Контрольная работа по "Эконометрике". 97

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

Задание 1……………………………………………………………………3

Задание 2……………………………………………………………………5

Задание 3……………………………………………………………………7

Задание 4…………………………………………………………………..12

Список литературы……………………………………………………….16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1.

Группа предприятий выпускает  один и тот же вид продукции. Построить  уравнение линейной регрессии функции издержек , где х – количество продукции в тыс. ед. (2 столбец табл.1), у – затраты на производство в млн. руб. (3 столбец). Провести анализ адекватности полученного уравнения. Сделать прогноз затрат при х_прог=7,7 тыс.ед.

Решение.

Необходимые расчеты сведены  в таблицу 1.

Таблица 1.

№	xj	yj	xjyj	xj2	yj2	j
1 2 3 4 5 6 7	1,7 2,7 4,7 3,7 5,7 3,7 4,7	37 77 157 107 177 107 157	62,9 207,9 737,9 395,9 1008,9 395,9 737,9	2,89 7,29 22,09 13,69 32,49 13,69 22,09	1369 5029 24649 11449 31329 11449 24649	38,15 75,24 148,5 111,87 185,13 111,87 148,5	0,031 0,022 0,054 0,046 0,046 0,046 0,054
Итого	26,7	819	3547,3	114,23	110823	819,26	0,299
Сред.знач.	3,84	117	506,76	16,32	15831,86		0,043

 

Система уравнений  МНК имеет вид

 

 

Ее решение а=-23,66, b=36,63

Уравнение линейной регрессии  . С помощью этого уравнения находим теоретическое значение _j (7 столбец).

,

.

Коэффициент корелляции

связь линейная.

Оценку значимости всего уравнения проводим по критерию Фишера (n=7)

 

F_крит.(1;5;0,05)=6,61

Поскольку F_набл.>F_крит., то уравнение значимо.

Ошибка аппроксимации

А=0,046×100%=4,6%<7%.

Модель хорошо описывает опытные данные. Зная уравнение  регрессии можно осуществить  точечный прогноз. Для предприятия  планирующего выпустить 7,7 тыс. ед. продукции  ожидаемые затраты составят

По результатам  выборки построим диаграмму рассеивания и уравнение линейной регрессии (рис. 1)

Рис. 1

Задание №2.

В таблице 2 приведены  доля расходов на товары длительного  пользования (y_j - % столбец 2) в общих расходах семьи от дохода семьи (x_j тыс. руб. столбец 1). Подобрать уравнение регрессии, провести анализ его адекватности данным наблюдения и сделать прогноз.

Решение.

Таблица 2.

xj	yj	zj	yjzj	zj2	yj2	j
1,7 2,7 3,7 4,7 5,7 6,7	10,7 14,1 16,1 17,2 19,3 19,8	0,531 0,993 1,308 1,548 1,74 1,902	5,682 14,001 21,059 26,626 22,582 37,66	0,282 0,986 1,711 2,4 3,028 3,618	114,49 198,81 259,21 295,84 372,49 392,04	15,12 15,74 16,17 16,49 16,74 17,01	0,42 0,12 0,004 0,041 0,133 0,141
Итого	97,2	8,022	127,61	12,025	1636,25		0,859
Сред.знач.	16,2	1,337	21,268	2,004	272,708		0,143

 

По данным наблюдения построим диаграмму рассеивания (рис.2)

Рис. 2

Из построенного рисунка видно, что связь у от х нелинейная, поэтому в качестве парной регрессии используем логарифмическую кривую

.

Введем новую переменную .

Расчеты сведем в таблицу 2.

Система МНК 

Подставляя найденные  средние величины

             

 

Находим a=14,41, b=1,34

Уравнение регрессии  

Для данной регрессии  индекс регрессии R_xy совпадает с коэффициентом корреляции r_xy.

где

 ,

Проверка значимости уравнения регрессии по критерию Фишера:

 

(m – число параметров при х, m=1)

F_набл=469, F_крит(1,4;0;0,5)=7,71

Так как F_набл>F_крит, то уравнение значимо. Средняя ошибка аппроксимации А=1,3%.

