Контрольная работа по «Эконометрике». 2

Министерство  образования и  науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

Кафедра математики и информатики 
 
 
 
 

                                 К О Н Т Р О Л Ь Н А Я   Р А Б О Т А 

По дисциплине «Эконометрика»

                                                    Вариант № 8 
 
 

                                              Барнаул 2009 год

          ЗАДАЧА №1. Эконометрическое моделирование стоимости                        

                                                          квартир в Московской области.

Исходные  данные:

                                                                   Задание:

            1). Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции.

       Для того чтобы рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции воспользуемся инструментом Корреляция, входящим в надстройку «Анализ данных». (Сервис-Анализ данных-Корреляция). В диалоговом окне Корреляция в поле Входной интервал вводим диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Так как мы выделили и заголовки столбцов, то устанавливаем флажок Метки в первой строке. Получили следующие результаты:

      Исходя из анализа корреляционной таблицы, можно сделать следующие выводы: Зависимая переменная Y – цена квартиры имеет тесную связь с Х3 – общая площадь квартиры, так как коэффициент корреляции равен 0,892, что больше 0,7. Это прямая корреляционная зависимость, чем больше общая площадь квартиры, тем выше цена квартиры. 

      Зависимая переменная Y имеет также тесную связь с Х2, так как коэффициент корреляции равен 0,75 > 0,7. Чем больше число комнат в квартире, тем выше её цена.

    Слабая обратная зависимость наблюдается между Yи Х1, так как

r (Y, X1) = -0,011 > 0. Это обратная корреляционная зависимость, цена квартиры ниже в зависимости от изменения города области.

     Для того, чтобы определить статистическую значимость коэффициентов корреляции необходимо сопоставить фактические значения t с критическим tкр. Для этого при помощи функции СТЬЮДРАСПОБР при уровне значимости = 5% и числе степеней свободы = n-2=38 вычислим значение tкр. Получим: Наиболее значимым является фактор Х3. 

     Сопоставим  фактические значения t с критическим t_кр. и сделаем выводы:

     t(r(Y,X1))=0,069 > tкр.=2,024. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод об отсутствии линейной корреляционной связи между признаками Y и Х1, зависимость цены квартиры Y от города области Х1 не является достоверной.

     t(r(Y,X2))=7,012 > tкр.=2,024, следовательно коэффициент (r(Y,X2)) значимо отличается от нуля. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и Х2, зависимость цены квартиры Y от числа комнат в квартире Х2 является достоверной.

     t(r(Y,X3))=12,181 > tкр.=2,024, следовательно коэффициент (r(Y,X3)) значимо отличается от нуля. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и Х3, зависимость цены квартиры Y от общей площади квартиры является достоверной. 

     2). Построим поле корреляции результативного признака (стоимости квартиры) и наиболее тесно связанного с ним фактора.

     В нашем случае наиболее тесно связанный фактор – Х3. Для этого воспользуемся инструментом построения точечной диаграммы программы Excel. В результате получаем поле корреляции цены квартиры (тыс. долл.) и общей площади квартиры (кв.м.).

                                      Поле корреляции

     3). Рассчитать параметры линейных парных регрессии для всех факторов Х.

     Для расчета параметров линейной парной регрессии воспользуемся инструментом Регрессия, входящим в надстройку Анализ данных.

     В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводим адрес диапазона ячеек, которые представляют зависимую переменную, т.е. стоимость квартир. В поле Входной интервал Х вводим адрес диапазона, который содержит значения независимых переменных (город области, общая площадь квартиры, число комнат в квартире). Выполним поочередно вычисления параметров парной регрессии для каждого фактора Х. 

     Для Х1 получим следующие данные:

            Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от города области имеет вид: Y = 101,81-1,28*Х1  Коэффициент регрессии b1= -1,28, следовательно при изменении одного города области на другой (Х1) цена квартиры (Y) уменьшится в среднем на 1,28 тыс. дол. Свободный коэффициент a= 101,81 не имеет реального смысла. 

        Для Х2:

           Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от числа комнат в квартире имеет вид: Y =7,54+36,04*Х2  Коэффициент регрессии b2=36,04, следовательно при увеличении числа комнат в квартире (Х2) цена квартиры (Y) увеличится в среднем на 36,04 тыс. дол. Свободный коэффициент a= 7,54 не имеет реального смысла. 

        Для Х3:

            Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от жилой площади квартиры имеет вид: Y= -14,89+1,59*X3 Коэффициент регрессии b3= 1,59, значит при увеличении общей площади квартиры на 1 кв.м.(Х3) цена квартиры (Y) увеличится в среднем на 1,59 тыс. дол. Свободный коэффициент а= -14,89 не имеет реального смысла. 
 

     4). Оценить качество  каждой модели  через коэффициент  детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выбрать лучшую модель.

     а) Коэффициент детерминации R-квадрат определен для каждой модели в таблице «Регрессионная статистика». (смотреть таблицу 1далее)

     б) Для вычисления средней ошибки аппроксимации рассмотрим остатки, содержащиеся в столбце Остатки итогов программы Регрессия таблица «вывод остатков». Рассчитаем относительные погрешности по формуле Е_отнi= /Е_i/y_i/*100 при помощи функции ABS. Далее по столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение Е_отн. при помощи функции СРЗНАЧ. (смотр. Таблицу 1).

     в) Для проверки значимости полученных моделей при помощи F-критерия Фишера необходимо сравнить F-статистики (смотреть таблицу 1), определенные программой Регрессия в таблице «Дисперсионный анализ» с Fкр. Критическим. Значение Fкр. найдем при помощи функции FРАСПОБР для уровня значимости 5% и числа степеней свободы k1=1 и k2=38. Таким образом, Fкр.= 4,098172

     Занесем все данные в единую Таблицу 1:

     а) Коэффициент детерминации определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием не него фактора Х. Чем больше значение коэффициента детерминации, тем теснее связь между признаками в построенной математической модели. Таким образом, вариация цены квартиры (Y) на 0,012% объясняется по уравнению 1 изменением города области (Х1); на 56,41% по уравнению 2 вариацией числа комнат в квартире (Х2) и на 79,61% по уравнению 3 изменением общей площади квартиры (Х3).

     б) При проведении экономических расчетов модель считается достаточно точной, если средняя ошибка аппроксимации  меньше 5%, модель считается приемлемой, если средняя ошибка аппроксимации  меньше 15%.     

     Еср.отн.1= 54,13%, что не принадлежит интервалу (5%;15%) – точность модели неудовлетворительная.

       Еср.отн.2=23,46%, что также не принадлежит  интервалу (5%;15%) – точность модели  неудовлетворительная.

     Еср.отн.3=20,54%, что не принадлежит интервалу (5%;15%) – точность модели неудовлетворительная.

     в) Сравним критическое значение Fкр. и F табличного.

       F_x3= 148,38 > Fтабл.= 4,098- следовательно, уравнение 3 является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х3.

     F_x2= 49,17 >Fтабл.= 4,098- следовательно, уравнение 2 является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х2.

     F_x1= 0,005 < Fтабл.= 4,098 уравнение 1 не является значимым, его использование не целесообразно, зависимая переменная Y не достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х1.

     Таким образом, проанализировав данные по всем трем критериям, можно сделать вывод, что наиболее лучшей является математическая модель, построена для фактора общая площадь квартиры, которая описана линейным уравнением Y= -14,89+1,59*X3  

     5) С использованием лучшей модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.

     Рассчитаем  прогнозное значение Х. Найдем Х_max в Excel с помощью функции МАКС. = 155 кв.м ; Х^*=0,8 *155 = 124 кв.м.

     По  уравнению модели найдем прогнозное значение

     Y^*= -14,8883+1,592401*124 = 182,5694 тыс. дол.

