Контрольная работа по экономике. 2

 

 

Экономико-математический факультет

Кафедра математического моделирования

и информационной безопасности

 

 

 

Контрольная работа

по курсу «Эконометрика»

 

 

 

Выполнил: студент 2 курса

специальность «Финансы и кредит»

экономико-математического

факультета

группы

 

Проверила:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

Задача 1

 

Имеются данные, характеризующие показатели средней номинальной заработной платы (x, тыс. руб.) и среднедушевых денежных доходов населения (y, тыс. руб.) за период январь по октябрь 2010г. (по данным статистической базы данных по российской экономике веб-портала Высшей школы экономики1).

 

X	18,94	19,02	20,59	20,36	20,28	21,80	21,33	20,75	21,00	20,97
Y	13,68	16,81	17,50	18,91	17,85	18,78	19,04	18,11	18,33	19,25

 

Требуется:

1. Построить регрессионные модели зависимости Y от Х и отобразить на графиках фактические и расчетные данные следующих моделей:

• линейной,

• степенной,
• показательной,
• гиперболической.

2. Оценить каждую модель, определив:

2.1 Характеристики модели:

- σ2 (остаточная дисперсия);

- rXY (индекс корреляции);

- R2 (коэффициент детерминации).

- Эyx (коэффициент эластичности);

- βyx (бета-коэффициент).

2.2 Значимость уравнения множественной регрессии в целом (F-критерий Фишера).

2.3 Значимость коэффициентов уравнения регрессии (t-критерий Стьюдента).

2.4 Произвести проверку выполнения условий для получения «хороших» оценок методом наименьших квадратов (МНК):

- математическое ожидание случайной компоненты равно 0, иначе M(εi)=0 (с помощью t-критерия Стьюдента);

- дисперсия должна быть постоянной, т.е. D(εi) = const = σ2 (с помощью F-критерия Фишера);

- ковариация должна быть равна  0, иначе по формуле: cov(εi,εj) = 0 (с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона (D-W)).

2.5 Найти Еотн (среднюю относительную ошибку).

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
4. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.
5. Отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и прогноз по результативной модели.

Вычисления провести с двумя  знаками в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.

 

Решение

1. Для определения параметров линейной модели вида составим таблицу 1.

На основе ее данных определим параметры линейной модели a и b:

=1,45. =-11,92.

Получим следующее уравнение линейной модели:

-11,92+1,45xi.

Для нахождения характеристик линейной модели составим таблицу 2.

Определим индекс корреляции по формуле:

Таблица 1 – Расчеты параметров линейной модели

t	x	y	xy	x²
1	18,94	13,68	259,09	358,65
2	19,02	16,81	319,58	361,65
3	20,59	17,50	360,37	423,91
4	20,36	18,91	384,99	414,45
5	20,28	17,85	361,96	411,24
6	21,80	18,78	409,40	475,02
7	21,33	19,04	406,07	454,76
8	20,75	18,11	375,92	430,69
9	21,00	18,33	384,83	440,96
10	20,97	19,25	403,74	439,74
∑	205,02	178,27	3665,94	4211,05
ср.зн	20,50	17,83

 

Таблица 2 – Расчеты характеристик линейной модели

t					2
1	-1,56	-4,15	6,49	2,45	17,19
2	-1,49	-1,02	1,52	2,21	1,04
3	0,09	-0,32	-0,03	0,01	0,10
4	-0,14	1,08	-0,16	0,02	1,18
5	-0,22	0,02	0,00	0,05	0,00
6	1,29	0,96	1,24	1,67	0,92
7	0,82	1,22	1,00	0,68	1,48
8	0,25	0,29	0,07	0,06	0,08
9	0,50	0,50	0,25	0,25	0,25
10	0,47	1,43	0,67	0,22	2,03
∑	0,00	0,00	11,04	7,61	24,27

 

Найденный нами показатель индекса корреляции свидетельствует о том, что связь между фактором х и показателем у прямая, сильная.

Определим коэффициент детерминации: Найденный нами показатель коэффициента детерминации свидетельствует о том, что вариация показателя y на 66% объясняется вариацией фактора x.

Рассчитаем F-критерия Фишера, на основе которого проведем оценку значимости модели. Данный показатель определяется по формуле:

По данным специальной таблицы табличное значение F-критерия Фишера для степеней свободы 1 и 8 и вероятности 0,95 составит Fтабл = 11,26. Fрасч > Fтабл, это свидетельствует о том, что уравнение модели является статистически значимым с вероятностью р=0,95.