Точечный прогноз  при х=7,7

 

По теоретическим  значениям построим кривую  (рис. 2).

Задание №3.

 Даны объемы потребления электроэнергии Y (млн. кВт. час, табл. 3) жителями района за 4 года (16 кварталов). Построить эконометрическую модель временного ряда и осуществить с помощью нее прогноз потребления электроэнергии на 17-18 кварталы.

Решение.

По результатам выборочных данных построим график (рис. 3). Анализ графика показывает, что имеет место сезонная составляющая с периодом m=4 и приблизительно одинаковой амплитудой циклов. Значит использование аддитивной модели оправдано.

рис. 3

I этап. Расчет сезонной компоненты S методом скользящей средней. Расчет оценок S осуществляем по шагам, заполняя каждый раз Таблицу 3.

1. Просуммируем данные за каждые 4 квартала (т.к. m=4) со сдвигом на один шаг по времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (столбец 3);
2. Разделим полученные значения на 4 (осредним), получим выровненные значения, которые не содержат сезонной компоненты (столбец 4);
3. Приведем эти значения к фактическому моменту времени, для этого найдем среднее значение двух соседних скользящих средних – центрированная скользящая средняя (столбец 5);
4. Найдем оценки сезонной компоненты S как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними;
5. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем среднее значение оценок S_i по кварталам. Расчеты сведем в Таблицу 4.

 

 

 

Таблица 3.

t	Потребление электроэнергии yj	Итого за 4 квартала	Скользящая  средняя за 4 квартала	Центриров. Si	Оценка Si
1	2	3	4	5	6
1	7,4			-	-
2	5,8			-	-
3	6,4	30	7,5	7,525	-1,125
4	10,4	31,2	7,8	7,85	2,55
5	8,6	31,6	7,9	8,025	0,575
6	6,2	32,6	8,15	8,275	-2,075
7	7,4	33,6	8,4	8,525	-1,125
8	11,4	34,6	865	8,775	2,625
9	9,6	35,6	8,9	8,975	0,625
10	7,2	36,2	9,05	9,2	-2
11	8,0	37,4	9,35	9,475	-1,475
12	12,6	38,4	9,6	9,725	2,875
13	10,6	39,4	9,85	9,925	0,675
14	8,2	40	10	9,975	-1,775
15	8,6	39,8	9,95	-	-
16	12,4			-	-

 

 

Таблица 4.

	Год	Iкв.	IIкв.	IIIкв.	IVкв.
	1	-	-	-1,125	2,550
	2	0,575	-2,075	-1,125	2,625
	3	0,625	-2,000	-1,475	2,875
	4	0,675	-1,775	-	-
Итого		1,875	-5,850	-3,725	7,75
Средняя		0,625	-1,95	-1,242	2,583
Сезонная Si		0,621	-1,954	-1,246	2,579

 

В моделях с сезонной компонентой  предполагается, что сезонные воздействия  за период m=4 взаимопогашаются. В аддитивной модели это означает, что

 

.

В нашем случае

0,625-1,95-1,242+2,583=0,016

чтобы устранить  эту погрешность, вводится корректирующий коэффициент k:

 ,

тогда скорректированные S_i= -k

S₁=0,621, S₂ =-1,954, S₃ =-1,246, S₄ =2,579 являются значениями сезонной компоненты по кварталам, при этом  

II этап. Построение линии регрессии для величины T + E = Y – S.

Аналитическое выравнивание трендовой составляющей  Т ≈ Т + Е будем осуществлять по шагам, заполняя каждый раз таблицу 5.

Таблица 5.

ti	Yi	Si	T +E = Yi - Si				E2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	7,4	0,621	6,779	7,24	7,861	-0,461	0,2125	1,96
2	5,8	-1,954	7,754	7,448	5,494	0,306	0,0936	9
3	6,4	-1,246	7,646	7,656	6,41	-0,01	0,0001	5,76
4	10,4	2,579	7,821	7,864	10,443	-0,043	0,0018	2,56
5	8,6	0,621	7,979	8,072	8,693	-0,093	0,0085	0,04
6	6,2	-1,954	8,154	8,28	6,326	-0,126	0,0159	6,76
7	7,4	-1,246	8,646	8,488	7,242	0,158	0,025	1,96
8	11,4	2,579	8,821	8,696	11,275	0,125	0,0156	6,76
9	9,6	0,621	8,979	8,904	9,525	0,075	0,0056	0,64
10	7,2	-1,954	9,154	9,112	7,158	0,042	0,0018	2,56
11	8,0	-1,246	9,246	9,32	8,074	-0,074	0,0055	0,64
12	12,6	2,579	10,021	9,528	12,107	0,493	0,243	14,44
13	10,6	0,621	9,979	9,736	10,357	0,243	0,059	3,24
14	8,2	-1,954	10,154	9,944	7,99	0,21	0,0441	0,36
15	8,6	-1,246	9,846	10,152	8,906	-0,306	0,0936	0,04
16	12,4	2,579	9,821	10,36	12,939	-0,539	0,2905	12,96
∑	140,8						0,9036	69,68

 

1. Вычтем значение сезонной компоненты S_j из соответствующего уровня ряда y_j

T_j ≈ Y_j - S_j  (столбец 4)

2. Построим уравнение линейной регрессии для составляющей Т

Т = a+b+t.

Выбор уравнения линейной регрессии объясняется диаграммой рассеивания величины Tj .

Параметры a, b определяются МНК:

 0,208

 7,032

Окончательно  Т=7,032+0,208∙t

3.По найденному  уравнению рассчитываем теоретические  значения  . (Столбец 5) .

4. Находим теоретические значения потребления электроэнергии по кварталам (столбец 6).

                                                   

_{III этап. Расчет ошибок аддитивной модели.}

1. _{По каждому уровню рассчитываем абсолютную ошибку (столбец 7)}

2. Находим остаточную  дисперсию (столбец 8)

3. Находим общую дисперсию (столбец 9)

4. Вычисляем  индекс детерминации

 

 

Т.к. R² ≈ 1, то построенная аддитивная модель хорошо описывает экономический процесс.

IV этап. Прогнозирование по аддитивной модели.

Используя полученную экономическую модель, осуществим прогноз потребления электроэнергии на 17 кв.

Т₁₇=7,032+0,208∙t= 7,032+0,208∙17=10,568;

Y₁₇=Т₁₇+S₁=10,568+0,621=11,189 (млн. кВт. ч.)

Задание №4.

Имеются квартальные  данные о прибыли компании Y (тыс. у.е.) за последние четыре года (16 кварталов). Построить мультипликативную модель временного ряда, проверить ее адекватность выборочным данным и осуществить с помощью ее прогноз о прибыли за 17 квартал.

Решение.

Пусть имеются  квартальные данные о прибыли  компании Y (тыс. у.е.) за последние четыре года (таблица 6.). Анализ графика (рис 4.) говорит о наличии сезонных колебаний с периодом m=4, с уменьшающейся амплитудой, поэтому использование мультипликативной модели оправдано.

Рис. 4

Определим компоненты модели.

I этап. Расчет сезонной компоненты.

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней (аналогично методике построения аддитивной модели). Оценки сезонной компоненты находится как частное от деления уровней ряда Y на центрированную скользящую среднюю (столбец 6).

Таблица 6.

№ кварт. t	Прибыль компании Y	Итого за 4 квартала	Скользящая  средняя	Центриров. скользящая средняя	Оценка сезон. компон.
1	2	3	4	5	6
1	79			-	-
2	107			-	-
3	97	88,5	22,125	20,0625	4,835
4	71	88	22	21,75	3,264
5	77	86	21,5	21,1875	3,634
6	99	83,5	20,875	20,6875	4,785
7	87	82	20,5	20,25	4,296
8	65	80	20	19,625	3,312
9	69	77	19,25	18,875	3,656
10	87	74	18,5	18,1875	4,784
11	75	71,5	17,875	17,6525	4,27
12	55	69	17,25	16,625	3,308
13	59	64	16	15,4375	3,822
14	67	59,5	14,875	14,3125	4,681
15	57	55	13,75	-	-
16	37			-	-

 

Используя оценки сезонной компоненты S, найдем средние оценки по кварталам (таблица 7.)