     Таким образом, если общая площадь квартиры составит 80% от её максимального значения и составит 155 кв.м., то ожидаемая цена квартиры будет около 182,5694 тыс. дол.

     Зададим доверительную вероятность p=1-а и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y, предварительно рассчитав стандартную ошибку прогнозирования по формуле ;

     Стандартная ошибка модели S_e= 26,207 (таблица «регрессионная статистика» итогов РЕГРЕССИИ); при помощи функции СРЗНАЧ по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение х =72,925;

     Σ (х_i- х_ср.)^2=40189,26 (функция КВАДРОТКЛ); t_кр.= 1,685954 (функция СТЬЮДРАСПОБР).

     Отсюда  S(y^*_T) = 7,85826

     Размах  доверительного интервала для среднего значения: U (y^*_T)=t_кр*S (y^*_T)= 1,686*7,858= 13,249

     Границы прогнозного интервала:

     Uнижн =y^*_T-U(y^*_T)=182,5964 -13,249 =169,3204

     Uверх = y^*_T+U(y^*_T)=182,5964+13,249=195,8184

     Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если общая площадь квартиры составит 80% от среднего значения и составит 124 кв.м., то ожидаемая средняя цена квартиры будет находиться в пределах от 169,32041 тыс. дол. до 195,8184 тыс.дол.

     Фактические и модельные значения, точки прогноза представлены графически на диаграмме:

     6). Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построить модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

     1.     Построим множественную модель регрессии, включив в нее все факторы (Х1, Х2, Х3):

     Таким образом, построена трехфакторная  модель зависимости цены квартиры от города области (Х1), числа комнат в квартире (Х2) и жилой площади (Х3). Уравнение модели имеет вид Уt=18,092+3,235*Х1+3,932*Х2+1,476*Х3

     2. При помощи программы Регрессия вычислим новую математическую модель, включив в нее факторы Х1 и Х3:

     Таким образом, модель зависимости цены квартиры от города области и общей площади построена и ее уравнение имеет вид –

     Y_t= 16,519+3,254*Х1+1,594*Х3

     3. При помощи программы Регрессия вычислим новую математическую модель, включив в нее факторы Х2 и Х3:

     Таким образом построена модель зависимости  цены квартиры от числа комнат в  квартирке и общей площади  квартиры. Её уравнение имеет вид-

Y = -16,47+3,94*Х2+1,47*Х3 

      Выберем лучшую из построенных множественных моделей. Для сравнения моделей с различным количеством учтенных в них факторов используем нормированные коэффициенты детерминации, «нормированный R-квадрат» итогов программы Регрессия. Чем больше величина коэффициента, тем лучше модель.

       Таким образом лучшая модель №3, модель зависимости цены квартиры от числа комнат в квартире (Х2)  и общей площади квартиры (Х3):

Yt = -16,47+3,94*Х2+1,47*Х3

          Коэффициент регрессии b₁= 3,94, следовательно при изменении числа комнат (Х2) на другое и неизменной общей площади (Х3), цена квартиры увеличится в среднем на 3,94 тыс. дол.

     Коэффициент регрессии b₃ = 1,47, следовательно, при увеличении общей площади квартиры и неизменном числе комнат в квартире, цена квартиры увеличится в среднем на 1,47 тыс. дол.

     Свободный коэффициент не имеет экономического смысла.

      7). Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности , β- b -коэффициентов.

     Для оценки качества выбранной модели используем аналогично п. 4. данной задачи коэффициент детерминации R-квадрат, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

     а) R-квадрат=0,798=79,8 %, следовательно, вариация цены квартиры на 79,8 % объясняется вариацией учтенных в ней факторов. (Х2 и Х3).

     б) Е_ср.отн.= 21,11. сравнение показывает, что 5%<21,11<15%,следовательно по данному критерию точность модели неудовлетворительна.