Контрольная работа по "Эконометрике". 31

СОДЕРЖАНИЕ

ЗАДАЧА 1

По исходным данным за 16 месяцев, представленным в таблице 1, постройте уравнение зависимости объема предложения некоторого блага Y для функционирующей в условиях конкуренции фирмы от цены Х1 этого блага и заработной платы Х2 сотрудников этой фирмы.

Таблица 1

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.
2. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.
3. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.
4. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

Решение:

1. Для получения отчета по построению модели в среде Excel необходимо выполнить следующие действия:

В меню Сервис выбираем раздел Анализ данных. На экране появится окно (рис. 1)

Рис. 1. Диалоговое окно Анализ данных

В появившемся окне выбираем пункт Регрессия. Появляется диалоговое окно, в котором задаем необходимые параметры (рис. 2).

Рис. 2. Диалоговое окно Регрессия

Вид отчета о результатах регрессионного анализа представлен на рис. 3.

Рис. 3. Результаты

Рассмотрим таблицу «Регрессионная статистика».

Множественный R – это , где R2 – коэффициент детерминации.

R-квадрат – это R2. В нашем примере значение R2 = 0,9696 свидетельствует о том, что изменения зависимой переменной Y в основном (на 96,96%) можно объяснить изменениями включенных в модель объясняющих переменных – Х1, Х2. Такое значение свидетельствует об адекватности модели.

Нормированный R-квадрат – поправленный (скорректированный по числу степеней свободы) коэффициент детерминации.

Стандартная ошибка регрессии S = , где S2 = – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии); n – число наблюдений (в нашем примере равно 16), m – число объясняющих переменных (в нашем примере равно 2).

Наблюдения – число наблюдений n.

Рассмотрим таблицу с результатами дисперсионного анализа.

df – degrees of freedom – число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант (m+1).

SS – sum of squares – сумма квадратов (регрессионная (RSS –regression sum of squares), остаточная (ESS – error sum of squares) и общая (TSS – total sum of squares), соответственно).

MS – mean sum – сумма квадратов на одну степень свободы.

F – расчетное значение F-критерия Фишера. Если нет табличного значения, то для проверки значимости уравнения регрессии в целом можно посмотреть Значимость F. На уровне значимости a = 0,05 уравнение регрессии признается значимым в целом, если Значимость F < 0,05, и незначимым, если Значимость F ≥ 0,05.

Для нашего примера имеем следующие значения:

В нашем случае расчетное значение F-критерия Фишера составляет 207,48. Значимость F = 1,4-07, что меньше 0,05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.

В последней таблице приведены значения параметров (коэффициентов) модели, их стандартные ошибки и расчетные значения t-критерия Стьюдента для оценки значимости отдельных параметров модели.

Анализ таблицы для рассматриваемого примера позволяет сделать вывод о том, что на уровне значимости a = 0,05 значимым оказывается лишь коэффициенты при факторе Х2, так как только для него Р-значение меньше 0,05. Таким образом, фактор Х1 не существен, и его включение в модель нецелесообразно.

2. Коэффициент b1 = 0,67 означает, что при увеличении цены блага на 1 объем предложения увеличивается на 0,67. Коэффициент b2 = -9,44 означает, что при увеличении заработной платы сотрудников на 1 объем предложения уменьшается на 9,44. Коэффициент b0 = 114,78 означает объем предложения блага при нулевой цене блага и заработной плате сотрудников.

3. Проверим выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта. Нулевая гипотеза о равенстве дисперсий двух наборов по т наблюдений (т.е. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности) отвергается, если:

F = > Fa,m-p,m-p

Упорядочим наблюдения  в порядке возрастания переменной Х1 и разделим на равные три группы. Для I и III частей строятся две независимые модели регрессии.

Часть I

Y = 112,64 + 0,21Х1 – 8,29Х2

Часть III

Y = 110,795 + 0,709Х1 – 7,884Х2

Для каждой из построенных моделей регрессий рассчитываются суммы квадратов остатков:

ESSI = = 189,45

ESSIII = = 23,046

F = = 8,22

F = 8,22 < F0,05;1;2 = 18,51

Т.к. F рассчитанный меньше табличного значения F-критерия, то модель гомоскедастична.

4. Проверим полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона. Расчетное значение определяется по следующей формуле: d(DW) = .

Приведем расчетную таблицу:

St = = = 136;      St2 = = = 1496.

16b0 + 136b1 = 1424

136b0 + 1496b1 = 15019

b0 = 16,16; b1 = 8,57.

Уравнение тренда: ŷ = 13,92 + 8,76t.

В специальных таблицах табулированы значения d1 и d2.

Если dнабл Î (0; d1) – уровни сильно автокоррелированы, модель неадекватна. При dнабл Î (d2; 2) – уровни независимы. Если dнабл Î (d1; d2), требуются дополнительные исследования значимости коэффициента автокорреляции. В данном случае d1 = 0,98, d2 = 1,54

d(DW) = = 1,56.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале d2<d<2 - уровни независимы, автокорреляция остатков отсутствует.

ЗАДАЧА 2

1. Используя исходные данные первой задачи и учитывая изменение экономической ситуации после 8 наблюдений, проверьте с помощью теста Чоу необходимость разбиения исходной выборки на две и построения для каждой из них отдельного уравнения регрессии.
2. Постройте уравнение регрессии с включением фиктивных переменных, учитывающее изменение ситуации после 8 наблюдения.
3. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.
4. Сравните качество полученной модели и модели, построенной в задаче 1.

Решение:

Для проверки предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле применим тест Чоу.

Разделим совокупность наблюдений на две группы: первые 8 наблюдений и последние 8 наблюдений.

Построим модель по первым 8 наблюдениям:

Уравнение множественной регрессии по первым 8 наблюдениям:

у = 87,2 + 0,71х1 – 6,56х2

Построим модель по последним 8 наблюдениям:

Уравнение множественной регрессии по последним 8 наблюдениям:

у = 116,78 + 0,63х1 – 8,42х2

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид —

  ,

где векторы параметров двух моделей; ( ) – их случайные возмущения.

По всем n=n1+n2=16 парам наблюдений уравнение регрессии представляет собой: Y = 114,78 + 0,67X1 – 9,44X2

Согласно критерию Г.Чоу нулевая гипотеза Н0 отвергается на уровне значимости a, если статистика

F = × > Fa,p+1,n-2p-2

Если , то нулевая гипотеза отвергается и мы не можем объединить две выборки в одну.

Если нулевая гипотеза верна, то две регрессионные модели можно объединить в одну объема .

F = 2,65 < F0,05;4;8 = 3,84

Таким образом, в качестве оценки регрессионной модели можно рассматривать уравнение регрессии, полученное по объединенной выборке, т.е. отсутствует необходимость разбиения исходной выборки на две и построения для каждой из них отдельного уравнения регрессии.

2. Построим уравнение регрессии с включением фиктивных переменных.

В качестве независимых переменных качественных признаков включим в модель фактор – образование работников (высшее, среднее) у большинства сотрудников фирмы в отчетный период.

В соответствии с условиями задачи используем данные 8 наблюдений

Таблица 1

Качественные переменные преобразим в количественные:

Значения бинарной переменной получим, используя оператор условного перехода =ЕСЛИ(А1=«высшее»;1;0).

В меню Данные выбираем раздел Анализ данных. В появившемся окне выбираем пункт Регрессия. Появляется диалоговое окно, в котором задаем необходимые параметры (рис. 4).

Рис. 4. Диалоговое окно Регрессия

Вид отчета о результатах регрессионного анализа представлен: