Контрольная работа по "Эконометрике". 59

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                     

Содержание

 

 

Введение……………………………………………………………………………3

Теоретическая часть

Дать определение метода наименьших квадратов, его геометрическую интерпретацию……………………………………………………………………4

Практическая часть

Вариант № 1………………………………………………………………………10

Заключение……………………………………………………………………….23

Приложение 1…………………………………………………………………….24

Приложение 2…………………………………………………………………….25

Список использованной литературы…………………………………………26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Эконометрика — наука, изучающая количественные и качественные экономические взаимосвязи с помощью математических и статистических методов и моделей.

 Целью изучения дисциплины «Эконометрика» является формирование умений и навыков в использовании количественных данных, в моделировании поведения экономических агентов, построения эконометрических моделей, принятия решений о спецификации и идентификации моделей, выборе метода оценки параметров модели, интерпретации результатов, получения прогнозных оценок.

 Эконометрика активно используется для прогнозирования экономических процессов как в масштабах экономики в целом, так и на уровне отдельных предприятий.

Целью контрольной работы по дисциплине является систематизация полученных знаний, проверка усвоения программного материала и закрепление полученных знаний, овладение навыками практического применения  эконометрических моделей.

Актуальность работы состоит в том, что современная эконометрика есть быстроразвивающаяся отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям. Иными словами, эконометрика изучает конкретные количественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. Значение такого подхода в условиях современного микро- и макроэкономического развития переоценить не представляется возможным.

Задачами контрольной работы являются знакомство с экономическими характеристиками предприятия, изучение ценовой политики предприятия;  овладения   методами   прогнозирования   и   обоснования уровней, структуры и соотношения цен;  развитие практических навыков методологии разработки стратегии ценообразования предприятия.

Теоретическая часть

 

Определение метода наименьших квадратов, его геометрическая интерпретация

 

 

Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

До начала XIX в. учёные не имели опредёленных правил для решения системы уравнений, в которой число неизвестных менее числа уравнений; до этого времени употреблялись частные приёмы, зависевшие от вида уравнений и от остроумия вычислителей, и потому разные вычислители, исходя из тех же данных наблюдений, приходили к различным выводам. Лежандру (1805—06) и Гауссу (1794—95) принадлежит первое применение к решению указанной системы уравнений теории вероятности, исходя из начал, аналогичных с началом арифметической середины, уже издавна и, так сказать, бессознательно применяемых к выводам результатов в простейшем случае многократных измерений. Как и в случае арифметической середины, вновь изобретённый способ не даёт, конечно, истинных значений искомых, но даёт зато вероятнейшие значения. Этот способ распространён и усовершенствован дальнейшими изысканиями Лапласа, Энке, Бесселя, Ганзена и др. и получил название метода наименьших квадратов, потому что после подстановки в начальные уравнения неизвестных величин, выведенных этим способом, в правых частях уравнений получаются если и не нули, то небольшие величины, сумма квадратов которых оказывается меньшей, чем сумма квадратов подобных же остатков, после подстановки каких бы то ни было других значений неизвестных. Помимо этого, решение уравнений по способу наименьших квадратов даёт возможность выводить вероятные ошибки неизвестных, то есть даёт величины, по которым судят о степени точности выводов.

В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или результатов опытов. Одним из распространенных приемов построения таких формул является метод наименьших квадратов. Изложим идею этого способа, ограничиваясь случаями линейной и квадратичной зависимости. Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами x и y , например, между стоимостью потребляемого сырья и стоимостью выпущенной продукции. Произведем обследование n видов продукции и представим результаты исследования в виде таблицы:

x	x 1	x 2	...	x n
y	y 1	y 2	...	y n

 

Из анализа таблицы нелегко обнаружить наличие и характер зависимости между x и y . Поэтому обратимся к графику. Допустим, что точки, взятые из таблицы (опытные точки) группируются около некоторой прямой линии. Тогда можно предположить, что между x и y существует линейная зависимость

у = ax+b , где a и b - коэффициенты, подлежащие определению, y - теоретическое значение ординаты. Проведя прямую “на глаз”, можно графически найти b и a=tg a , однако это будут весьма неточные результаты. Для нахождения a , b применяют метод наименьших квадратов.

Перепишем уравнение искомой прямой в виде ax + b – y = 0. Точки, построенные на основе опытных данных, вообще говоря, не лежат на этой прямой. Поэтому если подставить в уравнение прямой вместо x и y заданные величины x i и y i , то окажется, что левая часть уравнения равна какой-то малой величине e i = y i - y i ; а именно: для первой точки ax 1 + b - y 1 = e 1, для второй - ax 2 + b - y 2 = e 2, для последней - ax n + b - y n = e n . Величины e 1 , e 2 ,..., e n , не равные нулю, называются погрешностями. Геометрически это разность между ординатой точки на прямой и ординатой опытной точки с той же абсциссой. Погрешности зависят от выбранного положения прямой, т.е. от a и b . Требуется подобрать a и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньшими по абсолютной величине. Способ наименьших квадратов состоит в том, что a и b выбираются из условия, чтобы сумма квадратов погрешностей u =  была минимальной. Если эта сумма квадратов окажется минимальной, то и сами погрешности будут в среднем малыми по абсолютной величине. Подставим в выражение для u вместо e i их значения.

u = (ax 1 + b - y 1 ) 2 + (ax 2 + b - y 2 ) 2 +... + ( ax n + b - y n ) 2, или u = u( a,b ),

где x i , y i известные величины, a и b - неизвестные, подлежащие определению. Выберем a и b так, чтобы u ( a,b ) имело наименьшее значение.

Необходимые условия экстремума , .

Имеем:  
= 2(ax 1 + b - y 1 )x 1 +... +2 (ax 1 + b - y 1 ) x n , = 2(ax 1 + b - y 1 ) +... +  
+ 2 (ax 1 + b - y 1 ).

Получаем систему:

 

 

Эта система называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из нее находим a и b и затем подставляем их в эмпирическую формулу `y = ax + b . Пусть теперь точки на графике располагаются вблизи некоторой параболы так, что между x и y можно предположить квадратичную зависимость: `y=ax 2 + bx + c , тогда Тогда u =  =   . Здесь u = u ( a , b , c ) - функция трех независимых переменных a , b , c . Необходимые условия экстремума , ,  в этом случае примут следующий вид:

 

 

 

Получили нормальные уравнения способа наименьших квадратов для квадратичной зависимости y = ax 2 + bx + c , коэффициенты которой находим, решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Отыскание уравнения прямой по эмпирическим данным называется выравниванием по прямой, а отыскание уравнения параболы - выравниванием по параболе. В экономических расчетах могут встретиться также и другие функции. Довольно часто встречаются эмпирические формулы, выражающие обратно пропорциональную зависимость, графически изображаемую гиперболой. Тогда говорят о выравнивании по гиперболе и т.д.

Метод наименьших квадратов оказывается весьма эффективным при исследовании качества промышленной продукции в зависимости от определяющих его факторов на основе статистических данных текущего контроля качества продукции, в задачах моделирования потребительского спроса.

Геометрическая интерпретация МНК.

 

 

Рассмотрим евклидово пространство Еn . (Заметим, что у, ε, ŷ, е и регрессоры являются векторами длины n). Обозначим  £ (Х) подпространство в Еn , натянутое на регрессоры х1,…хm .

Геометрически задача МНК состоит в том, чтобы найти такой вектор ŷ из £ (Х), чтобы евклидово расстояние между у и ŷ было минимальным. Иными словами, среди всех линейных комбинаций регрессоров необходимо найти наиболее  близкую к у:

||у  ŷ|| → min

ŷ € £ (Х)

Эта задача эквивалентна задаче МНК, поскольку:

(1) Минимизация расстояния эквивалентна минимизации квадрата расстояния ||у  ŷ||2 = ∑ (уi ŷi)2

(2) Условие ŷ € £ (Х) эквивалентно тому, что существует 
вектор β € Rm, такой что   ŷ = Хβ.

В точке минимума остатки е =у–ŷ ортогональны (перпендикулярны) подпространству £ (Х), и ŷ есть проекция у на £ (Х).

Обозначим матрицу проекции на подпространство £ (Х) через Рх или просто Р. Используя это обозначение, можно записать ŷ = Ру.

В невырожденном случае

Р = Х(Х┬ Х)-1Х┬ .

Матрицу Р называют иногда «матрицей крышки», поскольку она «добавляет крышку над у».

Можно рассмотреть также подпространство £┴(Х), являющееся ортогональным дополнением £ (Х) в Еn. Обозначим Мх или просто М матрицу проекции на £┴(Х).

Остатки удовлетворяют соотношению е = Му, т. е. они являются проекцией у на £┴(Х).

В невырожденном случае М= In - Х(Х┬ Х)-1Х┬

Свойства матриц Р и М:

1) Матрицы   Р  и  М  однозначно  задаются  матрицей   X 
(даже в вырожденном случае rank(X) < m).

     2) Матрицы Р и М симметричны:

    Р┬ =Р, М┬=М.

     3) Матрицы Р и М идемпотентны:

     РР = Р2 = Р,     ММ = М2 = М .

     4) Матрицы Р и М «погашают» друг друга:

     РМ = 0.

     5)  Р+М = In.

6. rank (Р) + rank (М) = n.
7. РХ = Х, МХ=0.

Из свойств симметричных идемпотентных матриц следуют следующие два свойства:

8. rank (Р) = tr (Р) и rank (М) = tr (М) (ранг и след матриц Р и M равны между собой).
9. Все собственные числа матриц Р и М — нули либо единицы, причем единиц ровно столько, каков ранг матрицы.

Докажем свойство (8) в невырожденном случае:

tr(Р)= tr(Х(Х┬ Х)-1Х┬)= tr(Х┬ Х(Х┬ Х)-1)= tr(Im)=m= rank (Р)

и

tr(М)= tr(In  - Р)= tr(In) - tr(Р)=n – m = rank (M).

 

 

 

 

Практическое задание

 

Вариант 1

По территориям федерального округа РФ приводятся следующие 
данные: 

 

Территории региона	Валовой региональный продукт, млрд. руб.	Сумма  кредитов, предприятиям,  млн. руб.
№	Y	X
1	6,2	58,4
2	11,9	120,5
3	8,4	95,3
4	12,7	110,4
5	14,1	176,2
6	11,1	85,4
7	19,2	148,2
8	9,5	96,0
9	11,7	78,1
10	7,6	92,3

Задание:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии, используя метод наименьших квадратов.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации и оценить тесноту связи с помощью данных коэффициентов.

3. Построить корреляционное поле с теоретическим уравнением регрессии.

4. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости а=0,05.
5. Рассчитайте    прогнозное    значение    результата у,    если прогнозное значение фактора (х) составит 1,031 от среднего уровня (х).

6. Найдите 95%-ный доверительный интервал среднего значения зависимой переменной для суммы кредитов, предоставляемых предприятиям в размере 134 млрд. руб.

7. Найдите 95%-ный доверительный интервал для индивидуального значения зависимой переменной для суммы кредитов, предоставляемых предприятиям в размере 134 млрд. руб.

8. Найдите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициента регрессии b.
9. Сделайте выводы.

Решение.

I. Построить    линейное   уравнение    парной   регрессии, используя метод наименьших квадратов.

Условие предполагает наличие линейной зависимости. Рассчитаем параметры парной линейной функции у = а + bх, отражающей линейную форму зависимости результата У от фактора X.

Параметр b называется коэффициентом регрессии У по Х и показывает на сколько единиц в среднем изменяется переменная (результат) У при увеличении переменной (фактора) X на одну единицу. Параметр а может не иметь экономического интерпретации, особенно, если а<0. С формальной точки зрения  а - значение У при Х=0, но если фактор X не имеет и не может иметь   нулевого   значения,   то   свободный   член   а   не   имеет экономического смысла. Возможно интерпретировать знак при параметре а.   Если а>0, то относительное изменение результата происходит    медленнее,     чем    изменение    фактора.  Расчёт неизвестных     параметров     уравнения    выполним методом наименьших квадратов (МНК).

 

b = XУ - Х*У                 a =   У – b*Х

                                      Х2 – (Х)2

 

 

Таблица 1.1.

 

           Расчетная таблица.

	У	Х	У * Х	У2	Х2
1	6,2	58,4	362,08	38,44	3410,56
2	11,9	120,5	1433,95	141,61	14520,25
3	8,4	95,3	800,52	70,56	9082,09
4	12,7	110,4	1402,08	161,29	12188,16
5	14,1	176,2	2484,42	198,81	31046,44
6	11,1	85,4	947,94	123,21	7293,16
7	19,2	148,2	2845,44	368,64	21963,24
8	9,5	96,0	912,0	90,25	9216,0
9	11,7	78,1	913,77	136,89	6099,61
10	7,6	92,3	701,48	57,76	8519,29
Итого	112,4	1060,80	12803,68	1387,46	123338,8
Среднее значение	11,24	106,08	1280,368	138,746	12333,88

Подставим полученные значения:

b = 1280,368 – 106,08*11,24 =  1280,368 – 1192,339 = 0,081

           12333,88 – (106,08)2          12333,88 – 11252,966

a = 11,24 – 0,081*106,08 = 2,648

 

 Получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида: 

У = 2,648 + 0,081X

В уравнении коэффициент регрессии b=0,081 означает, что при увеличении суммы кредитов предоставляемых предприятиям на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт возрастёт в среднем на 0,081 млрд. руб.

Свободный член уравнения a=2,648 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на валовой региональный продукт. Параметр а>0, означает что относительное изменение валового регионального продукта происходит медленнее, чем изменение кредитов предоставляемых предприятиям.

2. Рассчитать  линейный коэффициент, парной корреляции  и коэффициент детерминации и  оценить тесноту связи с помощью  данных коэффициентов

Уравнение регрессии дополняется показателем тесноты корреляционной зависимости. Для линейной регрессии данный показатель называется коэффициентом корреляции гху и находится в пределах {-1; 1}. Чем ближе коэффициент к единице, тем теснее линейная связь. Коэффициент корреляции не следует    рассматривать     как     строгую     меру     взаимосвязи переменных.     Близость    линейного    коэффициента    парной корреляции   к   нулю   не   означает   отсутствие   связи   между признаками. Зависимость может быть представлена функцией другого вида (степенной, линейно-логарифмической  параболы второго порядка и т.д.).

Корреляционная линейная связь между переменными называется прямой, если г>0 и b>0, т.е. увеличение одной из переменных ведет к увеличению групповой средней другой.

Если г<0 и b<0, то связь является обратной и при увеличении одной переменной ведет к уменьшению групповой средней другой.

  rху =                n*ΣХУ – (ΣХ) * (ΣУ)__    _    ___     

   √n*ΣХ2 – (ΣХ)2       *  √n*ΣУ2 – (ΣУ)2

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

rху =                       10*12803,68 – 112,4 * 1060,80___          _    __     =  

  √ 10*123338,8 – (1060,80)2        *   √10*1387,46 – (112,4)2

=                         128036,80 – 119233,92__          _    __     =

  √1233388 – 1125296,64     * √13874,60 – 12633,76

=   8802,88    =  0,760  ≈  0,8

   11581,358

Оценку качества подбора линейной функции характеризует коэффициент детерминации R2xy, который рассчитывается как квадрат линейного коэффициента корреляции.

Для данного примера:

R2 ху = 0,7602 = 0,578 ≈ 0,6

Коэффициент   детерминации показывает какая часть (доля) зависимой    переменной    У   обусловлена   вариацией объясняющей переменной X.

0≤R2 ≥1

Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если R2 = 1, точки (Xi;Уi) лежат на линии регрессии и между переменными У и X существует линейная функциональная зависимость. Если R2 = 0,  то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс.

В данном примере R2 = 0,578, следовательно, уравнение регрессии объясняет 57,8% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится 42,2% дисперсии (100% - 57,8%). Коэффициент R2 имеет смысл рассматривать только при наличии свободного члена.

Таблица 1.2 
Оценки тесноты корреляционной зависимости.

Значение коэффициента корреляции (rху)	Оценка тесноты выявленной зависимости	Значения коэффициента детерминации,   % (rху)
До   0,3	Слабая	До 10
0,3 - 0,5	Умеренная	10-25
0,5 - 0,7	Средняя	25-50
0,7 - 0,9	Тесная	50-80
0,9 и более	Очень тесная	80 и более

 

Величина линейного коэффициента корреляции составила 0,760 а  коэффициента  детерминации   0,578 что   говорит   о тесной  степени        тесноты  выявленной линейной корреляционной зависимости. 

При получении величины коэффициентов корреляции и детерминации достаточно близких к единице можно говорить о тесноте линейной связи и высоком качестве подбора линейной  функции.

3. Построить корреляционное поле

 

На   графике   ставим   точки   с   координатами   (Xi;Уi)   по заданным данным. Подставляя данные существующего диапазона X в полученное уравнение регрессии строим расчетную прямую.

Например:

Рассчитанное уравнение регрессии У = 2,648 +  0,081 X.

Х=30; У = 2,648 + 0,081*30 = 5,078

Х=120; У= 2,648 + 0,081*120 = 12,368

По   двум   точкам   строим  рассчитанную  прямую  линейной регрессии.

Рисунок 1.

Корреляционное поле регрессии.

4. Надёжность   уравнений,   в   целом   оцените   через   F-критерий Фишера для уровня значимости а=0,05

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. Проверить значимость уравнения регрессии - значит, установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальными данными и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной. При этом выдвигается нулевая гипотеза Но, что коэффициент регрессии равен нулю (b=0), следовательно, фактор X не оказывает влияние на результат У.

Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости оборота розничной торговли от суммы доходов населения рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера-Снедекора — Fфакт. и сравним его с табличным значением -Fтабл. Табличное значения критерия - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости.

В случае, если Fфакт.>Fтабл. нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости а=0,05).

Если фактическая величина критерия меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. Нулевая гипотеза Но не отклоняется и уравнение регрессии считается статистически незначимым.

                           R2___

Fфакт. =           1 - R2       * (n-2) 

n - количество наблюдений (в данном примере 10)

Для данного примера:

 

 

                                     0,578                                 0,578

Fфакт. =         1 – 0,578       * (10-2)  =    0,422      * 8 = 10,960

Сравним полученный результат с табличным значением критерия Fтабл. Значения Fтабл. представлены в таблице значений F-критерия Фишера-Снедекора (Приложение 1).

ki - число факторов в уравнении. В нашем случае ki = l

k2 - число изучаемых объектов (число наблюдений)

k2 = n – к1 - 1

Для данного примера k2 = 10-1-1 =8.

Табличное значение F-критерия F0,05;1;8 = 5,32.

Так как F факт.=10,960 > F табл. = 5,32 при 5% уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии.

 

5. Рассчитайте прогнозное значение результата у, если прогнозное значение фактора (х) составит 1,031 от среднего уровня (х)

Среднее значение X = 106,08.

Прогнозное значение X = 24,08 * 1,031 = 109,368

Рассчитаем прогнозное значение результата

 У = 2,648+0,081*109,368=11,507

 

6. Найдите 95%-ный доверительный интервал среднего значения зависимой переменной для суммы кредитов, предоставляемых предприятиям в размере 134 млрд. руб.

Кроме получения точечной оценки неизвестного параметра актуальна проблема выявления такой области, в которой параметр попадает с заданной вероятностью или с заданным уровнем доверия.

Оценим  условное  математическое   ожидание   Мх=134(У).   Выборочной оценкой Мх=134(У) является групповая средняя ŷх=134 которую найдем по уравнению регрессии:

ух=134 = 2,648+0,081*134=13,502

Для построения доверительного интервала для Мх=134(У) необходимо знать его оценки. т.е. s2ху=22. Составим вспомогательную таблицу. Из таблицы 1.1 среднее значение х=106,08.

Таблица 1.3.

 Расчетная таблица для расчета  доверительного интервала.

 

 

N п/п	хi	(хi - хср.) 2	ŷi =2,648+0,081хi	е2i =( ŷi - уi) 2
1	58,4	2273,382	7,378	1,388
2	120,5	207,936	12,409	0,259
3	95,3	116,208	10,367	3,869
4	110,4	18,662	11,590	1,232
5	176,2	4916,814	16,920	7,952
6	85,4	427,662	9,565	2,356
7	148,2	1774,094	14,652	20,684
8	96,0	101,606	10,424	0,854
9	78,1	782,880	8,974	7,431
10	92,3	189,888	10,124	6,371
	1060,80	10809,132	112,403	52,396