Таблица 7.

	Год	№ квартала, t
		I	II	III	IV
	1	-	-	4,835	3,264
	2	3,634	4,785	4,296	3,312
	3	3,656	4,784	4,27	3,308
	4	3,822	4,681	-	-
Итого		11,112	14,25	13,401	9,884
		3,704	4,75	4,467	3,295
Si		0,914	1,172	1,102	0,813

 

В мультипликативной  модели сумма значений сезонной компоненты должна равняться числу периодов в цикле (m=4).

В нашем случае

3,704+4,75+4,467+3,295=16,216

Определим корректирующий коэффициент

и пересчитаем  сезонную компоненту

 

S₁ = 0,914, S₂ = 1,172, S₃ = 1,103, S₄ =0,813

II этап. Построение линии регрессии для величины .

Разделим каждый уровень ряда на соответствующую  величину сезонной компоненты (столбец 4 таблицы 8) и для величины проведем аналитическое выравнивание аналогично аддитивной модели.

Таблица 8.

ti	Yi	Si				E’=Y-(T∙S)	(E’)2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	79	0,914	86,43	94,92	86,76	-7,76	60,22	4,75	22,56
2	107	1,172	91,3	92,14	107,99	-0,99	0,98	32,75	1072,56
3	97	1,102	88,02	89,36	98,47	-1,47	2,16	22,75	517,56
4	71	0,813	87,33	86,58	70,39	0,61	0,37	-3,25	10,56
5	77	0,914	84,25	83,8	76,59	0,41	0,17	2,75	7,56
6	99	1,172	84,47	81,02	94,96	4,04	16,32	24,75	612,56
7	87	1,102	78,95	78,24	87	0	0	12,75	162,56
8	65	0,813	79,95	75,46	61,35	3,65	13,32	-9,25	85,56
9	69	0,914	75,49	72,68	66,43	2,57	6,6	-5,25	27,56
10	87	1,172	74,23	69,9	81,92	5,08	25,81	12,75	162,56
11	75	1,102	68,06	67,12	73,97	1,03	1,06	0,75	0,56
12	55	0,813	67,65	64,34	52,31	2,69	7,24	-19,25	370,56
13	59	0,914	64,55	61,56	56,27	2,73	7,45	-15,25	323,56
14	67	1,172	57,17	58,78	68,89	-1,89	3,57	-7,25	52,56
15	57	1,102	51,72	56	61,71	-4,71	22,18	-17,25	297,56
16	37	0,813	45,51	53,22	43,27	-6,27	39,31	-37,25	1387,56

 

Для аналитического выравнивания используется уравнение  линейной регрессии

T = a + b ∙ t

Параметры a, b находим МНК

Т=97,7-2,78t

Подставляя     найдем (столбец 5) и теоретические значения

 (столбец 6), которые нанесем на график (рис. 4).

Для оценки ошибки аппроксимации временного ряда мультипликативной моделью находим абсолютную ошибку E’=Y-(T∙S) (столбец 7) и ее квадрат (Е’)², которые необходимы для вычисления остаточной дисперсии

 

Находим общую  дисперсию (столбец 10)

 

Индекс детерминации

близок к 1, следовательно, построенная мультипликативная  модель адекватно описывает экономический  процесс.

IV этап. Прогнозирование по мультипликативной модели.

Ожидаемая прибыль  компании в I квартале ближайшего следующего года Y₁₇ равна:

Y₁₇=T₁₇∙S₁=(97,7-2,78∙17)∙0,914=46,102 (тыс. у.е.)

 

 

Список литературы:

1. Математические модели в задачах экономики: учебно-методическое пособие / Сост. к.т.н., доцент Е.А. Райков, ст. преподаватель М.В. Селина; Рос. гос. тогр.-экон. ун-т Самар. ин-т (фил.). – Самара, 2004;
2. Эконометрика: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002.