Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Финансовой математике". 65

Вариант 20

Простые проценты

Задание 1.1

Определите проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 190 тыс. р., срок ссуды 2 года, годовая простая процентная ставка 30 %.

Постройте график наращённой суммы в масштабе в зависимости от срока ссуды.

Определите, во сколько раз изменится наращенная сумма при увеличении процентной ставки в два раза.

Решение

Первоначальную сумму долга с начисленными процентами к концу срока, называют наращённой суммой.

Для записи формулы наращения простых процентов примем обозначения:

Р – первоначальная сумма долга;

i – годовая процентная ставка (ставка наращения), выраженная десятичной дробью;

n – срок ссуды в годах;

I – проценты за весь срок ссуды;

S – наращённая сумма в конце срока.

Начисленные за весь срок проценты определяются как

I = P⋅ n⋅ i .

Подставляя исходные данные, имеем следующее значение начисленных процентов

Формула наращения по простым процентам имеет вид

Подставляя исходные данные, имеем следующее значение накопленного долга

График наращённой суммы в масштабе в зависимости от срока ссуды

Если процентная ставка увеличится в 2 раза (до 60%), то наращенная сумма составит

При этом наращенная сумма при увеличении процентной ставки в два раза увеличится в 418/304=1,375 раза.

Задача 1.3

Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: в первый год ставка 35% , в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1 %. Определите множитель наращения за весь срок ссуды 2 года (взято из задачи 1.1).

Решение

В соглашения иногда предусматриваются переменные ставки в разные периоды начисления. При простых переменных ставках множитель наращения за весь срок определяется следующим образом:

где i₁, i₂, …, i_k – последовательные во времени значения простых процентных ставок; n₁, n₂, ..., n_k – периоды, в течение которого действуют соответствующие ставки. В нашей задаче имеем

i₁ = 35%, n₁ = 1

i₂ = 36%, n₂ = 0,5

i₃ = 37%, n₃ = 0,5

Итого, рассчитаем множитель наращения за весь срок

Задача 1.5

В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме S тыс. р. через t дней. Первоначальная сумма долга – P тыс. р. Определить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой ставки процента (K = 360).

S = 320, P = 240, t = 120

Решение

Формула наращения по простым процентам имеет вид

Выражая годовую ставку процента получаем

Если срок ссуды исчисляется в днях, то для проведения расчетов его нужно выразить в годах

Подставляя значения, определяем доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой ставки процента

Сложные проценты

Задача 2.1

Какой величины достигнет долг, равный Р тыс. р., через n лет при росте по сложной годовой ставке i % ? Постройте график наращенной суммы в масштабе в зависимости от срока ссуды.

P = 300, n = 5,5, i = 14%

Решение

Будем считать, что проценты начисляются ежегодно.

Наращенная сумма по сложным процентам можно получить общим методом по следующей формуле

Построим график наращенной суммы в масштабе в зависимости от срока ссуды.

Задача 2.3

Найдите срок удвоения первоначального капитала, применяя сложные и простые проценты для ставки i=14%

Решение

Удвоение первоначального капитала означает, что коэффициент наращения К примет значение 2. Необходимо выразить срок ссуды n из формулы коэффициента наращения для обоих случаев.

Для простых процентов коэффициент наращения равен

Отсюда найдем срок удвоения капитала при простых процентах наращения

Предполагая, что проценты начисляются ежегодно, для сложных процентов коэффициент наращения равен

Отсюда найдем срок удвоения капитала при сложных процентах наращения

Задача 2.5

Кредит в размере Р тыс. р. выдан на а лет и b дней под i % годовых. Определите сумму долга на конец срока общим и смешанным методами на основании исходных данных

P = 120, а = 6, b = 90, i = 11%

Решение

Исходя из темы, будем считать, что речь идет про сложные проценты.

Согласно общему методу, расчет ведется непосредственно по формуле

где n – полный срок в годах

n=a+b/360=6+90/360=6,25(лет)

Отсюда находим сумму долга общим методом

Второй, смешанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

Задача 3.1.

Имеется обязательство погасить долг в размере D₀ тыс. р., выданный под i % годовых, в определенный срок. Кредитор согласен получать частичные платежи. Дата и размер частичных поступлений указаны в табл. 15. При начислении процентов кредитором используется актуарный метод.