Определим коэффициент эластичности и бета-коэффициент:

где b – коэффициент уравнения регрессии при факторе;

- среднее значение фактора и  результирующего признака соответственно;

Sx, Sy – среднеквадратическое отклонение фактора и результирующего признака соответственно, рассчитываемые в свою очередь по формулам:

Тогда:

На основе коэффициента эластичности определяем, что зависимая переменная изменяется на 1,67% при изменении переменной-фактора на один процент.

На основе бета-коэффициента определяем, что среднее значение зависимой переменной меняется на 0,81 величины среднего квадратического отклонения с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение.

Составим таблицу 3, с помощью которой проанализируем случайную компоненту ε.

 

Таблица 3 – Оценка случайной компоненты линейной модели

t	y	ŷ	εi = yi- ŷ i	│εi /yi│×100%	ε2	(εi-εi-1)2
1	13,68	15,56	-1,88	13,71	3,52
2	16,81	15,67	1,13	6,74	1,28	9,06
3	17,50	17,95	-0,45	2,57	0,20	2,51
4	18,91	17,62	1,29	6,84	1,67	3,04
5	17,85	17,50	0,35	1,94	0,12	0,90
6	18,78	19,70	-0,92	4,89	0,84	1,60
7	19,04	19,02	0,02	0,11	0,00	0,88
8	18,11	18,19	-0,08	0,42	0,01	0,01
9	18,33	18,55	-0,22	1,21	0,05	0,02
10	19,25	18,51	0,75	3,88	0,56	0,94
∑	178,27	178,27	0,00	42,32	8,26	18,95
ср.зн	17,83			4,23

 

Определим остаточную дисперсию:

Определим t-статистику Стьюдента: tрасч = b / σb,

где σb - стандартная ошибка коэффициента b, которая определяется по формуле:

Тогда t-статистика равна: t = 1,45/0,37 = 3,94.

По данным специальной таблицы для степеней свободы 8 и вероятности 0,95 табличное значение t-критерия Стьюдента равно tтабл = 2,306. Так как tрасч>tтабл, это свидетельствует о том, что х влияет на у существенно с вероятностью р=0,95.

Проанализируем условия «хороших оценок» относительно случайной компоненты ε.

1) Изучим нарушение условия о том, что M(εi)≠0. Вероятность для всех значений εi равно 1, поэтому должно выполняться следующее условие:

Таким образом, гипотеза о том, что M(εi)≠0 отвергается, и условие соблюдается.

2) Изучим нарушение условия о том, что D(εi) ≠ const. Для проверки нарушения условия определим F-статистику по формуле:

.

F-статистика равна: 2,25.

Если проверяется гипотеза о росте дисперсии, то Fрасч должно быть меньше Fтабл. Если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, то Fрасч должно быть больше Fтабл.

Табличное значение составит Fтабл = F4,40,95 составит 6,39 для степеней свободы 4 и 4. Так как Fтабл > Fрасч, то есть гипотеза о росте дисперсии подтверждается и таким образом второе условие не соблюдается с вероятностью p = 0,95.

3) Изучим нарушение условия о наличии автокорреляции случайных компонент для наблюдений. Для этого рассчитаем значение статистики Дарбина-Уотсона по формуле:

Наличие автокорреляции случайных компонент для наблюдений определим по методу, представленному на рисунке 1.

Найденное значение критерия Дарбина-Уотсона 2,29 принадлежит интервалу (dU = 1,32; 4-dU = 1,68). Таким образом, с вероятностью р=0,95 отсутствует автокорреляции остатков.

Определим среднюю относительную ошибку Еотн, значение которой представлено в таблице 3:

 

Есть положительная автокорреляция  остатков. Н0 отклоняется. С вероятностью р = 0,95 принимается гипотеза Н1.	Зона неопределенности	Нет оснований отклонять Н0. Автокорреляция остатков отсутствует.	Зона неопределенности	Есть отрицательная автокорреляция остатков. Н0 отклоняется. С вероятностью р = 0,95 принимается  гипотеза Н1*.
0                          dL                               dU                           4 – dU                        4 – dL                   4

Рисунок 1 - Проверка гипотезы о наличии автокорреляции остатков

 

Найденный нами показатель свидетельствует о том, что в среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических на 4,23%.

На рисунке 2 представлен график линейной модели.

Рисунок 2 - Линейная модель

 

2. Для построения степенной модели произведем линеаризацию параметров следующего уравнения:

 

Для линеаризации прологарифмируем обе части уравнения:

.

Пусть .

Получим линейное уравнение регрессии вида: .

Составим таблицу 4, на основе данных которой найдем параметры полученного линейного уравнения регрессии:

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Для того чтобы перейти к уравнению степенной модели, выполним потенцирование уравнения линейной регрессии:

.

 

Таблица 4 – Расчеты параметров степенной модели

t	x	y	X=lgx	Y=lgy	XY	X²
1	18,94	13,68	1,28	1,14	1,45	1,63
2	19,02	16,81	1,28	1,23	1,57	1,64
3	20,59	17,50	1,31	1,24	1,63	1,73
4	20,36	18,91	1,31	1,28	1,67	1,71
5	20,28	17,85	1,31	1,25	1,64	1,71
6	21,80	18,78	1,34	1,27	1,70	1,79
7	21,33	19,04	1,33	1,28	1,70	1,77
8	20,75	18,11	1,32	1,26	1,66	1,73
9	21,00	18,33	1,32	1,26	1,67	1,75
10	20,97	19,25	1,32	1,28	1,70	1,75
∑	205,02	178,27	13,11	12,49	16,39	17,20
ср.зн	20,50	17,83	1,31	1,25	1,64	1,72

 

Для нахождения характеристик степенной модели составим таблицу 5.

Определим индекс корреляции по формуле:

Найденный нами показатель индекса корреляции свидетельствует о том, что связь между фактором х и показателем у прямая, сильная.

 

Таблица 5 – Расчеты характеристик степенной модели

t					2
1	-0,03	-0,11	0,004	0,001	0,013
2	-0,03	-0,02	0,001	0,001	0,001
3	0,00	-0,01	0,000	0,000	0,000
4	0,00	0,03	0,000	0,000	0,001
5	0,00	0,00	0,000	0,000	0,000
6	0,03	0,02	0,001	0,001	0,001
7	0,02	0,03	0,001	0,000	0,001
8	0,01	0,01	0,000	0,000	0,000
9	0,01	0,01	0,000	0,000	0,000
10	0,01	0,04	0,000	0,000	0,001
∑	0,00	0,00	0,006	0,004	0,017

 

Определим коэффициент детерминации: Найденный нами показатель коэффициента детерминации свидетельствует о том, что вариация показателя y на 65% объясняется вариацией фактора x.

Рассчитаем F-критерия Фишера, на основе которого проведем оценку значимости модели. Данный показатель определяется по формуле:

По данным специальной таблицы табличное значение F-критерия Фишера для степеней свободы 1 и 8 и вероятности 0,95 составит Fтабл = 11,26. Fрасч > Fтабл, это свидетельствует о том, что уравнение модели является статистически значимым с вероятностью р=0,95.

Определим коэффициент эластичности и бета-коэффициент:

где b – коэффициент уравнения регрессии при факторе; - среднее значение фактора и результирующего признака соответственно; SХ, SY – среднеквадратическое отклонение фактора и результирующего признака соответственно, рассчитываемые в свою очередь по формулам:

Тогда:

На основе коэффициента эластичности определяем, что зависимая переменная изменяется на 1,87% при изменении переменной-фактора на один процент.

На основе бета-коэффициента определяем, что среднее значение зависимой переменной меняется на 0,81 величины среднего квадратического отклонения с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение.

Составим таблицу 6, с помощью которой проанализируем случайную компоненту ε.

Определим остаточную дисперсию:

Определим t-статистику Стьюдента: tрасч = b / σb,

где σb - стандартная ошибка коэффициента b, которая определяется по формуле:

Тогда t-статистика равна: t = 1,78/0,46 = 3,86. По данным специальной таблицы для степеней свободы 8 и вероятности 0,95 табличное значение t-критерия Стьюдента равно tтабл = 2,306. tрасч>tтабл, это свидетельствует о том, что х влияет на у существенно с вероятностью р=0,95.

 

Таблица 6 – Оценка случайной компоненты степенной модели

t	Y	Ŷ	εi = Yi- Ŷ i	│εi /Yi│×100%	ε2	(εi-εi-1)2
1	1,14	1,19	-0,052	4,60	0,003
2	1,23	1,19	0,034	2,76	0,001	0,007
3	1,24	1,25	-0,010	0,81	0,000	0,002
4	1,28	1,24	0,032	2,53	0,001	0,002
5	1,25	1,24	0,010	0,81	0,000	0,000
6	1,27	1,30	-0,024	1,85	0,001	0,001
7	1,28	1,28	-0,001	0,06	0,000	0,001
8	1,26	1,26	-0,001	0,11	0,000	0,000
9	1,26	1,27	-0,005	0,43	0,000	0,000
10	1,28	1,27	0,017	1,33	0,000	0,001
∑	12,49	12,49	0,000	15,28	0,006	0,014
ср.зн	1,25			1,53

 

Проанализируем условия «хороших оценок» относительно случайной компоненты ε.

1) Изучим нарушение условия о том, что M(εi)≠0. Вероятность для всех значений εi равно 1, поэтому должно выполняться следующее условие:

Таким образом, гипотеза о том, что M(εi)≠0 отвергается, и условие соблюдается.

2) Изучим нарушение условия о том, что D(εi) ≠ const. Для проверки нарушения условия определим F-статистику по формуле:

.

F-статистика равна: 5,84.

Если проверяется гипотеза о росте дисперсии, то Fрасч должно быть меньше Fтабл. Если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, то Fрасч должно быть больше Fтабл. Табличное значение составит Fтабл = F4,40,95 составит 6,39 для степеней свободы 4 и 4. Так как Fтабл > Fрасч, то есть гипотеза о росте дисперсии подтверждается и таким образом второе условие не соблюдается с вероятностью p = 0,95.

3) Изучим нарушение условия о наличии автокорреляции случайных компонент для наблюдений. Для этого рассчитаем значение статистики Дарбина-Уотсона по формуле:

Найденное значение критерия Дарбина-Уотсона 2,30 принадлежит интервалу (dU = 1,32; 4-dU = 1,68). Таким образом, с вероятностью р=0,95 отсутствует автокорреляции остатков.

 

Рисунок 3 - Степенная модель

 

Определим среднюю относительную ошибку Еотн, значение которой представлено в таблице 6:

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических на 1,53%.

На рисунке 3 представлен график степенной модели.

 

3. Для построения показательной модели произведем линеаризацию параметров следующего уравнения: .

Для линеаризации прологарифмируем обе части уравнения:

.

Пусть .

Тогда: - линейное уравнение регрессии.

Составим таблицу 7, на основе данных которой найдем параметры полученного линейного уравнения регрессии:

 

Таблица 7 – Расчеты параметров показательной модели

t	x	y	Y=lgy	xY	x²
1	18,94	13,68	1,14	21,52	358,65
2	19,02	16,81	1,23	23,30	361,65
3	20,59	17,50	1,24	25,59	423,91
4	20,36	18,91	1,28	25,99	414,45
5	20,28	17,85	1,25	25,38	411,24
6	21,80	18,78	1,27	27,76	475,02
7	21,33	19,04	1,28	27,29	454,76
8	20,75	18,11	1,26	26,11	430,69
9	21,00	18,33	1,26	26,52	440,96
10	20,97	19,25	1,28	26,94	439,74
∑	205,02	178,27	12,49	256,41	4211,05
ср.зн	20,50	17,83	1,25	25,64	421,11

 

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Для того чтобы перейти к уравнению показательной модели, выполним потенцирование уравнения линейной регрессии:

.

Для нахождения характеристик показательной модели составим таблицу 8.

 

Таблица 8 – Расчеты характеристик показательной модели

t					2
1	-1,56	-0,11	0,177	2,447	0,013
2	-1,49	-0,02	0,035	2,206	0,001
3	0,09	-0,01	-0,001	0,008	0,000
4	-0,14	0,03	-0,004	0,021	0,001
5	-0,22	0,00	-0,001	0,050	0,000
6	1,29	0,02	0,032	1,671	0,001
7	0,82	0,03	0,025	0,677	0,001
8	0,25	0,01	0,002	0,063	0,000
9	0,50	0,01	0,007	0,247	0,000
10	0,47	0,04	0,017	0,219	0,001
∑	0,00	0,00	0,290	7,608	0,017