Контрольная работа по "Экономике". 164

 

Задача 1

 

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость  объема выпуска продукции (y, млн. руб.) от объема капиталовложений (x, млн. руб.).

Требуется:

1. Для характеристики y от x построить следующие модели:

• линейную,
• степенную,
• показательную,
• гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив:

• индекс корреляции,
• среднюю относительную ошибку,
• коэффициент детерминации,
• F- критерий Фишера.

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрав лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% относительно среднего уровня.
5. Результаты расчетов отобразить на графике.

Исходные  данные к задаче 1

t	y	x
1	40	22
2	44	28
3	48	30
4	52	32
5	56	44
6	64	51
7	70	58

 

Решение:

1.  Для  характеристики y от x построим  линейную, степенную, показательную и гиперболическую модели.

2. Оценим каждую модель, определив:

• индекс корреляции,
• среднюю относительную ошибку,
• коэффициент детерминации,
• значение F- критерия Фишера.

 

 

а) Построение линейной модели парной регрессии

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

               Σ (y_i - )*(x_i - )              845,429

r_y,x =  =    = 0,986 

           Σ (y_i - )²*Σ(x_i - )²         693,714*1060,857

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений x и объемом продукции y прямая, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = a+b*x

Значение  параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

        – *           2143,429– 53,429*37,857

b =  =                = 0,797

–               1584,714– 37,857*37,587

 

a = – b* = 53,429 – 0,797*37,857 = 23,259.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

ŷ = 23,259 +0,797*x.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 797 тыс. руб., что свидетельствует о недостаточной эффективности работы предприятий.

Рассчитаем  коэффициент детерминации:

R² = r²_y,x = 0,986² = 0,971

Вариация  результата y (объем выпуска продукции) на 97% объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Оценку  значимости уравнения регрессии  проведем с помощью F- критерия Фишера:

 

          R² 0,971

F =  * (n-2) =                   * (7-2) = 168,714.

        1 - R² 1 - 0,971

 

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в  целом статистически значимо, т.к. F>F_табл., F_табл. = 6,61, где F_табл.(α k₁ k₂) для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n-m-1 = 5.

Определим среднюю относительную  ошибку аппроксимации:

E_отн = 1/n * Σ|E_i/y_i|*100% = 1/7*18,562 = 2,652%

В среднем  расчетные значения ŷ для линейной модели отличаются от фактических значений на 2,652%.

 

 

 

б) Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид: y = a*x^b.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg y= lg a + b*lg x. Расчеты приведены в таблице 2.1.

  Обозначим Y = lg y, X = lg x, A = lg a.

Тогда уравнение  примет вид Y = A + b*X – линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем  его параметры, используя данные таблицы 2.2.

      –           2,687 – 1,555*1,72

b =  =   = 0,559

 –                2,439 – 1,555*1,555

 

a = – b* = 1,72 – 0,559*1,555 = 0,85.

 

Уравнение линейной регрессии имеет вид: Y = 0,85 + 0,559*X

Перейдем  к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ = 10^0,85 * x ^0,559

 

Получим уравнение степенной регрессии:

 

ŷ = 7,087 * x ^0,559

 

Определим индекс корреляции:

 

R_y,x =     1- [Σ (y - ŷ)²/ Σ (y- )²]  = 0,985.

 

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации R² равен 0,97:

R² = R²_y,x = 0,985² = 0,97.

Вариация  результата y (объем выпуска продукции) на 97% объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Рассчитаем  F- критерий Фишера:

          R² 0,97

F =  * (n-2) =                   * (7-2) = 163,425

        1 - R² 1 - 0,97

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в  целом статистически значимо, т.к. F>F_табл. , a F_табл. = 6,61 для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n-m-1 = 5.

Определим среднюю относительную  ошибку аппроксимации:

E_отн = 1/n * Σ|E_i/ y_i |*100% = 1/7*17,5 = 2,5%

В среднем  расчетные значения ŷ для степенной  модели отличаются от фактических значений на 2,5%.

в) Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой: y= a*b^x.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

lg y= lg a + x*lg b. Расчеты приведены в таблицы 2.1.

Обозначим: Y = lg y, B = lg b, A = lg a.

Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B*x.

Рассчитаем  его параметры, используя данные таблицы 3.1.

     –         66,095 – 1,72*37,857

b =  =   = 0,006

–          1584,714 – 37,857*37,857

 

a = – b* = 1,72 – 0,006*37,857 = 1,478.

 

Уравнение будет иметь вид: Y = 1,478 +0,006*x.

Перейдем  к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ = 10^1,478* (10^0,006)^x

 

ŷ = 30,091*1,015^x.

Определим индекс корреляции:

R_y,x =    1- [Σ (y - ŷ)²/ Σ (y - )²]  = 0,983

 

Связь между  показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной. Индекс детерминации:

R² = R²_y,x = 0,983² = 0,966.

Вариация  результата y (объем выпуска продукции) на 96,6% объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Рассчитаем  F- критерий Фишера:

 

          R²_y,x 0,983

F =  * (n-2) =                   * (7-2) = 143,814

        1-R²_y,x 1-0,983

 

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в  целом статистически значимо, т.к. F>F_табл. ; F_табл. = 6,61 для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n – m - 1 = 5.

Определим среднюю относительную  ошибку аппроксимации:

 

E_отн = 1/n * Σ|E_i/ y_i |*100% = 1/7*21,091 = 3,013%

 

В среднем  расчетные значения ŷ для показательной  модели отличаются от фактических значений на 3,013%.

 

г) Построение гиперболической функции

 

Уравнение гиперболической функции: y = a + b/x.

Произведем  линеаризацию модели путем замены X = 1/x.

В результате получим линейное уравнение y = a + b*X.

Рассчитаем  его параметры по данным таблицы 4.1.

 

        –           1,478 – 53,429*0,029

b =  =   = - 1027,379

 –               0,001 – 0,029*0,029

 

a = – b* = 53,429 – 1027,379*0,029 = 83,564

Получим  уравнение гиперболической модели в виде:

 

ŷ = 121,50 – 4484,30/x.

 

Определим индекс корреляции:

R_y,x =    1- [Σ (y - ŷ)²/ Σ (y - )²]    = 0,959.

 

Связь между  показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной. Рассчитаем коэффициент детерминации:

R² = R²_y,x = 0,959² = 0,92.

Вариация  результата y (объем выпуска продукции) на 92% объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Рассчитаем  значение F- критерия Фишера:

          R² 0,92

F =  * (n-2) =                   * (7-2) = 57,583.

        1 - R² 1 - 0,92

 

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в  целом статистически значимо, т.к. F>F_табл.; F_табл. = 6,61 для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n-m-1 = 5.

 

Определим среднюю относительную  ошибку аппроксимации:

 

E_отн = 1/n * Σ|E_i/ y_i |*100% = 1/7*32,513 = 4,645 %.

 

В среднем  расчетные значения ŷ для гиперболической  модели отличаются от фактических значений на 3,58%.

 

3. Сводная  таблица результатов для выбора лучшей модели

 

 

Параметры     Модель	Коэф. детерминаци	F-критерий Фишера	индекс корреляции	средняя относительная ошибка
Линейная	0,971	168,714	0,986	2,652
Степенная	0,970	163,425	0,985	2,500
Показательная	0,966	143,814	0,983	3,013
Гиперболическая	0,920	57,583	0,959	4,645

 

 

 

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но линейная модель имеет большее  значение коэффициента детерминации R² и большее значение F – критерия Фишера. Поэтому в качестве лучшей модели для построения прогноза выбрана линейная модель.

 

4. Расчет  прогнозируемых значений результативного  показателя

 

Точечное значение прогнозируемой переменной

Для того, чтобы определить точечное значение прогнозируемого объема выпуска продукции (y_прогн) при условии, если объём капиталовложений (значение фактора x) увеличится на 10% относительно среднего уровня ( =37,857), необходимо подставить значение х = x_прогн в выбранную для прогнозирования лиейную модель:

ŷ = 23,259 +0,797*x, т.е.

y_прогн = 23,259+0,797*41,643 = 56,448,

где

x = x_прогн =

+ 0,1* = 1,1* = 1,1*37,857 = 41,643.

 

Интервальные значения прогнозируемой переменной

Доверительные интервалы зависят от стандартной  ошибки S_y, удаления фактора x_прогн  от своего среднего значения , количества наблюдений (n = 7) и уровня значимости прогноза α = 1,10. В частности, для точечного прогноза y_прогн = 56,448 предельная ошибка при его вычислении составит:

= S_y *t_α*

(x=41,643; n=7; = 1,1) = 4,879,

где

- S_y - величина отклонения от линии регрессии вычисляется, используя данные таблицы 2.2, по формуле,:

S_y = Σ E_i²/(n-2) = 1,998;

- t_α - значение критерия Стьюдента для m = 7-2 = 5 степеней свободы и уровня значимости = 1,1; t_α(α; m) равно 2,015. Расчет произведен с помощью средств Excel.

 

 Прогнозируемые  значения  c вероятностью (1- α) попадут в интервал:

(y_прогн     ).

Таким образом, интервальные значения прогнозируемой переменной будут находиться между

- верхней  границей интервального прогноза, равной 56,448 + 4,879 = 61,327 и

- нижней границей интервального прогноза, равной 56,448 - 4,879 = 51,569.

 

Таблица прогнозов

Прогнозное значение фактора    x = xпрогн	Точечный прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
41,643	56,448	51,569	61,327

 

 

6. Исходные данные, расчетные значения и результаты прогнозирования по лучшей модели вида ŷ = 23,259 +0,797*x представлены на рисунке.

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость  объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (X₁), ставки по депозитам (X₂) и размера внутрибанковских расходов (X₃).

Требуется:

1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
2. Рассчитать параметры модели.
3. Для характеристики модели определить:

• линейный коэффициент множественной корреляции,
• коэффициент детерминации,
• средние коэффициенты эластичности,
• бетта-, дельта- коэффициенты.

Дать  их интерпретацию.

4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.
5. Оценить с помощью t – критерия Стьюдента статистическую зависимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
6. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.
7. Отобразить результаты расчетов на графике.

Исходные  данные к задаче 2

Y	X1	X2	X3
60	56	30	64
68	48	40	68
64	52	44	82
72	58	28	76
78	66	50	84
88	62	56	96
90	48	50	100
82	66	56	104
92	70	60	108
94	68	62	102

1. Выбор факторных признаков  для построения двухфакторной  регрессионной модели. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции

 

 Исходные статистические данные по всем переменным приведены в таблице 1. В примере количество наблюдений n = 10, количество факторов m = 3.

Исходные  данные                                        Таблица 1

t	Y	X1	X2	X3
	Объем прибыли	Среднегодовые ставки по кредитам	Ставки по депозитам	Размер внутрибанковских расходов
1	60	56	30	64
2	68	48	40	68
3	64	52	44	82
4	72	58	28	76
5	78	66	50	84
6	88	62	56	96
7	90	48	50	100
8	82	66	56	104
9	92	70	60	108
10	94	68	62	102
Сумма	788	594	476	884
Ср. знач.	78,8	59,4	47,6	88,4

 

Используем  инструмент Корреляции (Анализ данных в Excel). Результаты расчетов представлены в таблице 2.

 

Матрица значений коэффициентов парной корреляции        Таблица 2

	Объем прибыли, у	Среднегодовые ставки по кредитам, х1	Ставки по депозитам, х2	Размер внутрибанковских расходов, х3
Объем прибыли, у	1
Среднегодовые ставки по кредитам, х1	0,537	1
Ставки по депозитам, х2	0,842	0,591	1
Размер внутрибанковских расходов, х3	0,905	0,572	0,889	1

 

 

 

Анализ  матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная У₁ объем прибыли и размер внутрибанковских расходов X₃ тесно связаны между собой ( у₁x₃ = 0,905, выбираем максимальное по модулю значение коэффициента парной корреляции между факторами).  Это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности и один из них необходимо исключить из рассмотрения. Зависимая переменная Y, т.е. объем прибыли имеет тесную связь со среднегодовыми ставками по кредитам X₁ ( yx₁ = 0,537) и со ставками по депозитам X₁ ( yx₂ = 0,842).  Из  двух анализируемых факторов предпочтение отдается тому фактору, который имеет максимальное по модулю значение коэффициента парной корреляции с зависимой переменной Y. Предпочтение отдается фактору X₃ размер внутрибанковских расходов, т.к. значение yx₃ = 0,905 больше, чем yx₁ = 0,537 и yx₂ = 0,842. Однако выбранные факторы X₂ и X₃ более тесно связаны между собой ( x₂x₃ = 0,889), чем факторы X₂ и X₁ ( x₁x₂ = 0,591).  Поэтому окончательно в модели оставляем факторы X₁ и X₂. В исходном задании n = 10 (количество наблюдений), m = 3 (количество факторов), после исключения незначимого фактора X₃  n = 10,  m = 2.

 

2. Расчет параметров модели

Оценка коэффициентов a₀, a₁, a₂ уравнения линейной множественной регрессии вида  y = a₀ + a₁*x₁ + a₂*x₂ осуществляется на основании данных, приведенных в таблице 3,по методу наименьших квадратов, используя формулу:

A  = (X^T* X)^-1* X^T* Y,

где A = ,    X^T – транспонированная матрица  Х.

Матрица Y                                 Матрица  Х                       Таблица 3

t	Y	Х0	X1	X2
	Объем прибыли		Среднегодовые ставки по кредитам	Ставки по депозитам
1	60	1	56	30
2	68	1	48	40
3	64	1	52	44
4	72	1	58	28
5	78	1	66	50
6	88	1	62	56
7	90	1	48	50
8	82	1	66	56
9	92	1	70	60
10	94	1	68	62

 

Применим  инструмент Регрессия (Анализ данных в  Excel) (таблицы 4.1, 4.2, 4.3, 4.4).

Таблица 4.1

Регрессионная статистика
Множественный R	0,844
R-квадрат	0,712
Нормированный R-квадрат	0,629
Стандартная ошибка	7,488
Наблюдения	10

 

Таблица 4.2

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	2	969,039	484,52	8,64
Остаток	7	392,561	56,08
Итого	9	1361,6

 

Таблица 4.3

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	33,846	18,209	1,859	0,105
Среднегодовые ставки по кредитам	0,089	0,376	0,238	0,819
Ставки по депозитам	0,833	0,26	3,206	0,015

 

Таблица 4.4

Наблюдение	Предсказанное Объем прибыли	Остатки
1	63,840	-3,840
2	71,451	-3,451
3	75,140	-11,140
4	62,354	9,646
5	81,389	-3,389
6	86,027	1,973
7	79,778	10,222
8	86,385	-4,385
9	90,074	1,926
10	91,561	2,439

 

В таблице 4.3 содержатся коэффициенты уравнения  регрессии a₀, a₁, a₂. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости объема прибыли  Y от среднегодовых ставок по кредитам X₁ и ставок по депозитам X₂ можно записать в следующем виде:

ŷ  = 33,846 + 0,089*x₁ + 0,833*x₂                      (1).

 

3. Оценка характеристик модели

- линейный коэффициент множественной корреляции R. Рассчитанное значение этого коэффициента возьмем из табл.4.1 (множественный R):

R  = 0,844;