Необходимо:

1) составить план погашения задолженности, используя табл. 16;

2) определить остаток задолженности на конец срока займа;

3) построить контур финансовой операции в масштабе.

При разработке плана погашения задолженности проводят расчет временных периодов начисления процентов между отдельными платежами по погашению долга с учетом, что по кредиту начисляют точные проценты с точным числом ссуды. Точное количество дней между двумя последовательными платежами определяют по таблице прил. 1.

Решение:

Исходные данные заносим в таблицу 3.1.1

Таблица 3.1.1

Исходные данные

Номер варианта	Размер долга D₀ тыс. р.	Процентная ставка i, %	Срок займа	Частичные поступления
				R₁		R₂		R₃
				Дата поступления	Размер платежа, тыс. р.	Дата поступления	Размер платежа, тыс. р.	Дата поступления	Размер платежа, тыс. р.
20	250	25	25.02.12-10.05.13	5.05.12	30	15.12.12	80	10.03.13	100

Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу.

Расчет будем вести по схеме 360/360.

D₀ = 250 тыс. р. – первоначальная сумма долга (сумма ссуды);

i = 25 %, процентная ставка;

Т = 25.02.12-10.05.13, Т = 5 + 14 · 30 + 10 = 435 = = 1,208 года. – срок ссуды.

Временные интервалы:

t₁ = 25.02.12-05.05.12, t = 5 + 2 · 30 + 5 = 70 дн. = = 0,194 года.

t₂ = 05.05.12-15.12.12, t = 25 + 6 · 30 + 15 = 220 дн. = = 0,611 года.

t₃ = 15.12.12-10.03.13, t = 15 + 2 · 30 + 10 = 85 дн. = = 0,236 года.

t₄ = 10.03.13-10.05.13, t = 20 + 1 · 30 + 10 = 60 дн. = = 0,167 года.

Последовательные платежи:

R₁ = 30 тыс. р.

R₂ = 80 тыс. р.

R₃ = 100 тыс. р.

Остатки долга находим по формулам:

На основании полученных значений составляем план погашения долга, таблица 3.1.2

Таблица 3.1.2

План погашения долга

Временной интервал, год	Остаток долга на начало срока D, тыс. р.	Расходы по займу R, тыс. р.	Проценты I, тыс. р.	Погашение основного долга (R - I), тыс. р.	Долг на конец срока D – (R – I), тыс. р.
t₁ = 0,194	250	30	12,125	17,875	232,125
t₂ = 0,611	232,125	80	35,457	44,543	187,582
t₃ = 0,236	187,582	100	11,067	88,933	98,649
t₄ = 0,167	98,649	102,768	4,119	98,649	0

2) Определим остаток задолженности на конец срока займа:

Полученные значения заносим в таблицу 3.1.1.

3) Построим контур финансовой операции в масштабе:

Задача 3.3.

Кредит размером D тыс. р. выдан на n лет под годовую процентную ставку i %. Основной долг погашается равными долями.

Исходные данные возьмите из табл. 17.

Требуется:

1) составить план погашения кредита;

2) построить контур финансовой операции в масштабе;

3) провести сравнительный анализ двух вариантов погашения кредита на

основе расчетов задач 3.2 и 3.3:

– сравнить суммы выплаченных процентов;

– рассчитать, во сколько раз общая стоимость кредитов превыша-

ет их первоначальный размер по двум вариантам;

– построить графики платежей по годам в масштабе (рис. 5);

– сделать выводы по проведенному анализу.

Решение:

Исходные данные представлены в таблице 3.3.1

Таблица 3.3.1

Исходные данные

Номер варианта	D, тыс. р.	n, год	i, %
20	510	3	16

Составим план погашения кредита.

Ежегодная уплата на погашение основного долга составит:

Размер основного долга со временем последовательно сокращается, соответственно и уменьшаются выплачиваемые проценты, т. к. они начисляются на остаток долга.

Если платежи производятся в конце каждого года на протяжении всего срока ссуды, то схему расчета показателей плана погашения задолженности можно представить в виде, приведенном в таблице 3.3.2

Проценты:

Расходы по займу:

Долг на конец года:

Таблица 3.3.2

План погашения основного долга равными долями.

Год	Остаток долга на начало года, тыс. р.	Расходы по займу, тыс. р.	Проценты, тыс.р.	Погашение основного долга, тыс. р.	Долг на конец года, тыс. р.
1	510	251,6	81,6	170	340
2	340	224,4	54,4	170	170
3	170	197,2	27,2	170	0

2) Построим контур финансовой операции в масштабе:

Задача 3.5.

Кредит в размере D тыс. р. выдан под i % годовых. Для погашения долга предполагается выделять сумму d тыс. р. Оцените величину срока, необходимого для погашения задолженности. Округлите расчетный срок. Для сбалансированности плана погашения долга рассмотрите две возможности:

1) рассчитайте новое значение срочных уплат Y;

2) при прежних уплатах рассчитайте остаток долга на последний год займа.

Исходные данные представлены в табл. 19.

Решение:

Исходные данные представлены в таблице 3.5.1

Таблица 3.5.1

Исходные данные

Номер варианта	D, тыс. р.	i, %	d, тыс. р.
20	300	20	50

Принимаем, что погашение задолженности проводится обыкновенными платежами в конце периода.

Срок погашения задолженности находится из формулы определения расходов по займу:

После преобразования, получим:

После логарифмирования этого выражения получим:

Очевидно, что решение существует тогда, когда

Т.е. решения нет, при заданных условиях долг будет ежегодно увеличиваться и никогда не будет погашен.

Однако, если принять условие, что платежи будут выделяться один раз в полгода:

Находим расчётное значение n при условии погашения задолженности равными частями каждые полгода.

Расчетный срок округляем до наименьшего целого числа, т.е. n = 9 платежей, в годах n = = 4,5 года.

Для сбалансированности плана погашения долга рассмотрим две возможности:

1) Рассчитаем новое значение срочных уплат Y каждые полгода:

2) При прежних уплатах рассчитаем остаток долга на последний период займа:

В конце 9-го периода остаток долга определяется из следующего выражения:

Остаток долга при выплатах каждые полгода на последний период займа составит 28,434тыс. р.

4. Налог на начисленные проценты

Задача 4.1

Определите номинальную эффективную ставку простых и сложных процентов при ежемесячном начислении процентов по номинальной процентной ставке банка i % для депозита сроком на один год, если ставка налога на проценты 15 %.

i = 28%

Решение

Номинальная ставка банка составляет i = 28%.

Эффективная ставка j показывает, какая годовая ставка процентов(простых или сложных) дает тот же финансовый результат(коэффициент наращения), что и номинальная ставка банка за вычетом налогов

При начислении простых процентов, коэффициент наращения с учетом уплаты налога по ставке g составит

Для эффективной ставки простых процентов

Приравняем их между собой

При начислении сложных процентов, коэффициент наращения с учетом уплаты налога по ставке g составит

Для эффективной ставки сложных процентов

Приравняем их между собой и выразим

Подставляя исходные значения, получаем

5. Наращение с учетом инфляции

Задача 5.1

Известны темпы инфляции за отдельные месяцы года. На основе исходных данных табл. 22 определите годовые индекс и темп инфляции, среднеквартальные индекс и темп инфляции, среднемесячные индекс и темп инфляции.

Месяц	Месячные темпы инфляции, %
1	4
2	4
3	6
4	7
5	7
6	9
7	10
8	9
9	8
10	6
11	6
12	8

Решение

Если известны темпы инфляции h_i за отдельные месяцы года, то годовой индекс цен I_p рассчитывается по формуле

Годовой темп инфляции находим следующим образом

Если известен годовой индекс цен, то среднемесячный индекс цен определяют по формуле средней геометрической:

Находим среднемесячный темп инфляции

Аналогично определяем среднеквартальный индекс цен

и среднеквартальный темп инфляции

Задача 5.3

Задан прогнозируемый средний темп инфляции в месяц _. На основе исходных данных табл. 24 определите, к какому росту цен за год такой темп инфляции приведет и каков годовой темп инфляции.

Решение

Если задаются постоянные ожидаемые (прогнозируемые) среднемесячные темпы инфляции _{, то
годово}й индекс цен определяется как

то есть цены за год вырастут в 3,138 раза.

