Контрольная работа по "Эконометрике". 69

Министерство  образования и науки РФ

Федеральное агентство  по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный  финансово-экономический институт

Кафедра экономико-математических методов и моделей

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине:

«Эконометрика»

 

Вариант № 5

 

 

 

 

 

Выполнил: студентка

                                         Финансово-кредитного ф-та

                                                                                                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

План работы

 

 

1.Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области…………………………..……………......	3
2.Задача 2     Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда……………….	27
Список использованной литературы…………………………………………	40

 

 

Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области.

Задание по эконометрическому моделированию  стоимости квартир в Московской области:

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость  коэффициентов корреляции.
2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора. 
3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для каждого фактора Х.
4. Оцените качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель.
5. Для выбранной модели осуществите прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора составит 80% от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения,  точки прогноза.
6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, b - и D - коэффициентов.

 

Таблица 1.   Наименования показателей

 

Обозначение	Наименование  показателя	Единица измерения  (возможные  значения)
Y	цена квартиры	тыс. долл.
X3	общая площадь квартиры	кв. м
X5	этаж квартиры
X6	площадь кухни	кв. м

 

 

Таблица 2  Исходные данные для эконометрического моделирования стоимости квартир

 

№	Y	X3	X5	X6
1	116,4	70.4	9	7
2	86,4	82.8	5	10
3	70,4	64.5	6	10
4	58,4	55.1	1	9
5	186	83.9	1	9
6	57,4	32.2	2	7
7	86,4	65	12	8.3
8	266,4	169.5	10	16.5
9	62,05	74	11	12.1
10	131,4	87	6	6
11	47,4	44	2	10
12	116,4	60	2	7
13	72,36	65.7	5	12.5
14	40,9	42	7	11
15	80,3	49.3	14	13.6
16	61,4	64.5	11	12
17	101,4	93.8	1	9
18	52,4	64	6	12
19	158,4	98	2	11
20	124,9	107.5	12	12.3
21	56,6	48	9	12
22	96,9	80	6	12.5
23	59	63.9	5	11.4
24	65,9	58.1	10	10.6
25	93,4	83	9	6.5
26	101,4	73.4	2	7
27	82,4	45.5	3	6.3
28	66,4	32	5	6.6
29	111,4	65.2	10	9.6
30	43,5	40.3	13	10.8
31	136,4	72	12	10
32	41	36	5	8.6
33	58,4	61.6	8	10
34	81,4	35.5	4	8.5
35	62,4	58.1	10	10.6
36	71	83	4	12
37	251,4	152	15	13.3
38	65,9	64.5	12	8.6
39	126,4	54	8	9
40	153,7	89	7	13

 

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции.

Ответ:

Таблица 3 Матрица  коэффициентов парной корреляции

 

	Y  Стоимость квартиры, тыс. долл.	X3  Общая площадь квартиры, кв. м.	X5  Этаж квартиры	X6  Площадь кухни, кв. м.
Y  Стоимость квартиры, тыс. долл.	1
X3  Общая площадь квартиры, кв. м.	0,845551302	1
X5  Этаж квартиры	0,146382617	0,228859567	1
X6  Площадь кухни, кв. м.	0,277274009	0,485159132	0,413008439	1

 

Оценка статистической значимости коэффициентов корреляции при уровне значимости α= 0,05:

t_{набл. ух3} > t_табл. ;  9,7628 > 2,0244; r_y,x3  - значимо;

t_{набл. ух5 <} t_табл. ; 0,9122 < 2,0244; r_y,x5  - незначимо;

t_{набл. ух6}  < t_табл. ; 1,7790 < 2,0244; r_y,x6  - незначимо.

Коэффициент корреляции r_y,x3 = 0,845551302 имеет наибольшую величину и является значимым, можем его использовать при расчете модели линейной регрессии.

Значения коэффициентов корреляции r_y,x5=0,146382617 и r_y,x6 =0,277274009 мы исключаем, как незначимые и при расчете модели линейной регрессии не учитываем.

r_х6,x3 = 0,49 <0,8 мультиколлинеарности нет

Вывод: Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции (Таблица 3) показывает, что переменная Х3 (общая площадь квартиры) r_yx3=0,845551302 имеет тесную статистическую взаимосвязь с Y (стоимость квартиры). Коэффициент корреляции высокий по шкале Чеддока 0,9>(r_yx3=0,845551302)>0,7 и имеет положительное значение (1>r_yx3>0), что свидетельствует о прямой связи, поэтому мы можем предположить тенденцию возрастания стоимости квартиры (Y) при возрастании общей площади квартиры (Х3).

