Контрольная работа по финансовой математике. 2

Минобрнауки России

Федеральное государственное  образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального  образования

 

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ)

Калужский филиал

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

 Финансовая  математика             

 

Вариант №2

 

 

 

 

          Выполнила: Трушкова С.А.

      Специальность:  финансы и кредит.

          Группа: день,  4 курс

                                                                   № л.д.: 09ФФБ01402

        Преподаватель:   доц. Семененко М.Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Калуга-2012

ЗАДАНИЕ 1

Имеются квартальные  данные о кредитах коммерческого  банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (16 кварталов):

Таблица 1

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Y(t)

30

38

45

30

32

42

51

31

36

46

55

34

41

50

60

37


 

Требуется:

1. Построить адаптивную  мультипликативную модель Хольта-Уинтерса  с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a1=0,3; a2=0,6; a3=0,3.

2. Оценить точность  построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность  построенной модели на основе  исследования:

  • случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
  • независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=l,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;
  • нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный  прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить на графике  фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

1. Мультипликативная  модель Хольта-Уинтерса с линейным  ростом имеет следующий вид:

,

где Yp(t) — расчетное значение экономического показателя для периода t; k — период упреждения; a(t), b(t) — коэффициенты модели, которые уточняются по мере перехода от одного уровня временного ряда к следующему; F(t+k–L) —коэффициент сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель; L — период сезонности (для квартальных данных L=4).

Уточнение параметров модели для уровня временного ряда t производится с помощью следующих формул:

 

 

;

(1)

 

;

(2)

 

,

(3)


где a1, a2, a3 — параметры сглаживания (по заданию a1=0,3; a2=0,6; a3=0,3).

Начальные значения параметров модели a(0) и b(0) определим, построив методом наименьших квадратов линейную модель

 

(4)


по первым восьми значениям Y(t) из таблицы исходных данных. С помощью встроенных функций табличного процессора EXCEL «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» были определены значения параметров a(0) и b(0) (см. приложение). Окончательно модель (4) имеет вид:

Yp(t)= 33,89286+ 0,77381хt

 

С использованием формул (1) — (3) строим адаптивную модель Хольта-Уинтерса для всех N=16 уровней временного ряда.

t

a(t)

b(t)

F(t)

Yпрог

Остатки

  

-3

    

0,8564

      

-2

    

1,081059

      

-1

    

1,27

      

0

33,89286

0,77381

0,79223

  

E(t)

Е(t)-E(t-1)

1

34,77578

0,806543

0,860162

29,68852

0,311475

  

2

35,45284

0,767698

1,075532

38,4666

-0,4666

-0,77807

3

35,9843

0,696827

1,258327

46,00006

-1,00006

-0,53347

4

37,03712

0,803626

0,802891

29,0599

0,9401

1,940164

5

37,64922

0,746167

0,854035

32,54916

-0,54916

-1,48926

6

38,59191

0,805123

1,083199

41,29545

0,704551

1,253708

7

39,73692

0,907091

1,273395

49,57435

1,425652

0,721101

8

40,03395

0,724072

0,785762

32,63271

-1,63271

-3,05836

9

41,17646

0,849604

0,866186

34,80879

1,191207

2,823918

10

42,15828

0,889269

1,087955

45,52261

0,477395

-0,71381

11

43,09077

0,902234

1,275183

54,81656

0,183439

-0,29396

12

43,77613

0,837173

0,780312

34,56803

-0,56803

-0,75147

13

45,4295

1,082032

0,887973

38,64341

2,356594

2,924628

14

46,3454

1,032193

1,082495

50,60247

-0,60247

-2,95906

15

47,27993

1,002894

1,271496

60,41513

-0,41513

0,187342

16

48,02306

0,924962

0,774403

37,67568

-0,67568

-0,26055

17

      

43,4645

16,24341

44,86512

18

      

53,98728

    

19

      

64,58937

    

20

      

40,05436

    

 

2. Оценим точность  построенной модели через среднюю относительную ошибку аппроксимации , определяемую по формуле

%

где — остатки.

Значение  не превышает 5 %, что свидетельствует о высокой точности модели.

3. Для того чтобы  модель Хольта-Уинтерса была адекватной  исследуемому экономическому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней и нормальности распределения.

1) Проверим случайность  уровней ряда остатков по критерию  поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними — предыдущим и последующим. Если этот уровень одновременно больше или меньше обоих соседних уровней, то точка считается поворотной. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков равно p=10 .

График остатков

Критическое число поворотных точек для N=16 определяется по формуле

Так как  , то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

2) Проверим независимость уровней  ряда остатков (отсутствие автокорреляции) двумя методами: по d-критерию Дарбина-Уотсона и первому коэффициенту автокорреляции r(1).

d-статистика Дарбина-Уотсона определяется по формуле

.

Сравниваем d-статистику с критическими значениями d1=1,10 и d2=l,37. Так как , то уровни ряда остатков признаются независимыми.

Первый коэффициент автокорреляции определяется по формуле

.

Видно, абсолютная величина (модуль) первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения r1=0,32, что также указывает на независимость уровней ряда остатков.

3) Проверим соответствие  ряда остатков нормальному закону  распределения по R/S-критерию:

,

где Emax и Emin — наибольший и наименьший остатки соответственно; — среднее квадратическое отклонение ряда остатков.

Значение R/S-критерия попадает в критический интервал от 3 до 4,21. Это означает, что уровни ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения.

Таким образом все условия адекватности и точности выполняются, что позволяет говорить о приемлемом качестве модели.

4. С использованием формулы

строим прогноз размеров кредитов на четыре квартала вперед.

 

Имеем

:

  • 17-й квартал (период упреждения k=1): Yр(17)= 43,46;
  • 18-й квартал (k=2): Yр(18)= 53,99;
  • 19-й квартал (k=3): Yр(19)= 64,59;
  • 20-й квартал (k=4): Yр(20)= 40,05.

 

 

   5. Строим график фактических, расчетных и прогнозных значений кредитов на жилищное строительство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 2

Даны цены финансового  инструмента (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней:

Дни

Цены

макс.

мин.

закр.

1

765

685

750

2

792

703

733

3

740

706

733

4

718

641

666

5

680

600

640

6

693

638

676

7

655

500

654

8

695

630

655

9

700

640

693

10

755

686

750


 

Рассчитать:

  • экспоненциальную скользящую среднюю;
  • момент;
  • скорость изменения цен;
  • индекс относительной силы;
  • %R, %K и %D.

Интервал сглаживания n принять равным пяти дням (n=5). Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение

 1.   Экспоненциальная скользящая средняя для уровня временного ряда t определяется по формуле

EMAt = k Ct + (1-k) EMAt-1,

где Ct — цена закрытия дня t; k=2/(n+1)= 0,333333

    Первым уровнем, для которого определяется EMA, является уровень . Для этого уровня EMA рассчитывается по формуле средней арифметической первых n уровней ряда:

= 704,4.

Далее вводим в ячейку Е6 вводим формулу и раскопируем  для остальных дней. Получаем:

 

Дни

Mакс.цена  Ht

Мин цена за день Lt

 Цена  закрытия Сt

EMAt

1

765

685

750

  

2

792

703

733

  

3

740

706

733

  

4

718

641

666

  

5

680

600

640

704,4

6

693

638

676

693,9333

7

655

500

654

679,6222

8

695

630

655

670,4148

9

700

640

693

676,9432

10

755

686

750

700,2955


Покажем на графике:

 

5-8-ой дни наблюдается  нисходящий тренд, рекомендуется  продажа финансового инструмента. 9-10-ый день наблюдается восходящий тренд, рекомендуется покупка финансового инструмента.

   

2. Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад:

.

676-750=-74

654-733=-79

655-733=-78

693-666=27

           750-640=110

Построим график:

   6-8-ой дни график  момента находится ниже нулевого  уровня, рекомендуется продажа финансового  инструмента. 9-10-ый дни график  момента находиться выше нулевого  уровня, рекомендуется покупка финансового инструмента.

 

3.    Скорость изменения цен рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад:

, где Ct – цена закрытия t-го дня; ROCt - значения ROC текущего дня t.

(676/750)*100%=90

(654/733)*100%=89

(655/733)*100%=89

(693/666)*100%=104

(750/640)*100%=117

 

Покажем на графике:

   6-8-ой дни график  скорости изменения цен находится  ниже уровня 100%, рекомендуется продажа  финансового инструмента. 9-10-ый дни  график скорости изменения цен находится выше уровня 100%, рекомендуется покупка финансового инструмента.

 

4.  Индекс относительной силы рассчитаем по формуле:

 

где AU- сумма приростов конечных цен за n последних дней;              AD- сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Предварительно рассчитаем изменение цен закрытия, выберем  положительные значения, характеризующие  повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен. Для  всех t≥6 рассчитаем суммы приростов и суммы убыли цен закрытия за 5 дней до дня t.

t

C(t)

изменен.

повышен.

понижен.

