Контрольная работа по "Эконометрике". 46

 

Содержание

 

 

 

 

Задание 1 Парная регрессия

 

Имеются данные за 12 месяцев  года по району города о рынке вторичного жилья (y – стоимость квартиры (тыс. у.е.), x – размер общей площади (м²)). Данные приведены в таблице

месяц	y	x
1	23,0	22,8
2	26,8	27,5
3	28,0	34,5
4	18,4	26,4
5	30,4	19,8
6	20,8	17,9
7	22,4	25,2
8	21,8	20,1
9	18,5	20,7
10	23,5	21,4
11	16,7	19,8
12	20,4	24,5

 

 

Задание:

1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий и .

2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

5. С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.

6. Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .

Решение

Все расчеты в таблице велись по формулам

.

Тогда

,

 

и линейное уравнение регрессии примет вид:

.

Рассчитаем коэффициент корреляции:

0,33*4,42/3,93 = 0,37

Так как значение коэффициента корреляции близко к нулю, то связь между признаком и фактором не тесная.

Вычислим значение -критерия Фишера.

,

 

где – число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной ; – объем совокупности.

 

.

 

 

 

месяц													А(%)
1	22,8	519,84	23	524,4	529	0,44	-0,58	0,19	0,34	22,36	0,64	0,40	2,77
2	27,5	756,25	26,8	737	718,24	4,24	4,12	17,98	16,97	23,92	2,89	8,32	10,76
3	34,5	1190,25	28	966	784	5,44	11,12	29,59	123,65	26,23	1,78	3,15	6,34
4	26,4	696,96	18,4	485,76	338,56	-4,16	3,02	17,31	9,12	23,55	-5,15	26,54	28,00
5	19,8	392,04	30,4	601,92	924,16	7,84	-3,58	61,47	12,82	21,37	9,03	81,47	29,69
6	17,9	320,41	20,8	372,32	432,64	-1,76	-5,48	3,10	30,03	20,75	0,05	0,00	0,25
7	25,2	635,04	22,4	564,48	501,76	-0,16	1,82	0,03	3,31	23,16	-0,76	0,57	3,38
8	20,1	404,01	21,8	438,18	475,24	-0,76	-3,28	0,58	10,76	21,47	0,33	0,11	1,50
9	20,7	428,49	18,5	382,95	342,25	-4,06	-2,68	16,48	7,18	21,67	-3,17	10,06	17,14
10	21,4	457,96	23,5	502,9	552,25	0,94	-1,98	0,88	3,92	21,90	1,60	2,55	6,80
11	19,8	392,04	16,7	330,66	278,89	-5,86	-3,58	34,34	12,82	21,37	-4,67	21,85	27,99
12	24,5	600,25	20,4	499,8	416,16	-2,16	1,12	4,67	1,25	22,93	-2,53	6,38	12,38
сумма	280,6	6793,54	270,7	6406,37	6293,15	-0,02	0,04	186,61	232,18	270,68	0,02	161,40215	147,01
среднее	23,38	566,13	22,56	533,86	524,43	0,00	0,00	15,55	19,35	22,56	0,00	13,45	12,25
	4,42		3,93
	19,51		15,48

 

 

 

 

 

 

 

По таблице распределения Фишера находим .

Так как  , то гипотеза о статистической незначимости параметра уравнения регрессии применяется.

Так как  , то можно сказать, что 13,69% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.

Средняя ошибка аппроксимации  вышла за допустимые пределы (8 - 10%), что говорит о ненадежности выбранной модели регрессии.

Рассчитаем  . Тогда .

Средняя ошибка прогноза

,

 где

,

.

Строим доверительный  интервал с заданной доверительной вероятностью :  

,

,

.

Найденный интервальный прогноз не достаточно точен, т.к. .

 

Задание 2 Множественная регрессия

 

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати  месяцев 199Х года. Известны – чистый доход (у), оборот капитала (х₁), использованный капитал (х₂) в млрд. у.е.

 

у	х1	х2
3,0	18,0	6,6
3,3	16,7	15,4
3,6	16,2	13,3
5,5	53,1	27,1
3,0	35,3	16,4
2,7	93,6	25,4
2,4	31,5	12,5
1,8	13,8	6,5
1,6	30,4	15,8
0,9	31,3	18,9
6,5	107,9	50,4
3,6	16,2	13,3

 

 

Задание:

1. Рассчитайте параметры  линейного уравнения множественной  регрессии.

2. Дайте оценку силы  связи факторов с результатом  с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую  зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01).

4. Рассчитайте среднюю  ошибку аппроксимации. Сделайте  вывод.

5. Составьте матрицы  парных и частных коэффициентов  корреляции и укажите информативные  факторы.

6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

 

 

Решение. Результаты расчетов приведены в таблице

	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2	x12	x22	y2
1	3,0	18,0	6,6	607,2	76,56	266,8	2116	33,64	174,24
2	3,3	16,7	15,4	860,19	135,15	459,85	2926,8	72,25	252,81
3	3,6	16,2	13,3	819,72	129,6	404,8	2560,4	64	262,44
4	5,5	53,1	27,1	674,52	80,08	227,76	1918,4	27,04	237,16
5	3,0	35,3	16,4	1116,12	170,4	943,2	6178	144	201,64
6	2,7	93,6	25,4	662,2	79,2	433,44	3624	51,84	121
7	2,4	31,5	12,5	1059,22	147,7	351,4	2520	49	445,21
8	1,8	13,8	6,5	732,98	97,82	399,31	2992,1	53,29	179,56
9	1,6	30,4	15,8	667,68	85,8	235,4	1831,8	30,25	243,36
10	0,9	31,3	18,9	773,12	93,44	440,92	3648,2	53,29	163,84
11	6,5	107,9	50,4	684,4	84,1	273,76	2227,8	33,64	210,25
12	3,6	16,2	13,3	613,06	78,52	211,12	1648,4	27,04	228,01
	178,4	629,2	84,8	9270,41	1258,37	4647,8	34192	639,28	2719,52
Средн.	14,87	52,43	7,07	772,53	104,86	387,31	2849,33	53,27	226,63
	2,35	10,02	1,81
	5,51	100,43	3,29

 

Рассматриваем уравнение вида:

.

Параметры уравнения можно найти  из решения системы уравнений:

Или, перейдя к уравнению в  стандартизированном масштабе:

,

где – стандартизированные переменные, – стандартизированные коэффициенты:

Коэффициенты  определяются из системы уравнений:

 

,                                                ;

                                                ;

,                       ;

,                         ;

,                           ;

,        ;

,                         ;

.

Стандартизированная форма уравнения  регрессии имеет вид:

.

Естественная форма уравнения  регрессии имеет вид:

.

Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:

,

,                 .

Следовательно, при сокращении оборота  капитала (x₁) на 1% чистый доход (y) увеличивается на 5,39% от своего среднего уровня. При повышении среднегодовой стоимости капитала на 1% чистый доход повышается на 0,637% от своего среднего уровня.

Линейные коэффициенты частной  корреляции определяются следующим  образом:

,

.

Значения коэффициентов частной корреляции дают возможность сделать вывод о не слабой межфакторной связи ( ).

Линейный коэффициент множественной  корреляции рассчитывается по формуле

.

Коэффициент множественной  детерминации .

, где  - объем выборки, - число факторов модели. В нашем случае

.

Так как  , то и потому уравнение значимо в целом.

Выясним статистическую значимость каждого  фактора в уравнении множественной  регрессии.

Для этого рассчитаем частные  -статистики.

Так как  , то и следует вывод о целесообразности включения в модель фактора после фактора .

.

Так как  , то следует вывод о целесообразности включения в модель фактора после фактора .

4. Результаты расчетов  позволяют сделать вывод:

1. о значимости фактора и целесообразности включения его в уравнение регрессии;
2. о значимости фактора и целесообразности включения его в уравнение регрессии.

В результате значимой оказалась модель .

 

 

Задание 3 Системы эконометрических уравнений

 

1. Используя необходимое  и достаточное условие идентификации,  определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.

2. Определите тип модели.

3. Определите метод оценки параметров  модели.

4. Опишите последовательность действий  при использовании указанного  метода.

5. Результаты оформите в виде  пояснительной записки.

Модель денежного рынка:

R_t = a₁+b₁₁M_t+b₁₂Y_t+e₁,

Y_t = a₂+b₂₁R_t+ b₂₂I_t +e₂,

I_t = a₃+b₃₃R_t+e₁,

где R – процентные ставки;

Y – ВВП;

M – денежная масса;

I – внутренние инвестиции/

 

Модель имеет три  эндогенные (у₁у₂у₃) и три экзогенные переменные (х₁х₂х₃).

Проверим необходимое условие идентификации:

1-е уравнение: D = 1 (x₃), H = 2 (у₁,у₂), D + 1 = H - уравнение идентифицировано.

2-е  уравнение: D = 2 (х₁,х₃), H = 3 (у₁,у₂,у₃), D + 1 = H - уравнение идентифицировано.

3-е  уравнение: D=1 (x₂), H = 2 (у₂,у₃), D + 1=H - уравнение идентифицировано.

Следовательно, необходимое  условие идентифицируемости выполнено.

Проверим достаточное  условие:

В первом уравнении нет  переменных х₃, у₃

Строим матрицу:

 

 

	Х3	У3
2 ур.	0	0
3 ур.	b33	-1

det M = det , rank M =2.

Во втором уравнении  нет переменных х₁, х₃

Строим матрицу:

	Х1	х3
1 ур.	b11	0
3 ур.	b31	b33

 

det M = det , rank M =2.

В  третьем уравнении  нет переменных у₁, х₂

Строим матрицу:

	У1	Х2
1 ур.	-1	b11
2 ур.	C21	b22

 

det M = det , rank M =2.

Следовательно, достаточное  условие идентифицируемости выполнено.

Система точно идентифицируема.

Найдем структурные  коэффициенты модели.

Для этого запишем систему в матричной форме, перенеся все эндогенные переменные в левые части системы:

y₁-с₁₂y₂ =а₁ + a₁₁x₁+b₁₂x₂+e₁,

-c₂₁y₁+y₂ = а₂ + b₂₂x₂+e₂,

y₃ = a₃+b₃₁X₁ + b₃₃X₃₊e₃.

 

откуда , и , , , .

Решаем систему относительно : . Найдем

                                    ,                                        где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , – минор, т.е. определитель, полученный из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

 

,

 

,

,

.

 

Поэтому

 

 

Сравнивая полученную систему с системой (3.2), получим систему из 9 уравнений с 9 неизвестными, после решения которой находим коэффициенты структурной формы.

В данном случае эти коэффициенты можно найти значительно проще. Находим из второго уравнения приведенной системы (3.2) и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда первое уравнение системы (3.1) примет вид: , откуда , . Из третьего уравнения системы (3.2) находим и подставляем во второе уравнение системы, получим: , решая его совместно с уравнением и, исключая , получим . Сравнивая это уравнение со вторым уравнением системы (3.1), получим . Выражая из второго уравнения, и подставляя в третье системы (3.2), получим . Сравнивая это уравнение с третьим уравнением системы (3.1), получим .

 

Задание 4 Анализ временных рядов

 

Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через отделение пластической хирургии в течение дня.

День	Количество человек
1	22
2	19
3	11
4	12
5	16
6	28
7	30
8	18
9	17
10	20
11	21
12	19
13	24
14	13
15	16

 

Требуется:

1. Определить коэффициенты  автокорреляции уровней ряда  первого и второго порядка.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3. Сделать выводы.

4. Результаты оформить  в виде пояснительной записки.

 

Решение.

