Контрольная работа по "Эконометрике". 38

 
 
 

ЗАДАНИЕ 1.

Установить  соответствие

Тип регрессионной модели	Название  функции
Линейная	Ŷ =  a0 + а1х
Параболическая	Ŷ =  a0 + а1х + а2х2
Степенная	Ŷ =  a0 ха1
Логарифмическая	Ŷ =  a0 + а1 ln х
Гиперболическая	Ŷ =  a0 + а1 / х
Показательная	Ŷ =  a0 а1х
Логистическая	Ŷ =  a0 /1 + еа1 +а2х

 

ЗАДАНИЕ 2.

     По  данным таблицы построить однофакторное  уравнение линейной регрессии; вычислить  значение Ŷ и сравнить их с эмпирическими  данными; дать экономическую интерпретацию  коэффициента регрессии; найти коэффициент корреляции и коэффициент эластичности. 

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	4	5	6	7	7	8	8	9	10	9

 

РЕШЕНИЕ: 

     В таблице данные двух переменных Х  и У могут быть упорядоченными или нет, предполагается что между ними имеется зависимость.

     Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости.

     По  расположению эмпирических точек можно  предполагать наличие линейной регрессионной  зависимости между переменными  Х и У. Поэтому уравнение регрессии  будем искать в виде линейного  уравнения.

Ŷ =  a₀ + а₁х

Получим систему нормальных уравнений для  определения параметров a₀ и  а₁

      n a₀ + a₁ x_i = y_i

     a₀ x_i + a₁ x²_i = x_i y_i

     n = 10

     По  данным таблицы вычислим все необходимые суммы:

      x_i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55

      y_i = 4+5+6+7+7+8+8+9+10+9 = 73

      x² = 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10² = 385

      x_i y_i = 4+10+18+28+35+48+56+72+90+90 = 451

 

      Составим систему уравнений

     10а₀ + 55а₁ = 73       55

     55а₀ + 385а₁ = 451    10

 

     550а₀ + 3025а₁ = 4015

     550а₀ + 3850а₁ = 4510

     Из  первого уравнения вычитаем второе

     -825а₁ = -495

     а₁ = 0,6 тогда а₀ = 4

     Уравнение линейной регрессии

Ŷ =  4 + 0,6х

     Из  уравнения видно, что при увеличении переменной Х на 1 единицу переменная У увеличивается в среднем  на 0,6.

     Далее подставляем полученные данные в  таблицу.

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yi	4	5	6	7	7	8	8	9	10	9
Ŷi	4,6	5,2	5,8	6,4	7	7,6	8,2	8,8	9,4	10
Ŷi– уi	0,6	0,2	- 0,2	-0,6	0	-0,4	0,2	-0,2	-0,6	1

 

     Коэффициент корреляции (r)

     Находим по формуле r =

                      n x_iy_i – x_i y_i

         n x²_i – ( x_i)²       n y²_i – ( y_i)²

      у²_i = 4²+5²+6²+7²+7²+8²+8²+9²+10²+9² = 565

   r = 10* 451 – 55 *73 / √10* 385 – (55)²   * √ 10* 565 – (73)² = 495 / 514,6 ≈ 0,96

    T.к. r ≈ 0,9 близкое к единице, зависимость сильная и линейная, т.е. связь между переменными достаточно тесная

     Коэффициент эластичности (Э)

Э = а_{1 *} ( x_i  / y_i)

     Э = 0,6 * (55 / 73) = 0,45

     При росте переменной Х на 1% переменная У увеличивается на 0,45 %.

 

ЗАДАНИЕ 3.

     По  данным таблицы построить однофакторное  уравнение гиперболической регрессии, вычислить значение Ŷ и сравнить их с эмпирическими данными.

Х	1	2	4	8	16
У	22	12	10	9	5

 

РЕШЕНИЕ:

     В таблице данные двух переменных Х и У могут быть упорядоченными или нет, предполагается что между ними имеется зависимость.

     Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости.

     

     По  расположению эмпирических точек можно  предполагать наличие гиперболической  регрессионной зависимости между переменными Х и У. Поэтому уравнение регрессии будем искать в виде гиперболического уравнения.

Ŷ =  a₀ + а₁ / х

    Получим нормальную систему уравнений для  определения гиперболической регрессии:

       n a₀ + a₁ = y_i                    n = 5

     a₀ + a₁ =

    Вычисляем необходимые суммы:

    

    

    

    

     Составляем систему уравнений:

     5а₀ + 1,9а₁ = 58              0,38

     1,9а₀ + 1,33а₁ = 31,94

 

     1,9а₀ + 0,722а₁ = 22,04

     1,9а₀ + 1,33а₁ = 31,94

     Из  первого уравнения вычитаем второе

     - 0,6а₁ = -9,9

     а₁ = 16,5 

     а₀ = (58 – (1,9 * 16,5)) / 5 = 5,33

     Уравнение гиперболической регрессии

Ŷ =  5,33 + 16,5 / х

 

     Далее подставляем полученные данные в  таблицу.

xi	1	2	4	8	16
yi	22	12	10	9	5
Ŷi	21,83	13,58	9,45	7,39	6,36
Ŷi– уi	-0,17	1,58	-0,55	-1,61	1,36

 
 

ЗАДАНИЕ 4.

    По  данным таблицы построить двухфакторное  уравнение линейной регрессии; вычислить значение Ŷ  и сравнить их с эмпирическими данными.

X1	90	110	120	130	180	200	280
X2	1	1	2	2	3	3	4
Y	25	28	31	32	36	42	55

 

РЕШЕНИЕ:

     В таблице  между тремя переменными Х₁, Х₂ и У имеется зависимость изобразим ее графически точками координатной плоскости.

    

     По  расположению эмпирических точек можно  предполагать наличие линейной двухфакторной  регрессионной зависимости между  переменными Х₁, Х₂ и У. Поэтому уравнение регрессии будем искать в виде линейного двухфакторного уравнения.

Ŷ =  a₀ + а₁х₁ + а₂х₂

     Получим систему нормальных уравнений для  определения параметров a₀ и  а₁, а₂

      n a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂  = y_i                        n = 7

     a₀ x₁ + a₁ x²₁ + а₂ х₁х₂ = x_i y_i

     а₀ х₂ + а₁ х₁х₂ + а₂ х²₂ = х₂у

     По  данным таблицы вычислим все необходимые суммы:

      x₁ = 90+110+120+130+180+200+280=1110

      х₂ = 1+1+2+2+3+3+4=16

      у = 25+28+31+32+36+42+55= 249

      х²₁ = 90²+110²+120²+130²+180²+200²+280² = 202300

      x²₂ = 1²+1²+ 2²+2²+3²+3²+4²=44

      х₁х₂ = 90+110+240+260+540+600+1120= 2960

      x₁y = 2250+3080+3720+4160+6480+8400+15400= 43490

      х₂у = 25+28+62+64+108+126+220= 633

      Составим систему  уравнений

    7а₀ +  1110а₁ + 16а₂ = 249

    1110а₀ + 20300а₁ + 2960а₂ = 43490

    16а₀ + 2960а₁ + 44а₂ = 633

    Вычисляем значения определителя  по формуле:

         a₁    b₁    c₁   

∆ =   a₂    b₂    c₂      = a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ – a₃b₂c₁ – a₂b₁c₃ – a₁b₃c₂

         a₃    b₃    c₃

    

             7a₁           1110b₁       16c₁          7*202300*44+1110*2960*16+

   ∆   =   1110a₂   202300b₂   2960c₂   =   +16*1110*2960–16*202300*16–1110*

             16a₃         2960b₃       44c₃          *1110*44–7*2960*2960 = 115200

    ∆ = 115200 ≠ 0, т.к. определитель не равен 0, значит, что система данных линейных уравнений имеет решение и притом единственное.

           

             249a₁         1110b₁       16c₁          249*202300*44+43490*2960*16+

  ∆a₀ =   43490a₂  202300b₂   2960c₂   =  +633*1110*2960–633*202300*16–

                633a₃         2960b₃       44c₃         –43490 *1110*44–249*2960*2960 =

                                                                     = 1285600

    

             7a₁           249b₁       16c₁            7*43490*44+1110*633*16+

  ∆a₁  =   1110a₂    43490b₂   2960c₂     =   +16*249*2960–16*43490*16–1110*

             16a₃         633b₃       44c₃          *249*44–7*633*2960 = 19280

 

              7a₁           1110b₁      249c₁          7*202300*633+1110*2960*249+

  ∆a₂  =   1110a₂   202300b₂  43490c₂   =   +16*1110*43490–16*202300*249–1110

             16a₃         2960b₃      633c₃          *1110*633–7*2960*43490 = – 107200

     

    а₀ =∆а₀ / ∆ = 1285600 / 115200 = 11,1597

    а₁ =∆а₁ / ∆ = 19280 / 115200 = 0,1673

    а₂ =∆а₂ / ∆ = – 107200 / 115200 = – 0,9305

    Уравнение двухфакторной линейной регрессии

Ŷ = 11,1 + 0,167а₁ – 0,93а₂

    Используя уравнение подставляем полученные данные в таблицу

х1	90	110	120	130	180	200	280
х2	1	1	2	2	3	3	4
y	25	28	31	32	36	42	55
Ŷ	25,2	28,54	29,28	30,95	38,37	41,71	54,14
(Ŷ  – y)2	0,04	0,2916	2,9584	1,1025	5,6169	0,0841	0,7396

 

            ВЫВОД: Уравнение двухфакторной линейной регрессии имеет вид Ŷ = 11,1 + 0,167а₁ – 0,93а₂ Оно показывает, что при увеличении только Х₁ (при неизменной Х₂) Y увеличивается в среднем на 0,167, а при увеличении только Х₂ (при неизменной Х₁) Y уменьшается в среднем на 0,93

 

ЗАДАНИЕ 5.

    Динамика  выпуска продукции (млн. руб.) на производственном объединении в 1996 – 2000 гг. характеризуется  следующими данными:

2001г.	2002г.	2003г.	2004г.	2005г.
21,2	22,4	24,9	28,6	31,6

 

    1) Определить базисные и цепные показатели ряда: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение 1% прироста; средние уровни; средние показатели уровней.

    2) Составить уравнение линейной трендовой модели методом избранных точек и методом наименьших квадратов.

 

РЕШЕНИЕ:

1. а) Определяем базисные и цепные показатели (∆_i)

         Цепные показатели                                     Базисные показатели

    ∆^ц_i = y_i – y_i-1      i = 0,1,2,3,4              ∆^б_i = y_i – y₀        i = 0,1,2,3,4

    ∆^ц₁ = y₁ – y₀ = 22,4 – 21,2 = 1,2                  ∆^б₁ = y₁ – y₀ = 22,4 – 21,2 = 1,2

    ∆^ц₂ = y₂ – y₁ = 24,9 – 22,4 = 2,5                  ∆^б₂ = y₂ – y₀ = 24,9 – 21,2 = 3,7

    ∆^ц₃ = y₃ – y₂ = 28,6 – 24,9 = 3,7                  ∆^б₃ = y₃ – y₀ = 28,6 – 21,2 = 7,4

    ∆^ц₄ = y₄ – y₃ = 31,6 – 28,6 = 3                     ∆^б₄ = y₄ – y₀ = 31,6 – 21,2 = 10,4

 

    б) Коэффициент роста цепных и базисных показателей (Кр)

           Цепные показатели                                     Базисные показатели

    Кр^ц_i = y_i / y_i-1                                                  Kр^б_i = y_i / y₀

    Кр^ц₁ = y₁ / y₀ = 22,4 / 21,2 = 1,057                Кр^б₁ = y₁ / y₀ = 22,4 / 21,2 = 1,057

    Кр^ц₂ = y₂ / y₁ = 24,9 / 22,4 = 1,111                Кр^б₂ = y₂ / y₀ = 24,9 / 21,2 = 1,174

    Кр^ц₃ = y₃ / y₂ = 28,6 / 24,9 = 1,148                Кр^б₃ = y₃ / y₀ = 28,6 / 21,2 = 1,349

    Кр^ц₄ = y₄ / y₃ = 31,6 / 28,6 = 1,105                Кр^б₄ = y₄ / y₀ = 31,6 / 21,2 = 1,49

 

    в) Темп роста (Тр) 

    Выразив коэффициент роста в процентах, получим темп роста:

           Цепные показатели                                            Базисные показатели

    Тр_i^ц = Кр^ц_i * 100%                                              Тр_i^б = Кр^б_i * 100%                              

    Тр₁ =Кр^ц₁ *100%=1,057*100=105,7          Тр₁ =Кр^б₁ *100%=1,057*100=105,7          

    Тр₂ =Кр^ц₂ *100%=1,111*100=111,1          Тр₂ =Кр^б₂ *100%=1,174*100=117,4

    Тр₃ =Кр^ц₃ *100%=1,148*100=114,8          Тр₃ =Кр^б₃ *100%=1,349*100=134,9

    Тр₄ =Кр^ц₄ *100%=1,105*100=110,5          Тр₄ =Кр^б₄*100%=1,49*100=149

    г) Темп прироста (Тп)

             Цепные показатели                             Базисные показатели

    Тп_i^ц= (∆^ц_i / y_i-1) * 100%                            Тп_i^б = (у_i – y₀ / y₀) * 100%

    Тп₁ = 1,2 / 21,2 * 100 = 5,7                        Тп₁ = 1,2 / 21,2 * 100 = 5,7

    Тп₂ = 2,5 / 22,4 * 100 = 11,1                      Тп₂ = 3,7 / 21,2 * 100 = 17,4

    Тп₃ = 3,7 / 24,9 * 100 = 14,8                      Тп₃ = 7,4 / 21,2 * 100 = 34,9

    Тп₄ = 3 / 28,6 * 100 = 10,5                         Тп₄ = 10,4 / 21,2 * 100 = 49

 
 

    д) Абсолютное значение 1% прироста (A_i)

A_i = ∆^ц / Тп^ц = y_i-1 / 100 = 0,01 y_i-1

    А₁ = 0,01 * 21,2 = 0,212

    А₂ = 0,01 * 22,4 = 0,224

    А₃ = 0,01 * 24,9 = 0,249

    А₄ = 0,01 * 28,6 = 0,286

    ж) Средние показатели уровней

    Средняя временного ряда

    y_i = ∑y / 5 = 128,7 / 5 = 25,74

    Средние цепных и базисных показателей

    ∆^ц = ∑∆_i / n = ∑ ∆_1,2,3,4 / 5 = 10,4 / 5 = 2,6

    ∆^б = ∑∆_i / n = ∑ ∆_1,2,3,4 / 5 = 22,7 / 5 = 4,54

    Средние темпа роста цепных и базисных показателей

    Тр^ц = ∑Тр^ц / 5 = 442,1 / 5 = 88,42

    Тр^б = ∑Тр^б / 5 = 507 / 5 = 101,4

    Средние темпа прироста цепных и базисных показателей

    Тп^ц = ∑Тп^ц / 5 = 42,1 / 5 = 8,42

    Тп^б = ∑Тп^б / 5 = 107 / 5 = 21,4

    Средняя абсолютного значения 1% прироста

    А_i = ∑A_i / 5 = 0,971 / 5 = 0,1942

    Занесем все полученные данные в таблицу

t	уi	∆i		Тр		Тп		Ai
		цеп	баз	цеп	баз	цеп	баз
2001 (0)	21,2	–	–	–	–	–	–	–
2002 (1)	22,4	1,2	1,2	105,7	105,7	5,7	5,7	0,212
2003 (2)	24,9	2,5	3,7	111,1	117,4	11,1	17,4	0,224
2004 (3)	28,6	3,7	7,4	114,8	134,9	14,8	34,9	0,249
2005 (4)	31,6	3	10,4	110,5	149	10,5	49	0,286
Средние	25,74	2,08	4,54	88,42	101,4	8,42	21,4	0,1942

2. Линейная трендовая модель

    a) Метод избранных точек

t	1	2	3	4	5
y	21,2	22,4	24,9	28,6	31,6

 

     

    Методом избранных точек выбираем А₃ и А_4,

    с координатами (3; 24,9) и (4; 28,6)

Ŷ =  a₀ + а₁t

     Подставляем полученные данные в уравнение

    24,9 = а₀ + 3а₁  

    28,6 = а₀ + 4а₁

    Из  второго уравнения вычитаем первое

    а₁ = 3,7  тогда а₀ = 13,8

Ŷ =  13,8 + 3,7t трендовое уравнение

 

    б) Метод наименьших квадратов

Ŷ =  a₀ + а₁t

 
 

Получим систему нормальных уравнений для  определения параметров a₀ и  а₁

      n a₀ + a₁ =                         n = 5

     a₀ + a₁ =

    Вычисляем необходимые суммы

     = 1+2+3+4+5= 15

     = 21,2+ 22,4+ 24,9+ 28,6+ 31,6 = 128,7

     = 1²+2²+3²+4²+5² = 55

     = 21,2+(22,4 * 2)+(24,9 * 3)+(28,6 * 4)+(31,6 * 5) = 413,1

     Составляем систему уравнений

     5а₀ + 15а₁ = 128,7     *3

    15а₀ + 55а₁ = 413,1

    Из  первого уравнения вычитаем второе

    - 10а₁ = -27

    а₁ = 2,7   тогда а₀ =17,64