Контрольная работа по «Эконометрике». 6

Задача 1

Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области

Таблица 1

Исследуемые факторы

Таблица 2

Исходные данные для эконометрического моделирования стоимости квартир

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость  коэффициентов  корреляции.
2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним  фактора.
3. Рассчитайте параметры линейной парной  регрессии для каждого фактора Х, наиболее тесно связанного с Y .
4. Оцените качество модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.
5. Для выбранной модели осуществите прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора составит 80% от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения,  точки прогноза.
6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, b - и D - коэффициентов.

Решение Задачи 1.

При решении данной задачи расчеты и построение графиков и диаграмм производится с использованием настройки Excel Анализ данных.

1. Расчет матрицы  парных коэффициентов корреляции  и оцененка статистическую значимость  коэффициентов  корреляции.

Коэффициент парной корреляции используется для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества и вычисляется по формуле:

.                                               (1)

Чтобы рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции в Excel копируется таблица с исходными данными. Далее воспользуемся инструментом Корреляция:

1) в главном меню  последовательно выбирается пункты Сервис / Анализ данных / Корреляция / ОК;

2) в диалоговом окне Корреляция в поле Входной интервал вводится диапазон ячеек, содержащих исходные данные (так как вводились и заголовки столбцов, то устанавливается флажок Метки в первой строке);

3) результаты вычислений – матрица  коэффициентов парной корреляции  следующие результаты (Табл. 3):

Таблица 3

Матрица парных коэффициентов корреляции

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная Y (цена квартиры) имеет наиболее тесную связь с факторными признаками Х3 и Х5 (общая площадь квартир и этаж квартиры). Коэффициенты парной корреляции равны: r(Y; X1) = -0,01<0, следовательно, между переменными (Y; X1) наблюдается обратная корреляционная зависимость, в Подольске цена квартиры ниже, чем в Люберцах;

r(Y; X3) = 0,89>0, то между переменными (Y; X3) наблюдается прямая корреляционная зависимость, чем больше общая площадь квартиры, тем выше ее цена;

r(Y; X5) = -0,07<0, следовательно, между переменными (Y; X5) наблюдается обратная корреляционная зависимость, чем выше этаж, тем ниже цена за квартиру.

Следует отметить, что положительная корреляция между признаками означает, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать. Если признаки связаны отрицательной корреляцией (например, Y и X1), это означает, что при возрастании факторного признака (X1) величина результирующего признака имеет тенденцию к убыванию.

Для оценки значимости коэффициента корреляции применяется t-критерий Стьюдента. При этом фактическое значение этого критерия определяется по формуле:

                                                       (2)

Табличное значение сравнивается с расчетными значениями. Табличное значение определяется с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР (категория функций - статистические) с вероятностью, равной 0.05 (p = 1-0.9) и степенью свободы n-2 (где n – число наблюдений).

Таблица 4

Оценка статистической значимости коэффициента корреляции

Вывод: Статистически наиболее значимая зависимость наблюдается между ценой квартиры и общей площадью квартиры  (Y;X3) .

2. Построение  поля корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.

Для построения поля корреляции используется инструмент построения точечной диаграммы Excel. В результате получается поле корреляции цены квартиры (тыс. долл.) и общей площади квартиры (кв.м.) (Рис. 1).

Рисунок 1. Поле корреляции цены и общей площади квартиры.

Корреляционное поле позволяет дать наглядную графическую интерпретацию коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции между Y и X3 , r(Y; X3) = 0,89>0 то есть имеет место положительная корреляция (с увеличением X3 значения Y имеют тенденцию к возрастанию). Это соответствует на графике (рис. 1) тому, что экспериментальные значения группируются около прямой линии, имеющей положительный наклон. Если r(Y;Х) = 1 или r(Y;Х) = -1, то между случайными величинами Х и Y существует линейная функциональная зависимость. В этом случае говорят о полной корреляции. В рассматриваемом случае. В данном же случае присутствует некоторый разброс точек на графике, что подтверждает отличие коэффициент корреляции между Y и X3 от 1.

3. Расчет параметров  линейной парной регрессии для  каждого фактора Х.

