Министерство  общего и профессионального образования

Российской  Федерации

РОСТОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "РИНХ" 
 
 

ЭКОНОМЕТРИКА 

Контрольная работа 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

г. Ростов-на-Дону

2010 
Общие указания по выполнению контрольной работы 

      Номер варианта задания к контрольной работе соответствует последней цифре номера зачетной книжки. Если последняя цифра номера зачетной книжки 0, то следует выполнить 10-й вариант.

      Каждый  вариант контрольной работы содержит 4 задачи по основным разделам дисциплины. Порядковый номер задачи по каждой теме соответствует номеру варианта. Исходные данные к задачам для самостоятельной работы приведены в пунктах 1.3, 2.3, 3.3 и 4.3. Задание каждой задачи соответствует заданию типового примера.

      Результаты  расчетов всех величин необходимо приводить  с точностью до 0,001.

      Все расчеты могут быть выполнены  с использованием пакетов прикладных программ на персональном компьютере. В этом случае следует обязательно указывать название и версию использованного программного обеспечения, и также соответствующие распечатки необходимо привести в тексте работы или оформить в качестве приложения.

      Все расчеты должны сопровождаться комментариями  и интерпретацией полученных результатов.

      Указания  к выполнению контрольной работы содержат все необходимые формулы, а также содержат примеры расчетов типовых задач.

 

     Содержание

 

     Задача 1

 

     "Парная  регрессия и корреляция"

1.1. Краткие сведения из теории.

 

     Построение  поля корреляции производится по исходным данным о парах значений факторного и результативного признаков  с соблюдением масштаба. На основе поля корреляции делаются выводы о  возможной функциональной форме  связи между факторным и результативным признаками.

     Оценки  и параметров a и b в уравнении парной линейной регрессии производится методом наименьших квадратов (МНК) из условия минимума суммы квадратов отклонений Y_i от полученных по модели . Расчетные формулы:

      ,                                                                                   (1.1)

      ,                                                                                                                  (1.2)

где n – количество наблюдений в выборке, i = 1, …, n, и средние арифметические соответственно и .

     Коэффициент регрессии линейной функции  есть абсолютный показатель силы связи, характеризующий среднее абсолютное изменение результата при изменении факторного признака на единицу своего измерения.

     Линейный  коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Его можно определить по следующей формуле:

      ,                                                                                                (1.3)

где s_x и s_y среднеквадратические отклонения для переменных X и Y соответственно и .

     Значения  линейного коэффициента корреляции принадлежит промежутку [-1; 1]. Чем  ближе его абсолютное значение к 1, тем теснее линейная связь между признаками. Положительная величина свидетельствует о прямой связи между изучаемыми признаками, отрицательная – о наличии обратной связи между признаками.

     Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом  детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака. Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

     Для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициента регрессии формулируется нулевая гипотеза о том, что коэффициент регрессии статистически незначим: H₀: b=0 (линейной зависимости нет) при конкурирующей гипотезе H₁: b¹0 (линейная зависимость есть).

     Фактическое значение критерия для проверки указанной  гипотезы имеет t-распределение Стьюдента и рассчитывается по формуле:

      ,                                                                                                                           (1.4)

где m_b - стандартная ошибка коэффициента регрессии, рассчитываемая как

      ,                                                                                                    (1.5)

здесь - оценка дисперсии случайных остатков регрессии или с учетом формулы для ошибок регрессии получим

      .                                                                                                         (1.6)

     Для определения табличного значения t_{e, n-2} пользуются таблицами распределения Стьюдента для заданного уровня значимости e, принимая во внимание, что число степеней свободы для t-статистики равно (n–2).

     Далее сравнивают полученное фактическое  значение с табличным. Если фактическое  значение используемого критерия превышает табличное t>t_e,n-2 ,то нулевая гипотеза отклоняется, и с вероятностью (1–e) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости коэффициента регрессии. Если фактическое значение t-критерия меньше табличного t<t_{e, n-2} ,то оснований отклонять нулевую гипотезу нет.

     Оценка  статистической значимости построенной  модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера. В случае парной регрессии нулевая гипотеза формулируется как H₀: b=0 при конкурирующей гипотезе H₁: b¹0. Фактическое значение F-критерия может быть определено по формуле

      .                                                                                                    (1.7)

     Для определения табличного значения F_e;1;n-2 пользуются таблицами распределения Фишера для заданного уровня значимости e, принимая во внимание, что в случае парной регрессии число степеней свободы большей дисперсии равно 1, а число степеней свободы меньшей дисперсии равно (n−2).