AU(t,5)

AD(t,5)

RSI(t)

1

750

            

2

733

-17

0

17

      

3

733

0

0

0

      

4

666

-67

0

67

      

5

640

-26

0

26

      

6

676

36

36

0

36

110

24,66

7

654

-22

0

22

36

115

23,84

8

655

1

1

0

37

115

24,34

9

693

38

38

0

75

48

60,97

10

750

57

57

0

132

22

85,71


 

 

Построим график индекса относительной  силы и проведем анализ:

               Рис. 6. График индекса относительной силы RSI(t)

  6-8-ой день график находиться в зоне «перепроданности», следует подготовиться к покупке.

9-ый день график  находиться в нейтральной зоне, можно проводить финансовые операции (в данном случае, покупки).

10-ый день вход в  зону «перекупленности», рекомендуется остановить операции и подготовиться к продаже.

 

5. Рассчитаем %R, %K . Для этого:

Начиная с дня n, вычислим максимальную цену за n дней H5 (функция МАКС группа Статистические).

 Начиная с дня n, вычислим минимальную цену за n дней L5 (функция МИН группа Статистические).

Вычислим Сt – L5 , H5 – Ct , H5 – L5 .

Вычислим стохастические линии

 

%Kt = 100 (Ct - L5)/(H5 - L5) ,

 

%Rt = 100 (H5 - Ct)/(H5 - L5) .

 

 

 

МАКС Нt

МИН Lt

Сt – L5

H5 – Ct

H5 – L5

%Kt

%Rt

             
             
             
             

792

600

40

152

192

20,833

79,17

792

600

76

116

192

39,583

60,42

740

500

154

86

240

64,167

35,83

718

500

155

63

218

71,101

28,9

700

500

193

7

200

96,5

3,5

755

500

250

5

255

98,039

1,961


 

Теперь рассчитаем %D:

.

Для этого, начиная с  дня n + 2, вычислим сумму Ct - L5 за 3 предшествующих дня, включая данный.

Начиная с дня n + 2, вычислим сумму H5 - L5 за 3 предшествующих дня, включая данный.

 

Сумма (C-L)

Сумма(H-L)

%D

     
     
     
     
     
     

270

624

43,26923

385

650

59,23077

502

658

76,29179

598

673

88,85587


 

 

 

Построим график всех стохастических линий %R, %K, %D и проведем анализ:

 

     График %К показывает, что в в 5-ый день рекомендуется остановить операции (график находиться в критической зоне «перепроданности»); 6-8-ой дни можно совершать покупки, так как график находится в нейтральной зоне;в 9-10-ый дни рекомендуется остановить финансовые операции, так как график находится в критической зоне «перекупленности».

График %R является зеркальным отражением графика %К, выводы по графику %R совпадают с выводами по графику %К.

График %D показывает, что 7-8-ой дни можно совершать покупки, так как график находится в нейтральной зоне; в 9-10 дни рекомендуется остановить финансовые операции, так как график находиться в критической зоне «перекупленности».

ЗАДАНИЕ 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 1 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 18.01.02, возврата 12.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 15% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты  с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты  с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты  с приближенным числом дней  ссуды.

Решение:

Ответ: проценты составят 21780,82 руб , 22083,33 руб, 22500,00 руб.

 

3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатил

1 000 000 руб. Кредит выдан  под 15% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма  и дисконт?

Решение:

Ответ: первоначальная сумма составит 930232,56 руб., дисконт – 69797,44 руб.

 

3.3. Через 180 предприятие должно получить по векселю 1 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 15% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение:

Ответ: дисконт равен 75000 руб., полученная сумма равна 925000 руб.

 

3.4. В кредитном договоре на сумму 1 000 000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 15% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение:

Ответ: наращенная сумма  равна 1749006,25 руб.

 

3.5. Сумма размером 1 000 000 руб. представлена на 4 года. Проценты сложные, ставка 15% годовых. Проценты начисляются 2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение:

Ответ: наращенная сумма  составит 173477,83 руб.

 

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 15% годовых.

Решение:

iэф.=(1+(i/m))m-1

Ответ: эффективная ставка процента равна 15,6%.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 15% годовых.

Решение:

iн = m x [(1 + iэ)1/m - 1] 

Ответ: номинальная ставка процента равна 14,5%.

 

3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 1 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 15% годовых.

Решение:

Ответ: современная стоимость  составит 7071427,99 руб.

 

3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 1 000 000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 15% годовых. Определить дисконт.

Решение

Ответ: дисконт составит 477993,75 руб.

 

3.10. В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 1 000 000 руб., на которые 2 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

Ответ: к концу срока сумма  составит 5034395,67 руб.


Контрольная работа по финансовой математике. 2 📙 Контрольная → 🆔 75181

Контрольная работа по финансовой математике. 2 📙 Контрольная → 🆔 75181

Контрольная работа по финансовой математике. 2