Линейная модель имеет следующий вид: . Дня оценки параметров уравнения используется метод наименьших квадратов (МНК). Согласно принципу метода наименьших квадратов, оценки и находятся путем минимизации суммы квадратов:

                                (3)

По всем возможным значениям и при заданных (наблюдаемых) значениях .

В результате формулы для вычисления параметров регрессионного уравнения выглядят следующим образом:

,                                         (4)

При этом уравнение линейной парной регрессии для одного из факторов  показывает влияние только этого фактора на результирующий признак, исключая влияние остальных.

Для расчета параметров линейной парной регрессии можно воспользоваться инструментом Регрессия, входящим в настойку Анализ данных. В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводится адрес диапазона ячеек, которые  представляет зависимую переменную Y, то есть стоимость квартир. В поле Входной интервал Х для каждого из факторных признаков вводим адреса диапазона ячеек, которые содержат значения независимых переменных (город области, жилая площадь квартиры, число комнат в квартире). При это необходимо установить флажок Метки в первой строке (так как вводились и заголовки столбцов). Далее выполняется поочередно вычисления параметров парной регрессии для каждого фактора Х.

Таблица 5

Результаты регрессионного анализа для факторного признака X1

Вывод: , , то есть уравнение линейной парной регрессии для фактора Х1 имеет вид: Y = 101,814 – 1,280·X1.

Параметр называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение  результата Y с изменением фактора X на 1 единицу. Для факторного признака X1 , следовательно, цена квартиры в Подольске будет стоить на 1,280 тыс. долл. меньше, чем в Люберцах.

Следует отметить, что в данном случае коэффициенту так же можно придать экономический смысл – его значение показывает значение Y при X1 = 0, то есть стоимость квартиры в Люберцах.

Таблица 6

Результаты регрессионного анализа для факторного признака X3

Вывод: , , то есть уравнение линейной парной регрессии для фактора Х3 имеет вид: Y = -14,888 + 1,592·X3.

Коэффициент показывает, что, если не учитывать влияние территориального фактора и этажности квартир на цену, то с увеличением общей площади квартиры на 1 кв.метр, стоимость квартиры увеличится на 1,592 тыс. долл. 

Значение параметра <0 не имеет экономического смысла, однако соответствует опережению изменения результата Y над изменением признака X3.

                                                                                                         Таблица 7

Результаты регрессионного анализа для факторного признака X5

Вывод: , , то есть уравнение линейной парной регрессии для фактора Х5 имеет вид: Y = 107,367 – 1,089·X5.

Коэффициент показывает, что чем выше этаж квартиры на 1 единицу цена квартиры уменьшается на 1,089 тыс. долл. То, что , не имеет экономического смысла, однако положительный знак параметра свидетельствует о том, что относительное изменение результата Y происходит медленнее, чем изменение признака X5.

4. Оценка качества каждой модели  через коэффициент детерминации, средней ошибки аппроксимации и F-критерия Фишера.

1) Для оценки качества подбора  линейной функции рассчитывается  квадрат линейного коэффициента  корреляции  , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициентом детерминации характеризует долю вариации результативного признака Y, учтенную в модели, и обусловленную влиянием фактора X:

                                             (5)

где - сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, и общая сумма квадратов отклонений соответственно.

R2 > 0.5 соответствует высокой степени тесноты связи признаков в уравнении регрессии. При этом более 50% вариаций расчетных значений признака Y объясняется влиянием фактора X, что позволяет применение полученного уравнения регрессии правомерным.

Коэффициенты детерминации были получены в результате расчетов, проведенных в пункте 3 и представлены в таблицах 5-7 (в программе Excel коэффициент детерминации обозначается, как R-квадрат).

= 0,000127 – неприемлемая модель,

= 0,7961 – использование модели правомерно,

= 0,005096 – неприемлемая модель.

Вывод: Исходя из этого критерия, наиболее адекватной является модель уравнения регрессии зависимости цены квартиры от жилой площади Y = f(Х3).

2) Также для оценки точности  регрессионных моделей целесообразно  использовать среднюю относительную  оценку аппроксимации:

.                             (6)

Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации менее 7% свидетельствует о хорошем качестве модели. Модель считается приемлемой, если средняя ошибка аппроксимации меньше 15%.

Для расчета средней ошибки аппроксимации по формуле 6 также можно воспользоваться инструментом Регрессия, входящим в настойку Анализ данных, при этом следует установить флажок Остатки в окне Параметров вывода. В результате получается таблица ВЫВОД ОСТАТКА. Итоговая таблица остатков ( ) для всех признаков выглядит следующим образом:

Таблица 8.

Вспомогательная таблица для расчета средней ошибки аппроксимации.

Для расчета используется функция Excel ЗНАК, которая возвращает знак числа (1 – положительное число, -1 – отрицательное число), таким образом, может применяться для расчетов с модулем. Полученные в строке Итоги таблицы 8 значения соответствуют средним ошибкам аппроксимации:

= 54,13 % - неприемлемая модель;

= 20,53 % - неприемлемая модель;

= 54,09 % - неприемлемая модель.

Вывод: Ни одну из моделей по данному критерию оценки считать приемлемой нельзя. Лучшей моделью является зависимость цены квартиры от общей площади квартиры Y = f(Х3).

3) Для проверки значимости модели  регрессии используется F-критерий Фишера. Для этого выполняется сравнение и критического (табличного) значений F-критерия Фишера. 

Расчетные значения приведены в таблицах 5-7 (обозначены буквой F).

Табличное значение F-критерий Фишера, рассчитанное в Excel с помощью функции FРАСПОБР (вероятность равна 0,05, число степеней свободы - 1 и 38): = 4,10.

Расчетные значения F-критерий Фишера для каждого фактора сравнивается с табличным значением:

= 0,005 < = 4,10 - модель по данному критерию незначима;

= 148,38 > = 4,10 - модель по данному критерию значима;

= 0,19 < = 4,10 - модель по данному критерию незначима.

Вывод: Проанализировав данные по всем трем критериям, можно сделать вывод, что наиболее лучшей является математическая модель, построена для фактора общая площадь квартиры, которая описана линейным уравнением Y = – 14,89 + 1,59·X3.

5. Прогнозирование  среднего значения показателя для выбранной модели при уровне значимости , если прогнозное значения фактора составит 80% от его максимального значения. Графическое представление фактических и модельных значений, точки прогноза.

Для прогнозирования среднего значения показателя Y наиболее качественная модель Y = – 14,89+ 1,59·X3.

Для расчета прогнозного значения Х3пр определяется максимальное значение фактора Х3max (по условию Х3пр составит 80% от Х3max) в Excel с помощью функции МАКС:

= 155 кв.м.

Следовательно, Х3пр = 0,8·155 = 124 кв.м.

В прогнозных расчетах по уравнения регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз :

= – 14,89 + 1,59·124 = 182,27 тыс.долл.

Точечный прогноз не реален, поэтому он дополняется доверительным и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения Y*:

,                                                   (7)

где , - значение стандартной ошибки из таблицы 7, - табличное значение t-критерия Стьюдента.

Для расчета коэффициента используется функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР, вероятность возьмем равную 0.1, число степеней свободы - 38. рассчитывается с помощью функции СРЗНАЧ. Значение определяется также с помощью Excel. Таким образом:

= 1.686;

= 26,2074;

= 72,925;

=401890,255.

Следовательно, .

Определим верхнюю и нижнюю границы интервала:

= 182,27 – 1,686 · 7,858 = 169,021 тыс. долл.;

= 182,27 + 1,686 · 7,858 = 195,519 тыс. долл.

Вывод: Прогнозное значение тыс. долл. будет находиться между нижней границей, равной 169,021тыс. долл. и верхней границей, равной 195,519 тыс.долл. (т.е. ). Таким образом, если общая площадь квартиры увеличится на 80% от максимального значения и составит 124 кв. м., то ожидаемая средняя цена квартиры будет от 169,02 тыс. долл. до 195,52 тыс. долл.

Графическое изображение фактических и модельных значений, точка прогноза представлено на рисунке 2.

Рисунок 2. Графическое изображение фактических и модельных значений, точки прогноза.

6. Построение  модели формирования цены квартиры  за счёт значимых факторов  с использованием множественной  регрессию.

Метод исключения. Для построения модели множественной регрессии необходимо воспользоваться функцией Регрессия программы Excel, включив в нее все факторы. В результате получается результативные таблицы.

Таблица 9

Результаты регрессионного анализа для всех факторов вместе