Переменные Х5 (этаж квартиры) и Х6 (площадь кухни) имеют слабую статистическую связь с Y (стоимость квартиры) по шкале Чеддока                (0,1<r_yx5 и r _yx6 < 0,3) с Y (стоимость квартиры), однако, факторы Х₃ (общая площадь квартиры) и Х₆ (площадь кухни) имеют заметную прямую связь между собой (r_x3x6=0,485159132>0,4), но r_x3x6=0,485159132<0,8 что свидетельствует об отсутствии мультиколлинеарности.

 

1.1 Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции.

Решение:

Коэффициенты  парной корреляции используются для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества и не являются доказательством того, что между исследуемыми признаками существует причинно – следственная связь, а представляют собой оценку степени взаимной согласованности в изменениях признаков.

Для множества m признаков n наблюдений получают матрицу коэффициентов парной корреляции.

Количество  наблюдений n=40

Количество  факторов (переменных) m=3

 

Рассчитываем матрицу  парных коэффициентов корреляции с  использованием надстройки Excel:

• Вводим данные для корреляционного анализа, расположив их в смежных диапазонах ячеек (Y, Х3,Х5,Х6);
• Выбираем команду Сервис-анализ данных-корреляция-задаем входной интервал (Y, Х3,Х5,Х6) вместе с надписями, по столбцам, метки, новый рабочий лист-ОК.
• Результат (Таблица3).

 

Произведем оценку и отсев части факторов. Это достигается анализом парных коэффициентов корреляции и оценкой их значимости.

Коэффициент парной корреляции определяется по формуле:

 

r_y,x= ,

где S_x²= , S_y²= - оценки дисперсий величин Х и Y.

Коэффициент парной корреляции также можно определить с использованием надстройки Excel:

• Выбираем пустую ячейку. Функция-КОРЕЛЛ-выбираем без надписи значения Y для массива 1 и значения одного фактора Хi для массива 2-ОК.

 

2. Оценка статистической значимости коэффициентов парной корреляции с использованием t - критерия Стьюдента.

Решение:

Для качественной оценки статистической значимости парных коэффициентов  корреляции при малых объемах  выборки оценка значимости коэффициента корреляции выполняется с использованием t – критерия Стьюдента по следующей формуле:

 

t_{набл. ух3} = 9,7628

t_{набл. ух5} = 0,9122

t_{набл. ух6} = 1,7790

 

Критическое значение t-критерия (t_табл.) берется из таблицы значений                        t Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы.

Число степеней свободы k=n-2 = 40-2 = 38

Выбираем уровень значимости α= 0,05

 

 

(t_табл.) можно определить с использованием надстройки Excel:

• Выбираем пустую ячейку. Функция-СТЬЮДРАСПОБР-задаем вероятность = 0,05 и степени свободы =38- ОК

t_табл. = 2,0244 при _{(α=0,05; k=n-2=38)}

Сравниваем числовые значения критериев: если t_расч > t_табл., то полученное значение коэффициента корреляции значимо.

t_{набл. ух3} > t_табл. ;  9,7628 > 2,0244

t_{набл. ух5 <} t_табл. ; 0,9122 < 2,0244

t_{набл. ух6}  < t_табл. ; 1,7790 < 2,0244

Вывод: Полученные значения коэффициентов корреляции:

r_y,x3  - значимо;

r_y,x5  - незначимо;

r_y,x6  - незначимо.

Коэффициент корреляции r_y,x3 = 0,845551302 имеет наибольшую величину и является значимым.

Значения коэффициентов корреляции r_y,x5=0,146382617 и r_y,x6 =0,277274009 мы исключаем как незначимые.

 

2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.

Ответ:

Построив график, можно определить, линейны ли зависимости между           Y (ценой квартиры) и влияющим фактором Х3 (общей площадью квартиры).

Строим поле корреляции (диаграмму рассеяния) результативного  признака Y с использованием Excel:

• Размещаем столбцы сначала Х, затем Y, выделяем значения (вместе с надписями) результативного признака Y и наиболее тесно связанного с ним фактора Х3 - вызываем мастер диаграмм, тип точечная, готово;
• Диаграмма – построить линию тренда

 

 

 

График 1

Проводим линию тренда.

График 2

Вывод: Полученное корреляционное поле (График 1) иллюстрирует линейную взаимосвязь цены квартиры (Y) от наиболее тесно связанного с ним фактора - общей площади (Х3), характеризующуюся незначительным разбросом точек от прямой (График 2). По мере того как возрастает сила линейной связи, точки на графике будут лежать более близко к прямой линии, а величина r_ху будет ближе к единице.

3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для каждого фактора Х.

Ответ:

Уравнения парной регрессии  для каждого фактора Х:

y_х3=-11,7088+1,5426*Х₃

y_х5=81,7428+1,8876*Х₅

y_х6=34,7729+5,9947*Х₆

Вывод: Для первого уравнения α=-11,7088 не имеет экономической целесообразности, так как при общей площади квартиры равной нулю, стоимость тоже будет равна нулю.

