклонение признака Y. Подготовим: S_y = 7,42 (используем функцию СТАНДОТКЛОНА в Excel). Для каждого наблюдения рассчитаем λ_t-статистики и запишем в таблицу 2.2:

Таблица 2.2

 

 Критические значения λ_кр приведены в таблице критических значений критерия Ирвена λ. При n=9 и уровне значимости α=5% можно использовать λ_кр=1,5.

Схема проверки:  от 0 до λ_кр – не аномальный, от  λ_кр до λ – аномальный, так как у нас все значения λ_t меньше λ_кр, следовательно наш ряд является не аномальным.

2.Построим модель временного  ряда  . Для оценки параметров модели используем метод наименьших квадратов.

  ;  

где - средние значения, соответственно, моментов наблюдений и результатов наблюдений.

Коэффициенты а₀, а₁ найдем с помощью Excel: Данные/Анализ данных/РЕГРЕССИЯ. В качестве «входного интервала Х» покажем значения фактора времени t, а в качестве «входного интервалаY» - значения Y_t. Коэффициенты модели находятся в 3-й таблице «Регрессии»

  , таким образом       а₀=25,72, а₁=2,63.

Модель построена и  ее уравнение имеет вид:          

Коэффициент регрессии а₁=2,63 показывает, что с каждой неделей спрос на кредитные ресурсы увеличивается в среднем на 2,63 млн.рублей.

3.1 Оценим адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

Рассмотрим построенную  модель  . Проверка указанных свойств состоит в исследовании ряда остатков е_t, который содержится в таблице «Вывод остатка» итогов «Регрессии».

Таблица 2.3

Для проверки свойства независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона. Согласно этому критерию вычислим по формуле статистики: . Для вычисления подготовим:

1. ∑(ɛ_t - ɛ_t-1)² = 56,94 (в Еxcel функция СУММКВРАЗН);
2. ∑ɛ_t² =  24,82 (в Еxcel функция СУММКВ).

d = 56,94/24,82 = 2,29 По таблице d-статистик Дарбина-Уотсона определим критические уровни: нижний d₁ = 0,82 и верхний d₂ = 1,32. Сравним помученную фактическую величину d c критическими уровнями d₁ и d₂ и сделаем вывод. Так как 2<d=2,29<4, то d нужно заменить на d`, который будет равен d`=4-2,29=1,71. Таким образом, d2=1,32<d`=1,71<2, следовательно свойство случайности для ряда остатков выполняется.

3.2 Для проверки свойств  случайности остаточной компоненты  используем критерий поворотных  точек (пиков). С помощью «Мастера  Диаграмм»  в Excel построим график остатков ɛ_t:

 

Рис.2.1 График остатков

Поворотными точками считаются  max и min на данном графике это 2,5,7,8 точки, и всего их р=4. По формуле: , при n=9 вычислим критическое значение =[2,45]=2. Сравним значения р и р_кр и сделаем вывод. р=4 > р_кр=2, следовательно, свойство случайности ряда остатков выполняется.

3.3 Для проверки соответствия  ряда остатков нормальному закону  распределения используем R/S критерий,  при этом табулированные границы 2,7 – 3,7.

В соответствии с этим критерием  вычислим по формуле статистику:  . Подготовим для вычислений: ɛ_max= 2,2 - максимальный уровень ряда остатков (в Еxcel функция МАКС); ɛ_min= -3 - минимальны уровень ряда остатков (в Еxcel функция МИН); S_ɛ=1,9 – стандартная ошибка модели (таблица «Регрессионная статистика» вывода итогов «Регрессии»).

Получим =2,74, по таблице критических границ отношения R/S определим критический интервал. При n=9 можно использовать (2,7; 3,7). Сопоставим фактическую величину R/S с критическим интервалом и сделаем вывод: 2,74 ϵ (2,7; 3,7), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Таблица 2.4

Проведенная проверка показывает, что для линейной модели выполняются все свойства. Таким образом, данная трендовая модель является адекватной реальному ряду наблюдений, ее можно использовать для построения прогнозных оценок.

3.Оценим точность на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации  модели рассмотрим ряд остатков ɛ_t. Дополним таблицу «Вывод остатка» «Регрессии» столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле Е_отн =|ɛ_t/Y_t|*100 с помощью функции Excel ABS.

Таблица 2.5

Найдем среднее значение по столбцу относительные погрешности  с помощью функции Excel СРЗНАЧ, и так Е_отн.ср.=3,7%. Так как E_отн.ср. меньше 5%, следовательно, модель имеет высокую точность.

5. Осуществим прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитаем при доверительной вероятности р=70%.

«Следующие 2 недели» соответствуют  периодам упреждения k₁= 1 и k₂=2, при этом t`<sub>1</sub> = n+k<sub>1</sub>=9+1=10 и  t`₂=n+k₂=9+2=11.

Согласно уравнению модели , получим точечные прогнозные оценки: 52,02 и 54,65. Таким образом, согласно модели ожидаемые спрос на кредитные ресурсы в следующие 2 недели будут составлять около 52,02 млн. рублей и 54,65 млн. рублей соответственно.

Для оценки точности прогнозирования  рассчитаем границы прогнозных интервалов для индивидуальных значений результирующего признака (доверительная вероятность р=70%). Для этого подготовим:

t_кр.=1,12 (функция СТЬЮДРАСПРОБР в Excel при α=0,3, k=9-2=7);

S_ст = 1,9 (строка «стандартная ошибка» итогов «Регрессии»);

t_ср. =5 (функция СРЗНАЧ в Excel); ∑(t - t_ср.)² = 60 (функция КВАДРОТКЛ).

Вычислим размах прогнозного  интервала для индивидуальных значений, используя формулу:

При t`₁= 10 получим = 2,63 и определим границы доверительного интервала: L_{ниж 10}= - L₁₀= 52,02-2,63=49,39; L_{верх 10}= + L₁₀= 52,02+2,63=54,65.

При t`₂= 11 получим = 2,78 и определим границы доверительного интервала: L_{ниж 11}= - L₁₁= 54,65-2,78=51,87; L_{верх 11}= + L₁₁= 54,65+2,63=57,43.

Таким образом, с надежностью 70% можно утверждать, что спрос  на кредитные ресурсы в следующем (10-ом) году будут составлять от 49,39 млн. рублей до 54,65 млн. рублей, а через  год (в 13-ом году) – от 51,87 млн. рублей до 57,43 млн. рублей.

6. Фактическое значение показателя, результаты моделирования и прогнозирования предоставим графически.

Для графического отображения  результатов моделирования и  прогнозирования с помощью линейной модели используя Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные. Затем с помощью опции Добавить линию тренда построим линию модели и отобразим ее на графике. Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:

Имя – прогноз, значения Х – t`<sub>1</sub>  t`₂; значения Y - и ;

Имя – нижние границы, значения Х – t`<sub>1</sub>  t`₂; значения Y– L_ниж10 и L_ниж11;

Имя –верхние границы, значения Х– t`<sub>1</sub>  t`₂; значения Y– L_верх10 и L_верх11;

Рис. 2.2 Результаты моделирования  и прогнозирования

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Эконометрика: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика,2002. – 344с.
2. Практикум по эконометрики: Учеб.пособие/ И.И. Елисеева, С.В. Курешева, Н.М. Гордеенко и др.; под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 202. – 192с.