     Если  F>F_{e; 1;n-2} , то нулевая гипотеза отклоняется, и с вероятностью (1–e) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости коэффициента регрессии. Если F< F_{e; 1;n-2}, то оснований отклонять нулевую гипотезу нет.

     Отметим, что между значениями t и F, рассчитанных по формулам (1.4) и (1.7) соответственно, существует взаимосвязь .

     Для расчета точечного прогноза необходимо подставить в уравнение регрессии заданное значение факторного признака X^*, т.е. .

     Для расчета интервального прогноза построим доверительный интервал для значения , лежащего на линии регрессии

      ,                                                                                                 (1.8)

где .

     Полученный  интервал будет характеризовать  значения результативного признака при заданном значении факторного признака X^* для отдельной наблюдаемой единицы.

 

     

1.2. Решение  задачи.

 

     Условие. 

     При исследовании годового дохода и сбережений населения получены следующие данные:

 

     Задание.  

1). Постройте поле корреляции результативного и факторного признаков.

2). Определите параметры уравнения парной линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии b.

3). Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл. Определите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию.

4). С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость коэффициента регрессии b и уравнения регрессии в целом. Сделайте выводы.

5). Рассчитайте прогнозное значение для заданного X^*=100 и постройте 95% доверительный интервал для прогноза.

 

     

     Решение.  

     1). Для условия задачи поле корреляции выглядит следующим образом:

       

     Между стоимостью размещения (Y) и тиражом газеты (X) визуально определяется прямая линейная зависимость в определенном коридоре. 

     2). Определим параметры уравнения парной линейной регрессии. Вычисления удобно организовать в таблицу. При этом сначала рассчитываются средние значения и по данным столбцов 2 и 3. Затем в столбцах 4 и 5 рассчитываются , , i = 1, …, n, и в столбце 8 их произведение.

 

     По  формуле (1.1) получим: .

     По  формуле (1.2) получим: .

     Оцененное уравнение регрессии запишется в виде .

     Интерпретация коэффициента регрессии. С увеличением дохода населения на 1 тыс. у.е. сбержения увеличатся на 0,1356 тыс.у.е. 

     3). Расчет линейного коэффициента корреляции проведем по формуле (1.3). С учетом вычислений в столбцах 6, 7 и 8 таблицы, получим:

      .

     Т.е. связь между изучаемыми переменными  прямая (коэффициент корреляции положителен) линейная.

     Определим коэффициент детерминации . Т.е. 69,9% вариации стоимости рекламы объясняется вариацией тиража газеты. 

     4). Оценим статистическую значимость коэффициента регрессии b.

     Рассчитаем  дисперсию ошибки регрессии по формуле (1.6) с учетом столбца 10 таблицы: .

     Рассчитаем  стандартную ошибку коэффициента регрессии  по формуле (5):

     Тогда по формуле (1.4) фактическое значение t статистики составит

      .

     По  таблице находим для уровня значимости по условию 1−0,95=0,05 и числа степеней свободы 15: t_0,05;13=2,162. Поскольку t_0,05;13<t, то коэффициент регрессии b значим, т.е. наличие статистической связи между стоимостью рекламы и тиражом газеты статистически подтверждается.

     Для проверки значимости уравнения регрессии  в целом воспользуемся формулой (1.7):

      .

     Поскольку табличное значение F распределения Фишера F_0,05;1;13=4,67 меньше расчетного, то гипотеза о статистической незначимости коэффициента регрессии должна быть отвергнута. Соответственно принимается гипотеза о статистической значимости гипотезы. 

     5). Рассчитаем прогнозное значение для X^*. Полученный интервал будет характеризовать значения результативного признака (стоимости рекламы) при заданном значении факторного признака (тиража газеты) для отдельной наблюдаемой единицы. Построим точечный прогноз:

      .

     Построим 95% доверительный интервал для прогноза по формуле (1.8). Определим сначала

      .

     И, следовательно:

       

     или .

     Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что прогнозное значение стоимости рекламы в газете, при тираже 150 тыс. экз. будет находиться в интервале от 0,791 до 1,671 тыс.у.е. 

 

     

Задача 2

 

     "Множественная  регрессия и корреляция"

2.1. Краткие сведения  из теории.

 

     Пусть имеется n наблюдений над переменными Y_i, X_1i, X_2i, i=1,…,n. Парные коэффициенты корреляции рассчитываются по формулам:

      ,                                              (2.1)

      .                                                          (2.2)

     Частные коэффициенты корреляции между двумя  переменными при фиксированном воздействии другой переменной рассчитываются через значения парных коэффициентов корреляции. Коэффициент частной корреляции между Y и X₁, когда X₂ является константой:

      .                                                                                 (2.3)

Коэффициент частной корреляции между Y и X₂, когда X₁ является константой:

      .                                                                                 (2.4)

Коэффициент частной корреляции между X₁ и X₂, когда Y является константой:

      .                                                                                   (2.5)

Классическая  линейная модель множественной регрессии записывается в виде:

                                                                         (2.6)

где u – случайная величина ошибки.

     Применение  МНК к (2.6) позволяет получить формулы для оценок коэффициентов:

, , ,               (2.7)

где , и среднеквадратические отклонения для переменных Y, X₁ и X₂ соответственно , и , а , и средние арифметические для переменных Y, X₁ и X₂ соответственно.

     Параметры регрессии и это показатели, характеризующие абсолютное (в натуральных единицах измерения) изменение результативного признака при изменении соответствующего факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии другого фактора.

     Значение  коэффициента детерминации (квадрат  коэффициента множественной корреляции) получается по формуле:

      .                                                                               (2.8)

     Скорректированный на число степеней свободы коэффициент  детерминации для модели (2.6) равен:

      .                                                                                             (2.9)

     Для проверки статистической значимости построенной модели регрессии в целом используется F-критерий Фишера. В случае регрессии (2.6) нулевая гипотеза формулируется как H₀: при конкурирующей гипотезе H₁: , . Фактическое значение F-критерия может быть определено по формуле

      .                                                                                                      (2.10)

     Для определения табличного значения F_{e; 2; n-3} пользуются таблицами распределения Фишера для заданного уровня значимости e, принимая во внимание, что число степеней свободы большей дисперсии равно 2, а число степеней свободы меньшей дисперсии равно (n−3).

     Если  F>F_{e; 2; n-3} , то нулевая гипотеза отклоняется, и с вероятностью (1–e) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости регрессии. Если F<F_{e; 2; n-3}  , то оснований отклонять нулевую гипотезу нет.

     Расчет  относительных показателей силы связи в уравнении множественной регрессии, частных коэффициентов эластичности, производится по формуле:

      , j=1,2.                                                                                                   (2.11)

     Частные коэффициенты эластичности Э_j показывают, на сколько процентов от значения своей средней изменяется результат при изменении фактора X_j на 1% от своей средней и при фиксированном воздействии на Y других факторов, включенных в уравнение регрессии.

     Доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии строятся так:

                                                                                     (2.12)

     В (2.12) t_{e; n-3} − табличное значение t распределения Стьюдента для уровня значимости e и n−3 степеней свободы, а − стандартная ошибка коэффициента регрессии , вычисляемая по формуле

      ,                                                                                  (2.13)

     Если  в доверительный интервал попадает ноль, то делается вывод о незначимости коэффициента регрессии, для которого построен этот интервал, иначе коэффициент регрессии значим.

 

     

2.2. Решение задачи.

 

     Условие. 

     Изучается влияние стоимости основных (X₁) и оборотных (X₂) средств на величину валового дохода (Y) торговых предприятий г. Ростова-на-Дону. Для этого по 15 торговым предприятиям были получены следующие данные в млн. руб.:

 

     Задание. 

1). Определите парные и частные коэффициенты корреляции. Сделайте выводы.

2). Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните смысл его параметров. Рассчитайте скорректированный коэффициент детерминации.

3). Проверьте значимость уравнения регрессии на 95% уровне.

4). Рассчитайте коэффициенты эластичности. Дайте их интерпретацию.

5). Постройте 95% доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Проверьте значимость каждого из коэффициентов. 

     Решение. 

     1). Проведем следующие обозначения:

Валовой доход –

Среднегодовая стоимость оборотных средств -

Среднегодовая стоимость основных фондов -

     Рассчитаем  средние значения переменных:

              .

     Определим парные коэффициенты корреляции по формулам (2.1) и (2.2).

      .

      .

      .

     Значение  парного коэффициента корреляции свидетельствует  о сильной линейной связи между переменными Y и X₁, X₂ и Y, X₁ и X₂. Таким образом, можно сделать предварительное заключение, что среднегодовая стоимость основных фондов и среднегодовая стоимость оборотных средств, существенно влияют на валовой доход.

     Расчет  частных коэффициентов корреляции по формулам (2.3)-(2.5) дает соответственно:

      .

      .

      .

     Коэффициенты  частной корреляции дают более точную характеристику тесноты зависимости двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как "очищают" парную зависимость от взаимодействия данной пары переменных с другими переменными, представленными в модели. Наиболее тесно связаны Y и X₁, Y и X₂. Связь между переменными X₁ и X₂ слабая. При сравнении коэффициентов парной и частной корреляции видно, что из-за влияния межфакторной зависимости между X₁ и X₂ происходит завышение оценки тесноты связи между переменными.