Для всех трех уравнений β>0, переменные Х_i (общая площадь квартиры, этаж квартиры и площадь кухни) и y_i (цена квартиры) положительно коррелированны и имеют прямую связь.

Решение:

Для проведения регрессионного анализа с использованием надстройки Excel:

• Выбераем команду СервисÞАнализ данных.
• В диалоговом окне Анализ данных выбираем инструмент Регрессия.
• В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводим вместе с надписями адрес одного диапазона ячеек, который  представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х вводим с надписями адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных. По очереди вводим Х3,Х5,Х6, три модели.
• Так как выделены и заголовки столбцов, то устанавливаем флажок Метки в первой строке. отмечаем галочками: уровень надежности 95%, новый рабочий лист, остатки, график подбора и график остатков -ОК
• Результат: три протокола с выводом остатков (Таблицы 4,5,6), три уравнения парной регрессии, графики подбора (Графики 3,5,7) и графики остатков для каждого Х (Графики 4,6,8).

Основная задача регрессионного анализа заключается в исследовании зависимости изучаемой переменной от различных факторов и отображении их взаимосвязи в форме регрессионной модели.

Линейное уравнение  связи двух переменных (парную регрессию) представим в виде:

у_i=α+β*х_i+ε_i

где α – постоянная величина (или свободный член уравнения);

β – коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений.

ε_i – случайная составляющая отражает тот факт, что изменение у_i будет неточно описываться изменением Х, поскольку присутствуют другие факторы, неучтённые в данной модели.

Систематическую часть можно представить в виде уравнения:

ŷ_i=α+β*х_i

Коэффициент регрессии β характеризует изменение переменной у_i при изменении значения х_i на единицу. Если β>0, переменные х_i и у_i положительно коррелированны и имеют прямую связь, если β<0 – отрицательно коррелированны и имеют обратную связь.

Оценки наименьших квадратов:

Коэффициент регрессии β вычисляется по формуле:

 

 

При   ≠ 0

Вычислим  Коэффициент регрессии β для фактора Х3 используя Exсel:

• Функция - ЛИНЕЙН - (известные_значения_у: выделяем значения столбца Y; известные_значения_х: выделяем значения столбца Х3; константа: выделяем значение коэффициента Y-пересечение из протокола; статистика: выделяем значение t-статистика для Y-пересечение из протокола)- ОК.

 

или используем следующие формулы:

Таблица 7

Наименование показателя в отчёте Excel	Принятые наименование	Формула
Множественный R	Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляции	R=
R – квадрат	Коэффициент детерминации R2	R2=1-
Нормированный R – квадрат	Скорректированный R2
Стандартная ошибка	Среднеквадратическое отклонение от модели	Se=
Наблюдения	Количество наблюдений n	n

 

Таблица 8

	df – число степеней свободы	SS – сумма квадратов	MS – среднее значение	F – критерий Фишера
Регрессия	k=1		/k	F=
Остаток	n-k-1=38		/(n-k-1)
Итого	n-1=39

 

4. Оцените качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель.

Ответ:

Лучшая модель парной регрессии фактора Х3; y₃=-11,7088+1,5426*Х_3. Поскольку только для этой модели F_расч > F_табл, уравнение регрессии следует признать адекватным. Коэффициент детерминации (R²⁼0,592395) высокий, близкий к 1, хорошее качество модели. 59% вариации зависимой переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора Х₃ (общая площадь квартиры).

В нашей  задаче β₃=1,5426 (коэффициент при Х₃) показывает, что при увеличении общей площади квартиры на 1 м², цена квартиры увеличится на 1,5426 тыс. долл.

Критерии	Первая модель Для Х3	Вторая модель Для Х5	Третья модель Для Х6	Выводы
R2-коэффициент детерминации	0.592395	0.021428	0.076881	Модель Х3 лучше
- средняя ошибка аппроксимации	28%	46 %	49 %	Модель Х3 лучше
F-критерий Фишера	95,3132216	0,832088977	3,164784713	Fтабл.=  4,098172 Модель Х3 адекватна, остальные  нет

 

Решение:

4.1 Оценим качество моделей через коэффициенты детерминации R² для всех факторов (Х).

 

Коэффициент детерминации R² рассчитывается по формуле:

• Оценим качество первой модели для фактора Х3 (общей площади квартиры):

 y₃=-11,7088+1,5426*Х₃ R

Коэффициент детерминации высокий, близкий к 1, хорошее качество модели.

Коэффициент детерминации показывает, что около 71% вариации зависимой  переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием на него включённых факторов.