 

Определим коэффициент  корреляции между рядами и . Расчеты приведены в таблице:

 

 

 

	день
	1	22	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	2	19	22	-	0,98	-0,04	0,9604	0,0016	-	-	-	-	-0,0392	-
	3	11	19	22	0,08	1,06	0,0064	1,1236	0,18	0,11	0,0324	0,0121	0,0848	0,00356
	4	12	11	19	-1,02	0,16	1,0404	0,0256	-0,92	1,21	0,8464	1,4641	-0,1632	1,02414
	5	16	12	11	-1,22	-0,94	1,4884	0,8836	-1,12	0,31	1,2544	0,0961	1,1468	0,38886
	6	28	16	12	-1,42	-1,14	2,0164	1,2996	-1,32	-0,79	1,7424	0,6241	1,6188	-1,3765
	7	30	28	16	-0,02	-1,34	0,0004	1,7956	0,08	-0,99	0,0064	0,9801	0,0268	-0,00634
	8	18	30	28	0,38	0,06	0,1444	0,0036	0,48	-1,19	0,2304	1,4161	0,0228	-0,27418
	9	17	18	30	-0,52	0,46	0,2704	0,2116	-0,42	0,21	0,1764	0,0441	-0,2392	0,03704
	10	20	17	18	0,58	-0,44	0,3364	0,1936	0,68	0,61	0,4624	0,3721	-0,2552	0,28206
	11	21	20	17	1,38	0,66	1,9044	0,4356	1,48	-0,29	2,1904	0,0841	0,9108	-0,63522
	12	19	21	20	0,78	1,46	0,6084	2,1316	0,88	0,81	0,7744	0,6561	1,1388	0,62726
	13	24	19	21
	14	13	24	19
	15	16	13	24
сумма					-0,02	-0,04	8,7764	8,1056	0	0	7,716	5,749	4,2528	0,07072

 

 

 

 

Результат говорит о слабой зависимости между продажами автомобилей текущего и непосредственно предшествующего годов.

Определим коэффициент  автокорреляции второго порядка:

 

Результат подтверждает отсутствие зависимости между рядами.

Выбираем линейное уравнение тренда:  .

Параметры определим, используя  МНК. Результаты расчетов приведены в таблице

	t										А(%)
	1	22	484	22	-7	49	19,05	2,95	8,69	13,40	484
	2	19	361	38	-6	36	19,05	-0,05	0,00	0,28	361
	3	11	121	33	-5	25	19,06	-8,06	64,90	73,24	121
	4	12	144	48	-4	16	19,06	-7,06	49,82	58,82	144
	5	16	256	80	-3	9	19,06	-3,06	9,36	19,13	256
	6	28	784	168	-2	4	19,06	8,94	79,89	31,92	784
	7	30	900	210	-1	1	19,06	10,94	119,60	36,45	900
	8	18	324	144	0	0	19,07	-1,07	1,14	5,92	324
	9	17	289	153	1	1	19,07	-2,07	4,28	12,16	289
	10	20	400	200	2	4	19,07	0,93	0,86	4,65	400
	11	21	441	231	3	9	19,07	1,93	3,72	9,18	441
	12	19	361	228	4	16	19,07	-0,07	0,01	0,39	361
	13	24	576	312	5	25	19,08	4,92	24,25	20,52	576
	14	13	169	182	6	36	19,08	-6,08	36,94	46,75	169
	15	16	256	240	7	49	19,08	-3,08	9,49	19,25	256
	120	286	5866	2289	0	280			412,93	352,06	5866
Ср.	8	19,07	391,07	152,60		18,67				23,5	391,07

 

.

Уравнение тренда примет вид: , коэффициент корреляции .

Расчетное значение критерия Фишера равно ,

, следовательно, уравнение статистически  не значимо.

О плохом подборе модели говорит и высокое значение ошибки аппроксимации (23,5%).

 

Библиографический список

 

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 2008.

2. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999.

3. Магнус Я.Р.,  Катышев П.К.,  Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный курс. – М.: Дело, 2009.

4. Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2007.

5. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ, 2007.

6. Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2008.