Годовой темп инфляции составит

Задача 5.3

На основе исходных данных табл. 25 определите реальную ставку простых процентов за год, если брутто-ставка равна r % при годовой инфляции h_год %.

r = 65%, h_год = 38%

Решение

Зная темп инфляции найдем годовой индекс цен

Если задана норма доходности брутто-ставкой r, можно определить реальную процентную ставку i с учетом инфляции из соотношения(при n=1)

6. Дисконтирование и банковский учет

Задача 6.1

Долговое обязательство в сумме Р должно быть погашено через t дней с процентами, начисленными по процентной ставке i % годовых. Владелец обязательства учел его в банке за t₁ дней до наступления срока погашения по учетной ставке d. Определить дисконтированную сумму и дисконт, полученный банком.

P = 540 тыс. р., t = 135, i = 16%, t₁ = 45, d = 19%

Решение

Найдем размер суммы к погашению S с процентами

Размер дисконта определяется по формуле

где S – сумма к погашению; d – годовая учетная ставка; t₁ – срок от момента учета до даты погашения векселя (в годах), t₁ = 45/360=0,125 года

Теперь найдем сумму дисконта

Дисконтированная сумма Z составляет

Задача 6.3

Долговое обязательство на выплату S тыс. р. со сроком погашения через n лет учтено за n₁ лет до срока. Определите полученную сумму, если производилось дисконтирование по номинально сложной учетной ставке d_с % годовых: а) полугодовое; б) поквартальное.

S = 680; n = 7; n₁= 5; d_с = 15%

Решение

При дисконтировании m раз в году за n₁ лет до срока полученную сумму можно определить следующим образом

А) При полугодовом дисконтировании m=2 полученная сумма составит

А) При поквартальном дисконтировании m=4 полученная сумма составит

Задача 6.5

Долг в размере S тыс. р. должен быть выплачен через n лет. Требуется найти эквивалентные по ставке i % годовых значения долга: а) через n₁ лет; б) через n₂ лет

S = 650; n = 4; i = 18%; n₁= 2; n₂ = 8

Решение

Под эквивалентностью тут можно понимать приведение суммы S₄ , которая должна быть выплачена через 4 года, к соответствующим годам n₁= 2; n₂ = 8.

Для приведения суммы S_nк сумме, эквивалентной ей на моментам времени t, можно использовать универсальную формулу

Для t =n₁ = 2 имеем

То есть при ставке 18 % годовых сумма 650 000 р., выплаченная через 4 года, эквивалентна сумме 466 820 р., выплаченной через 2 года.

Аналогично, для t =n₂ = 8 имеем

При ставке 18 % годовых сумма 650 000 р., выплаченная через 4 года, эквивалентна сумме 1 260 206 р., выплаченной через 8 лет.

7. Денежные потоки

Задача 7.1

Фирма создает фонд накопления. Для этого ежемесячно в течение n лет переводит в банк РМТ_мес тыс. р. под годовую процентную ставку i %. Проценты начисляются ежемесячно. На основе исходных данных табл. 41 определите размер фонда накопления в конце планируемого срока.

РМТ_мес = 300; n = 5; i =14%

Решение

Величина фонда накопления представляет собой наращенную сумму аннуитета FVA:

Задача 7.3

Страховая компания, заключив на n лет договор с некоторой фирмой, получает от нее страховые взносы по РМТ_кв тыс. р. в конце каждого квартала. Эти взносы компания помещает в банк под годовую процентную ставку i %. Найдите приведенную стоимость суммы, которую получит страховая компания по данному контракту, если сложные проценты банком начисляются ежемесячно.

n = 4; PMT_месс = 30; i = 15

Решение

Если платежи поступают р = 4 раз в году, а проценты начисляются m=12 раз в году, то приведенную сумму аннуитета РVA при таких условиях можно найти следующим образом

Задача 7.5

Участок сдан в аренду на n лет. Сумма первого годового арендного платежа (схема постнумерандо) составляет РМТ тыс. р. Причем каждый год происходит индексация величины платежа на 5 %. Рассчитайте текущую цену договора на момент его заключения, если сложная банковская процентная ставка равна i % годовых.

n = 4; PMT = 300; i = 16%

Решение

Увеличение платежа на 10 % означает его рост в 1,1 раза. Приведенная стоимость такого аннуитета с постоянным относительным приростом определяем следующим образом

Контрольная работа по Финансовой математике. 65 📙 Контрольная → 🆔 75184