 

• Оценим качество второй модели для фактора Х5 (этажа квартиры):

y₅=81,74288+1,8876*Х₅

Коэффициент детерминации очень низкий, близкий к 0, фактор почти не влияет на Y (стоимость квартиры).

• Оценим качество третьей модели для фактора Х6 (площади кухни):

y₆=34,77295+5,9947*Х₆

Коэффициент детерминации очень низкий, близкий к 0, фактор почти не влияет на Y (стоимость квартиры).

2. Для оценки качества регрессионных моделей рассчитаем величину средней ошибки аппроксимации для всех факторов.

Средняя относительная ошибка аппроксимации вычисляется по формуле:

 

 

Подставляя в уравнения регрессии фактические значения факторов Х_i, найдем ŷ_i

Вычисляем остаток e_i , который представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от ее значения, полученного расчетным путем.

e_i= y_{i −} ŷ_i

Или берем остатки e_i из протокола регрессионного анализа (для первой модели Таблица 4, для второй Таблица 5, для третьей модели Таблица 6)

Рассчитаем E_i по формуле:

 

Для того чтобы получить значение e_i/y_i по модулю │e_i/y_i│*100 необходимо воспользоваться функцией Exсel – функция -ABS (выделяем значение e₁, / на y₁*100), а затем суммировать столбец и разделить на n.

 

• Для первого фактора Х3; y₃=-11,7088+1,5426*Х₃

 

= 27,87 = 28 %

 

• Для второго фактора Х₅ ; y₅=81,74288+1,8876*Х₅

 

= 45,78= 46 %

• Для третьего фактора Х_6;; y₆=34,77295+5,9947*Х₆

 

= 48,63 = 49%.

 

< 7% свидетельствует о хорошем  качестве модели. Чем меньше рассеяние  эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации.

Наиболее удачная модель для фактора Х3; y₃=-11,7088+1,5426*Х₃

3. Проверку значимости уравнений регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера:

F= ,

 

n- количетво наблюдений.= 40

k – количество факторов, включенных в модель = 1

α – уровнень значимости = 0,05

Табличное значение F-критерия можно  найти EXCEL: Fтабл.= 4,098172

• Функция – FРАСПОБР - при доверительной вероятности 0,05;
• Степень свободы 1 = k =1;
• Степень свободы 2 = n – k -1= 40 - 1 - 1=38

 

 

4.3.1 

 

F-критерий Фишера для фактора Х3 можем взять из протокола регрессионного анализа Excel (F) для фактора Х3

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	1	73931,13794	73931,13794	95,31322

 

4.3.2 

Также F-критерий Фишера для фактора Х5 можем взять из протокола регрессионного анализа Excel (F) для фактора Х5 .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	1	2215,779194	2215,779194	0,832088977

 

4.3.3

Также F-критерий Фишера для фактора Х6 можем взять из протокола регрессионного анализа Excel (F) для фактора Х6 .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	1	7949,975478	7949,975478	3,164784713

 

Fyx3 =95,3132216 > Fтабл.= 4,098172

Fyx5=0,832088977< Fтабл.= 4,098172

Fyx6=3,164784713 < Fтабл.= 4,098172

Поскольку только для  модели фактора Х3; y₃=-11,7088+1,5426*Х₃ F_расч > F_табл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

 

5. Осуществить прогнозирование для лучшей модели среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

 

Ответ:

Прогнозное значение для модели y_х3i=-11,7088+1,5426*Х_3i

= 196,07 с вероятностью 80% будет  находиться между верхней границей, равной 196,07 + 50,72 =246,79 и нижней границей, равной 196,07 - 50,72 =145,35

Фактические и модельные  значения точки прогноза представлены на Графике 9 (изображены треугольниками, черный треугольник – модельное значение, белые треугольники – фактическое значение точки прогноза, черный ромб – среднее значение Y_сред=93,65, Х_сред=69,21).

Координаты точки прогноза модельной: Y_прогн=196,07, Х_прогн=135,6;

Координаты точки прогноза фактические:

верхний предел: Y_прогн=246,79, Х_прогн=135,6;

нижний предел: Y_прогн=145,35, Х_прогн=135,6

 

Решение: Прогнозирование по регрессионной модели: прогнозируемое значение переменной Y получается при подстановке в уравнение регрессии прогнозируемой величины фактора Х_прогн..

Определяем Х_прогн. : выбираем самое большое значение Х_3max с помощью Excel:

• функция - МАКС(выделяем диапазон значений Х3)- ОК.

Зная Х_3max можно рассчитать Х _прогн.:

Х_3max=169,5

Х_прогн. = 169,5*80% /100=169,5*0,8=135,6 м²

Y_сред=95,05 тыс. долл.

Для того, чтобы определить цену квартиры при общей площади квартиры 135,6 м², необходимо подставить значение Х_прогн в полученную модель: