Контрольная работа по "Эконометрике". 88

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО

«ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

Филиал в г. Орле

Кафедра   экономико-математических методов  и моделей

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине

"ЭКОНОМЕТРИКА”

 

Вариант №0.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                        Студент: Якунчиков В.Е.

                                                  Курс:  3 (2-е высшее)

                                        № группы:       -

                                                                              Факультет:          финансово-кредитный

                                                                              Специальность:     бакалавр экономики

                                                                    Личное дело №:     11ФЛД60890

                                                                  Преподаватель: Филонова Е.С.

 

 

 

Орел – 2012

 

 

 

Задача 1.  Эконометрическое моделирование стоимости квартир  
в Московской    области

 

Строительная фирма занимается реализацией квартир в строящихся домах городов Подольск и Люберцы Московской области. Для выработки управленческих решений компании необходимо осуществить эконометрическое моделирование стоимости квартир на основании исходных данных, представленных в таблице.

 

№	Цена квартиры тыс.долл.	Жилая площадь  квартиры	Этаж квартиры	Площадь кухни, кв.м.
	Y	X4	X5	X6
41	38,00	19	12	9,5
42	62,20	36	9	10
43	125,00	41	11	8
44	61,10	34,80	10	10,6
45	67	18,70	2	6
46	93	27,70	1	11,3
47	118	59	2	13
48	132	44	8	11
49	92,50	56	9	12
50	105	47	8	12
51	42	18	8	8
52	125	44	16	9
53	170	56	3	8,5
54	38	16	3	7
55	130,50	66	1	9,8
56	85	34	3	12
57	98	43	3	7
58	128	59,20	4	13
59	85	50	8	13
60	160	42	2	10
61	60	20	4	13
62	41	14	10	10
63	90	47	5	12
64	83	49,50	1	7
65	45	18,90	3	5,8
66	39	18,00	3	6,5
67	86,90	58,70	10	14
68	40	22	2	12
69	80	40	2	10
70	227	91	2	20,5
71	235	90	9	18
72	40	15	8	11
73	67	18,50	1	12
74	123	55	9	7,5
75	100	37	6	7,5
76	105	48	3	12
77	70,30	34,80	10	10,6
78	82	48	5	10
79	280	85	5	21
80	200	60	4	10

 

 

 

 

Задание по эконометрическому  моделированию стоимости квартир  в Московской области

 

1. Рассчитать матрицу  парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость  коэффициентов корреляции Y с X.

 

2. Построить поле корреляции  результативного признака и наиболее  тесно связанного с ним фактора.

 

3. Рассчитать параметры  линейной парной регрессии для фактора X, наиболее тесно связанного с Y.

 

4. Оценить качество  каждой модели через коэффициент  детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F – критерий Фишера.

 

5. С использованием модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения, точки прогноза.

 

6. Используя пошаговую  множественную регрессию (метод  исключения или метод включения), построим модель формирования  цены квартиры за счет значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

 

7. Оценить качество  построенной модели. Выяснить, улучшилось  ли качество модели по сравнению  с однофакторной моделью?  Дать  оценку влияния значимых факторов  на результат с помощью коэффициентов  эластичности, β- и Δ- коэффициентов.

 

Решение:

 

1. Рассчитать матрицу  парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость  коэффициентов корреляции Y с X.

 

Для расчета указанных  коэффициентов используем Excel/сервис/анализ данных/КОРРЕЛЯЦИЯ:

 

 

 

 

Получим матрицу коэффициентов парной корреляции между всеми имеющимися переменными:

 

	Y	X4	X5	X6
Y	1
X4	0,874012	1
X5	-0,07139	-0,01403	1
X6	0,616194	0,648728	0,008149	1

 

Проанализируем  коэффициенты корреляции между результирующим признаком Y и каждым из факторов X_j:

 

r(Y,X4)=-0,01<0 – значит, между переменными Y и X4 наблюдается обратная корреляционная зависимость, значит цена квартиры выше для г. Люберцы.

|r(Y,X₁)|=0,01<0,4 – это зависимость слабая.

 

r(Y,X₂)=0,75>0 – следовательно, между переменными Y и X₂ наблюдается прямая корреляционная зависимость: чем выше число комнат, тем выше цена квартиры.

r(Y,X₂)=0,75>0,7 – следовательно, зависимость является тесной.

 

r(Y,X₃)=0,89>0 – следовательно, между переменными Y и X₃ наблюдается прямая корреляционная зависимость: чем больше общая площадь квартиры, тем выше стоимость квартиры.

r(Y,X₃)=0,89>0,7 – следовательно, зависимость является тесной.

 

Для проверки значимости найденных коэффициентов корреляции используем критерий Стьюдента.

Для каждого коэффициента корреляции r(Y, X_j) вычислим t-статистику по формуле:

где,     n - количество исходных данных; r – проверяемый коэффициент.

 

Результаты расчетов занесем в корреляционную таблицу.

	Y	X1	X2	X3	t-статистики
Y	1
X1	-0,011259267	1			0,069411185
X2	0,75106074	-0,034098478	1		7,012446419
X3	0,892251173	-0,044627836	0,810124506	1	12,18100887

 

 

Определим критическое значение t_кр, для чего используем Еxcel/вставка/функция/ СТЬЮДРАСПОБР: при этом принимаем уровень значимости α = 10% = 0,1; число степеней свободы k=n-2=40-2=38.

Получим значение t_кр=1,69.

 

 

 

Сопоставим фактические значения t_r с критическим t_кр и сделаем выводы в соответствии со схемой:

 

        не знач.    1,69  знач.

 0  t_кр           t

 

t(r(Y,X₁))=0,07<t_кр=1,69 – следовательно коэффициент корреляции r(Y,X₁) не является значимым, его отличие от нуля незакономерно. На основании выборочных данных есть основание утверждать, что зависимость между ценой квартиры Y и городом области X₁ недостоверна.

 

t(r(Y,X₂))=7,01>t_кр=1,69 – следовательно, коэффициент корреляции r(Y,X₂) является значимым. На уровне значимости 10%  выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и X₂, зависимость цены квартиры  Y от  числа комнат в квартире X₂ является достоверной.

 

t(r(Y,X₃))=12,18>t_кр=1,69 – следовательно, коэффициент корреляции r(Y,X₃) является значимым. На уровне значимости 10%  выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и X₃, зависимость цены квартиры Y от общей площади квартиры X₃ является достоверной.

 

Таким образом, тесные и  значимые зависимости наблюдается  между ценой квартиры Y и числом комнат в квартире  X₂, и ценой квартиры Y и общей площадью квартиры X₃.

Зависимость между ценой квартиры Y и городом области X₁ не является значимой, т.е. достоверной.

 

2. Построить поле корреляции  результативного признака и наиболее  тесно связанного с ним фактора.

 

Для построения поля корреляции используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные Y и значения наиболее информативного фактора X₃,  
т.к. t(r(Y,X₃))=12,18> t(r(Y,X₂))=7,01.

 

 

3. Рассчитать параметры  линейной парной регрессии для фактора X, наиболее тесно связанного с Y.

 

Для построения парной линейной модели Y_r = a + b·X₁ используем программу РЕГРЕССИЯ (Сервис/Анализ данных). В качестве «входного интервала X» покажем значение фактора X₃:

 

 

Таким образом, модель (3) построена, ее уравнение имеет вид:

 

Y_Т = -14,9 + 1,6·X₃

 

Коэффициент регрессии b = 1,6 – следовательно, при увеличении общей площади квартиры (X₃) на 1 кв.м. стоимость квартиры (Y) увеличится в среднем на 1,6 тыс. долларов.

     Свободный  член а = - 14,9 в данном уравнении не имеет реального смысла.

Для построения модели зависимости  цены квартиры Y от числа комнат в квартире X₂, проведем аналогичные расчеты:

 

	Коэффициенты
Y-пересечение	7,539299
X2	36,03777

 

Таким образом, модель (2) построена, ее уравнение имеет вид:

 

Y_Т = 7,54 + 36,04·X₂

    

      Коэффициент  регрессии b = 5,99 – следовательно, при увеличении числа комнат в квартире (X₂) на одну, стоимость квартиры (Y) увеличится в среднем на 36,04 тыс. долларов.

     Свободный  член а = 7,54 в данном уравнении не имеет реального смысла.

 

 

 

4. Оценить качество  каждой модели через коэффициент  детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F – критерий Фишера.

 

Коэффициент детерминации для данной модели можно посмотреть в таблице Регрессионная статистика R - квадрат = 0,7961.

Таким образом, вариация цены квартиры Y на 79,61% объясняется (по модели (3)) вариацией размера общей площади квартиры X₃. Т.е. качество данной модели высокое.

 

Проверим значимость полученных уравнений с помощью F – критерия Фишера.    F – статистики определены программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Дисперсионный анализ») и составляет: 148,3769

 

Критическое значение F_кр = 4,0982 найдено для уровня значимости α = 5% и чисел степеней свободы k1 = 1, k2 = 40 (функция РАСПОБР).

 

F =148,38 > F_кр=4,09 – следовательно, уравнение модели является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной X₃. 

 

Найдем среднюю ошибку аппроксимации с помощью программы VSTAT:

 

Значение Ē_отн>15% – следовательно, точность построенной модели - неудовлетворительная. Следовательно, использовать эту    модель для прогнозирования в реальных условиях нецелесообразно. Необходимо    построить более точную модель

 

 

 

 

 

 

5. С использованием модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения, точки прогноза.

 

 

 

Согласно условию задачи, прогнозное значение факторной переменной X₃ составит 80% от X_3max – x*=124,0 кв.м.

Рассчитаем по уравнению (3) прогнозное значение показателя Y:

 

Y*_Т = -14,9 + 1,6·124,0= -14,9+ 198,4 = 182,569 тыс. долл.

Таким образом, при использовании  в прогнозировании лучшей модели, прогнозная цена квартиры общей площадью 124,0 кв.м. составит 182,569 тыс. долларов.

 

Зададим достоверную  вероятность p = 1-α  и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно рассчитать стандартную  ошибку прогнозирования для среднего значения результирующего признака

S(Y*r) = S_E ·

Предварительно подготовим:

• стандартную ошибку модели S_E = 26,207 (таблица «Регрессионная статистика»  
  итогов РЕГРЕССИИ).
• по столбцу исходных данных X_i найдем среднее значение = 72,93 (функция СРЗНАЧ) и определим ∑(х_i – )² = 40189,26 (функция КВАДРОТКЛ).
• t_кр(10%, 40) = 1,68 (функция СТЬЮДРАСПОБР).

 

Следовательно, стандартная  ошибка прогнозирования для среднего значения составляет

 

S(Y*_T) = 26,207 ·

= 7,859

Размах доверительного интервала для среднего значения

 

U(Y*_T) = t_кр· S(Y*_T) = 1,68 · 7,859 = 13,202

Границами прогнозного  интервала будут

 

U_нижн = Y*_T - U(Y*_T) = 182,569 – 13,202 = 169,367

U_верх. = Y*_T + U(Y*_T) = 182,569 + 13,202 = 195,771

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что ожидаемая средняя цена квартиры жилой площадью 124,0 кв.м. будет находится в пределах от 169,367 тыс. долларов до 195,771 тыс. долларов.

 

Для построения чертежа  используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

 

 

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построим модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

 

 

В нашей задаче фактор X₁ (город области) не является значимым, а фактор X₂ (число комнат в квартире) является значимыми, однако в познавательных целях, методом включения построим двухфакторные модели, сохраняя в них наиболее информативный фактор – X₃(общая площадь квартиры).

 

В качестве «входного интервала X» укажем значения факторов X₂ и X₃, с помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

	Коэффициенты
Y-пересечение	-16,47476878
X2	3,940559372
X3	1,473662179

 

Таким образом, модель (4) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X₃ и количества комнат в квартире X₂ построена, ее уравнение имеет вид:

 

Y_Т = -16,47 + 3,94·X₂ + 1,47·X₃

 

 

Используем в качестве «входного интервала X» значения факторов X₁ и X₃, с помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

	Коэффициенты
Y-пересечение	-16,5189
X1	3,254065
X3	1,59468

    

Таким образом модель (5) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X₃ и города области X₁ построена, ее уравнение имеет вид:

 

Y_Т = -16,52 + 3,25·X₁ + 1,59·X₃

 

Построим множественную  модель регрессии, учитывая все факторы X₁, X₂, X₃.

	Коэффициенты
Y-пересечение	-18,0924
X1	3,23487
X2	3,932395
X3	1,476174

 

Таким образом, трехфакторная  модель (6) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X₃, количества комнат в квартире X₂ и города области X₁ построена, ее уравнение имеет вид:

 

Y_Т = -18,09 + 3,23·X₁ + 3,93·X₂ + 1,48·X₃

 

Выберем лучшую из построенных множественных моделей.

Для сравнения моделей  с различным количеством учтенных в них факторов используем нормированные  коэффициенты детерминации, которые содержатся в строке «нормированый R-квадрат» итогов программы РЕГРЕССИЯ. Чем больше величина нормированного коэффициента детерминации, тем лучше модель.

 

Модель	Нормированный   R-квадрат
YТ = -16,47 + 3,94·X2 + 1,47·X3 (4)	0,787535
YТ = -16,52 + 3,25·X1 + 1,59·X3  (5)	0,785953
YТ = -18,09 + 3,23·X1 + 3,93·X2 + 1,48·X3 (6)	0,782508

 

Анализ коэффициентов  детерминации показывает, что все  три модели практически равнозначны, но лучшей из них является модель (4), показывающая зависимость цены квартиры Y от общей площади квартиры X₃ и количества комнат в квартире X₂.

 

Коэффициент регрессии b₃=1,47, следовательно, при увеличении общей площади квартиры X₃ на 1 кв.м. при неизменном значении количества комнат в квартире X₂, цена квартиры увеличится в среднем на 1,47 тыс. долларов.

 

Коэффициент регрессии b₂=3,94, следовательно, при изменении количества комнат в квартире X₂ в сторону увеличения на одну, при неизменной общей площади квартиры X₃, цена квартиры увеличится в среднем на 3,94 тыс. долларов.

 

Свободный коэффициент  не имеет экономического смысла.

 

 

7. Оценить качество  построенной модели. Выяснить, улучшилось  ли качество модели по сравнению  с однофакторной моделью?  Дать  оценку влияния значимых факторов  на результат с помощью коэффициентов  эластичности, β- и Δ- коэффициентов.

 

   

Вывод:

Качество двухфакторной  модели ухудшилось. На основе коэффициентов эластичности, β- и Δ- коэффициентов делаем вывод, что наиболее влиятельный фактор - Х₃.

При увеличении только фактора X₃ на одно свое стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,8237 своего стандартного отклонения  S_у, при увеличении только фактора X₂ на его одно стандартное отклонение  результат Y увеличивается в среднем на 0,0821 своего стандартного отклонения S_у. 

По уравнению полученной линейной двухфакторной модели изменение результирующего фактора Y (цены квартиры) на 92,05% объясняется воздействием фактора X3 (общей площади квартиры) и на 7,72% влиянием фактора X2 (количество комнат в квартире).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Исследование динамики экономического показателя на основе

                 анализа одномерного временного ряда.

 

В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

 

№ наблюдения	Спрос на кредитные ресурсы Y   в млн. руб.
1	8
2	13
3	15
4	19
5	25
6	27
7	33
8	35
9	40

Требуется:

 

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

Используем метод Ирвина, основанный на определении λ_t – статистики.

,

где S_y – выборочное среднеквадратичное (стандартное) отклонение признака Y.

Подготовим  S_y = 10,9 (функция СТАНДОТКЛОН) и рассчитаем λ_t – статистики.

 

№ наблюдения	Спрос на кредитные  ресурсы Y   в млн. руб.	λt
1	8
2	13	0,45861696
3	15	0,183446784
4	19	0,366893568
5	25	0,550340352
6	27	0,183446784
7	33	0,550340352
8	35	0,183446784
9	40	0,45861696

Табличные значения λ_кр определим при n=9 и уровне значимости α = 5% – λ_кр=1,5.

Схема проверки:

 

    не аном. 1,5  аном.

0                                λ_кр                λ      

    

Все величины статистики λ_i<λ_кр=1,5 – поэтому все наблюдения Y_i признаются не аномальным и не требуют замены.

 

2. Построить  линейную модель временного ряда  Y_t=a+b·t, параметры которой   оценить МНК.

 

     С помощью  программы «РЕГРЕССИЯ» найдем

	Коэффициенты
Y-пересечение	4,071428571
t	3,964285714

Таким образом,  a = 4,071; b = 3,964.

 

Модель построена, ее уравнение имеет вид  Y_t = 4,071 + 3,964·t

Коэффициент регрессии  b = 3,964 показывает, что с каждой последующей неделей спрос на кредитные ресурсы финансовой компании увеличивается в среднем на 3,964 млн. рублей.

 

3. Оценить  адекватность построенной модели, используя свойства независимости     остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

 

    Проверка перечисленных свойств состоит в исследовании Ряда остатков e_t, который содержится в таблице «Вывод остатка» итогов РЕГРЕССИИ.

 

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	8	0
2	12	1
3	15,96428571	-0,964285714
4	19,92857143	-0,928571429
5	23,89285714	1,107142857
6	27,85714286	-0,857142857
7	31,82142857	1,178571429
8	35,78571429	-0,785714286
9	39,75	0,25

     Для проверки свойства независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона. Согласно этому критерию вычислим по формуле статистику:

Подготовим для вычислений:

=  6,82; = 22,01

 

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	(ei -e(i-1))х2
1	8	0
2	12	1	1
3	15,96428571	-0,964285714	3,858418367
4	19,92857143	-0,928571429	0,00127551
5	23,89285714	1,107142857	4,144132653
6	27,85714286	-0,857142857	3,858418367
7	31,82142857	1,178571429	4,144132653
8	35,78571429	-0,785714286	3,858418367
9	39,75	0,25	1,072704082
		6,821429	21,9375

Таким образом, 

= 3,23

По таблице d–статистики Дарбина–Уотсона определим критические уровни:

нижний  d₁ = 0,82; верхний d₂ = 1,32.

Сравним полученную фактическую величину d с критическими уровнями   d₁ и d₂  и сделаем вывод согласно схеме:

 

   не вып.      доп. пров.       вып.          вспом  d´ = 4 – d

0            0,82               1,32             2                                  4 

 

d = 3,23 (2;4) – следовательно, используем d´= 4 – 3,23 = 0,77.    

d´= 0,77 (0;0,82) – следовательно свойство независимости остатков построенной модели не выполняется.

 

Для проверки свойства случайности остаточной компоненты используем критерий поворотных точек (пиков), основой которого является определение количества поворотных точек для ряда остатков. 

    

 С помощью Мастера диаграмм построим график остатков e_i.