Контрольная работа по "Эконометрики". 3

Министерство  образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО Санкт-Петербургский  государственный  университет сервиса  и экономики

___________________________________________

Выборгский  филиал

Кафедра «Гуманитарных и естественнонаучных дисциплин» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа 
 
 

по  дисциплине:  ЭКОНОМЕТРИКА 

вариант:              №4                              

                                          Выполнил:  Галкова Н.А.

                                      Группа:                   4/2109

                                            Проверил:   Суханов  В.В. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выборг

2010

    СОДЕРЖАНИЕ 
 
 
 

1. Задача  № 1…………………………………………………………………3
2. Задача № 2………………………………………………………………..10
3. Задача № 4………………………………………………………………. 17
4. Задача № 6………………………………………………………………..20

Литература  ……………………………………………………………… 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 1. 

      По  территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

Таблица № 1.

Задание: 

1. Расположите территории по возрастанию фактора  X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры a₁ и а₀ парной линейной функции у_х = а₀ + a₁х и линейно-логарифмической функции у_{ln x} = а₀ + a₁lnх
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r_yx и η_ylnx) и детерминации (r²_yx и η²_ylnx), проанализируйте их значения.
5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости α = 0,05.
6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (ŷ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации – ε'_ср., оцените ее величину.
8. Рассчитайте прогнозное ) составит 1,040 от*значение результата ỹ, если прогнозное значение фактора (х  среднего уровня (хˉ).
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для α = 0,05), определите доверительный интервал прогноза (γ_max; γ_min), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (D_γ), оцените точность выполненного прогноза.

Решение: 

1. Построим  график: расположим территории по возрастанию значений фактора X_i . См. таблицу 2. Если график строится в табличном процессоре ЕХСЕL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат - на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи инвестиций (Y) с основными фондами (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица № 2.

2. Как правило, моделирование начинается с построения уравнения прямой:

Y = а₀ +а₁*Х, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

3. Рассчитаем неизвестные параметры уравнения методом наименьших квадратов (МНК), построим систему нормальных уравнений и решим её, относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка ∆, ∆а₀ и ∆а₁. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², Х*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.

См. таблицу  З. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Расчётная таблица № 3

4. Согласно  данной формуле выполним расчёт определителя системы:

∆ = n * ∑(X²) - ∑Х * ∑Х = 12*318732,7 – 1433,2*1433,2 = 1770729,68;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

∆а₀ = ∑Y * ∑(X²) - ∑(Y*X) * ∑Х = 204,01*318732,7 – 49450,6*1433,2 = – 5847904,09.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

∆а₁ =n * ∑(Y*X) - ∑Y * ∑Х = 12*49450,6 – 204,01*1433,2 = 301019,68.

5. Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

а₀ = ∆а₀ /∆ = – 5847904,09/1770729,68 = – 3,3;

а₁ = ∆а₁ /∆ = 301019,68/1770729,68 = 0,17.

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение  регрессии следующего вида:    Ŷ_х= – 3,3 + 0,17 * X

    В уравнении коэффициент регрессии  а₁ = 0,17 означает, что при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1 % (от своей средней) оборот розничной торговли возрастет на 0,17 млрд. руб. (от своей средней).

    Свободный член уравнения а₀ = - 3,3 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на оборот розничной торговли.

6. Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:                Э_YX = f ' (X) * X/Y

В нашем  случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула  преобразуется к виду:

Э_YX = а₁ * X/Y = 0,17 * 119,43/17,0008 = 1,194

    Это означает, что при изменении общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличиваются на 1,194 процента от своей средней.

7. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_YX = а₁ * σ_X/σ_Y = 0,17 * 110,89/19,89 = 0,948         r_YX ² = 0,899.

    Коэффициент корреляции, равный 0,948, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) и оборотом розничной торговли. Коэффициент детерминации, равный 0,899, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 89,9% из 100% предопределена вариацией общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости); роль прочих факторов, влияющих на оборот розничной торговли, определяется в 10,1%, что является сравнительно небольшой величиной.

8. Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - F_факт и сравним его с табличным значением - F_табл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе Н₀: а₀ = а₁ = r_YX = 0, то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α = 0,05).

  В нашем  случае, 

F_факт = r_YX ² /1- r_YX ² : k – 1/n – k = 0,899/0,101 : (2 – 1)/(12 – 2) = 8,9 : 0,1 = 89,0.

    Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 89 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) и оборота розничной торговли. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: F_та6л = 4,96 при степенях свободы df₁= k – 1 = 1 и df₂ = n – k = 12 – 2 = 10 и уровне значимости α = 0,05.

    Значения  F_та6л представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)».

    В силу того, что F_факт = 89,0 > F_та6л = 4,96, нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

9. Определим теоретические значения результата Y_теор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчет.

    Например, Ŷ₁ = – 3,3 + 0,17 * 4,2 = – 2,59. См. графу 5 расчётной таблицы. По парам значений Y_теор и Х_факт строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1. 

График 1

10. Оценку  качества модели дадим с помощью  скорректированной средней ошибки аппроксимации:

ε΄ = 1/n * ∑| Y_факт – Ŷ/Y| * 100% = 60,87% .

    В нашем случае, скорректированная  ошибка аппроксимации составляет 60,87%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели. Которое не позволяет использовать ее для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения X).

    Если  предположить, что прогнозное значение фактора Х составит 1,07 от уровня его средней, то есть Х_прогн.= 1,07 * 4,2 = 4,494, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Y_прогн.=  0,336 + 0,512 * 4,494 = 2,637 млрд. руб.  
 

Задача  № 2 

    Производится изучение социально-экономических показателей по территориям Сибирского федерального округа РФ за 2000 год.

   Y – Валовой региональный продукт, млрд. руб.,

   X₁ – Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

   Х₂ – Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

   X₃ – Инвестиции 1999 года в основной капитал, млрд. руб.

   Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального  продукта.

   Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям  не выявил территорий с аномальными значениями признаков. Поэтому значения приводимых показателей рассчитаны по полному перечню территорий федерального округа. 

При обработке  исходных данных получены следующие  значения:

      а) – линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений σ:

      N=12. 

       б) – коэффициентов частной корреляции 

Задание: 

1. По значениям  линейных коэффициентов парной и  частной корреляции r выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
2. Выполните расчёт бета коэффициентов (β) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (β) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям β-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (то есть а₁, а₂ и а₀). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности – Э_ух.
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R², а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи через F-критерий Фишера (для уровня значимости α = 0,05).
5. Рассчитайте прогнозное значение результата Ỹ_xj, предполагая, что прогнозные значения факторов (х_j) составят 107,7 процента от их среднего уровня.
6. Основные выводы оформите аналитической запиской.

Решение. 

1. Представленные  в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют  установить, что валовой региональный продукт – Y более тесно связан со среднегодовой стоимостью основных фондов в экономике – Х₂ (r_yx2 = 0,9541) и с инвестициями 2000 года в основной капитал – X₁ (r_yx1 = 0,9493); наименее тесно результат Y связан с инвестициями 1999 года в основной капитал – X₃. Поэтому, в силу небольшой информативности фактора Х₃, предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа, оставляя для рассмотрения только Х₁ и Х₂. Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата Y со среднегодовой стоимостью основных фондов в экономике (r_yx2*х1х3 = 0,8217) и примерно одинаково тесно связан результат с инвестициями 2000 года в основной капитал (r_yx1**х2х3 = 0,7990). Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчет серии коэффициентов частной корреляции Y с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для Y с X₁ и с Х₂
2. Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:

r_yx1*х2 = r_yx1 - r_yx2 * r_x1х2/√¯(1 - r²_yx2)*(1 - r² _x1x2) = 0,9493 – 0,9541*0,9152/√¯(1 – 0,9541²)*(1 – 0, 9152²) = 0,643

r_yx2*х1 = r_yx2 - r_yx1 * r_x1х2/√¯(1 - r²_yx1)*(1 - r² _x1x2) = 0,9541 – 0,9493*0,9152/√¯(1 – 0,9493²)*(1 – 0,9152²) = 0,672

r_x1х2*y = r_x1x2 - r_yx1 * r_yх2/√¯(1 - r²_yx1)*(1 - r²_yx2) = 0,9152 – 0,9493*0,9541/√¯(1 – 0,9493²)*(1 – 0,9541²) = 0,101

Как видим, факторы Х₁ и Х₂, действительно, тесно связаны с результатом, а между собой взаимодействуют, но слабее, чем каждый из них – с результатом. Эти обстоятельства позволяют использовать Х₁ и Х₂ в качестве факторов уравнения множественной регрессии.

3. При построении двухфакторной регрессионной модели Y = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае, исходное уравнение приобретает вид: t_y = β_yx1* t_x1 + β_yx2* t_x2. Выполним расчёт β-коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

β_yx1 = r_yx1 - r_yx2 * r_x1х2/1 - r² _x1x2 = 0,9493 – 0,9541*0,9152/1 – 0,9152² = 0,469

β_yx2 = r_yx2 - r_yx1 * r_x1х2/1 - r² _x1x2 = 0,9541 – 0,9493*0,9152/1 – 0,9152² = 0,525

В результате получено уравнение в стандартизованном  масштабе:

t_y = 0,469*t_x1 + 0,525*t_x2

    Параметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении инвестиций 2000 года в основной капитал на одну сигму - σ_х1 (от своей средней) валовый региональный продукт увеличится на 0,469 своей сигмы σ_у); с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на σ_х2 результат увеличится на 0,525σ_у. Сравнивая β-коэффициенты, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой - слабее. В данном случае, увеличение валового регионального продукта происходит, прежде всего, под влиянием увеличения среднегодовой стоимости основных фондов в экономике и в меньшей степени - в результате увеличения инвестиций 2000 года в основной капитал.