Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по финансовой математике. 3

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1 ………………………………………………………………………..	3
Задача 2 ………………………………………………………………………..	5
Задача 3 ………………………………………………………………………..	6
Задача 4 ………………………………………………………………………..	7
Задача 5 ………………………………………………………………………..	9
Задача 6 ………………………………………………………………………..	10
Задача 7 ………………………………………………………………………..	12
Задача 8 ………………………………………………………………………..	13
Задача 9 ………………………………………………………………………..	14
Задача 10 ………………………………………………………………………	15
Задача 11 ………………………………………………………………………	16
Задача 12 ………………………………………………………………………	18
Задача 13 ………………………………………………………………………	22
Задача 14 ………………………………………………………………………	23
Задача 15 ………………………………………………………………………	24
Список использованной литературы ……………………………………….	25

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 1

Имеются два обязательства. Условия первого: S₁=400 тыс.руб., t₁= 4 мес.; условия второго: S₂=420 тыс.руб., t₂= 9 мес. Требуется определить, какое из этих обязательств выгоднее для получателя денег при ставке простых процентов i=15%.

Решение

На практике нередко возникают случаи, когда нужно заменить одно денежное обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа. Такие задачи решают на основе принципа финансовой эквивалентности обязательств. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения платежа (если дата относится к будущему). Две суммы S₁ и S₂, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы.

По условиям задачи платежи краткосрочные, поэтому при дисконтировании на начало срока применяется простая процентная ставка, равная 15%. Введем обозначения:

I – проценты за весь срок ссуды;

P – первоначальная сумма долга;

S – наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

i – годовая ставка наращения процентов (десятичная дробь);

n – срок ссуды (в годах).

Проценты, начисленные за весь срок, рассчитываются по формуле:

(1.1)

Тогда наращенная сумма рассчитывается по формуле:

(1.2)

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

Формула 1.2 является формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов. Множитель – множитель наращения простых процентов. Для определения первоначальной суммы используют формулу дисконтирования:

(1.3)

Срок n представим в виде дроби:

(1.4)

где m – количество месяцев по сделке.

Для решения задачи проведем дисконтирование суммы обязательства S₂ к сроку по первому обязательству и сравним с суммой S₁. Получим:

Таким образом, первое обязательство выгоднее для получателя денег.

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 2

Вексель выдан на сумму 500 тыс.руб. с уплатой 17 ноября. Владелец учел его в банке 23 сентября этого же года по учетной ставке 8%. Какую сумму он получил?

Решение

Суть операции учета векселя заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до поступления срока платежа по векселю (или иному платежному обязательству) приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, то есть покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь, владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, но ранее указанного на нем срока. При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d:

(2.1)

Где n – срок в годах от момента учета до даты погашения векселя;

– дисконтный множитель.

Срок n представим в виде дроби:

(2.2)

где t – число дней ссуды;

K – число дней в году, или временная база начисления процентов.

По условиям задачи:

Поэтому оставшийся до конца срока период составит:

Полученная при учете сумма (текущая стоимость векселя) равна:

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 3

Вексель был учтен за 15 дней до срока погашения по ставке 13% годовых. В результате учета владелец векселя получил 49 625 руб. Какова номинальная стоимость векселя?

Решение

Из формул 2.1 и 2.2 выразим значение номинальной стоимости векселя:

(3.1)

Тогда по условиям задачи получим, что номинальная стоимость векселя равна:

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 4

Предоставлена ссуда в размере 12 тыс.руб. 10 февраля с погашением 10 июня под простую ставку 20% годовых (год не високосный). Рассчитать всеми известными способами сумму к погашению.

Решение

Срок n представлен в виде дроби (формула 2.2):

где t – число дней ссуды;

K – число дней в году, или временная база начисления процентов.

Применяют две временные базы: K = 360 дней (12 месяцев по 30 дней) и K = 365 (366) дней. Если К = 360, то получают обыкновенные (коммерческие) проценты. Если К = 365 (366), то – точные проценты.

Число дней ссуды также измеряют приближенно либо точно. При приближенном способе длительность каждого месяца принимается, равной 30 дням. При точном способе подсчитывается число дней между датой выдачи и датой погашения. При этом дата выдачи и дата погашения считаются за один день.

На практике используется три варианта:

1) Точные проценты с точным числом дней ссуды. Обозначение в документе: 365/365 либо ACT/ACT.

2) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Метод иногда называется банковским. Обозначается: 365/360 либо ACT/360. Этот метод дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.

3) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Применяется, когда не требуется большой точности. Обозначение: 360/360.

Применим все три метода для решения задачи, используя формулу 1.2 для исчисления наращенной суммы по ссуде:

1) точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365). Точное число дней ссуды равно:

t_т = 19 (февр) + 31 (март) + 30 (апр) + 31 (май) + 10 (июнь) – 1 = 120 дней

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

Сумма к погашению при данном способе равна:

2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Точное число дней ссуды равно 120 дней. Сумма к погашению при данном способе равна:

3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Приближенное число дней ссуды равно:

t_п = 21 (февр) + 30 (март) + 30 (апр) + 30 (май) + 10 (июнь) – 1 = 120 дней

Сумма к погашению при данном способе равна:

Таким образом, клиенту выгоднее взять ссуду на условиях – точные проценты с точным числом дней ссуды.

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 5

Величина предоставленного потребительского кредита для покупки автомобиля равна 780 000 руб. с простой процентной ставкой 8% годовых и сроком погашения 20 месяцев. Первоначальный взнос равен 30% стоимости предоставленного потребительского кредита. Каковы сумма долга с процентами и ежемесячные платежи?

Решение

В потребительском кредите проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основной сумме долга в момент открытия кредита. Погашение долга с процентами производится частями, обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Для решения задачи наращенная сумма долга по кредитному договору при простой процентной ставке рассчитывается по формуле 1.2, при этом срок n представлен в виде дроби:

где m – количество месяцев по сделке.

Величина разового погасительного платежа рассчитывается по формуле:

(5.1)

где k – число платежей в году.

По условиям задачи, во-первых, наращенная стоимость по кредитному договору рассчитывается за вычетом величины первоначального взноса:

Сумма долга (наращенная стоимость) по кредитному договору равна:

Во-вторых, количество месяцев по сделке равно количеству платежей за весь срок сделки, т.к. . Ежемесячные платежи будут равными:

Таким образом, сумма долга с процентами равна 618 800 руб., ежемесячные платежи равны 30 940 руб.

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 6

Контракт предусматривает следующий порядок начисления сложных процентов: первый год – 10%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2 года.

Решение

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. База для их начисления увеличивается с каждым шагом во времени. Процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательные реинвестирования средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов. Соотношение между наращенной суммой и первоначальной суммой вклада называется множителем наращения по сложным процентам.

Для записи формулы наращения применим следующие обозначения:

Р – первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),

S – наращенная сумма на конец срока ссуды,

n – срок, число лет (периодов) наращения,

i_c – уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью.

Наращенная сумма долга с присоединенными процентами через один год составит P(1+ i) , через 2 года P(1+ i)(1+ i) = P(1+ i)² , через n лет - P(1+ i)ⁿ . Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов:

(6.1)

По условиям задачи, во-первых, ставка сложных процентов меняется во времени. Формула наращения имеет следующий вид:

(6.2)

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

где i₁, i₂, …, i_k – последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n₁, n₂, …, n_k, соответственно.

Во-вторых, по условиям задачи во второй год проценты капитализируются не один, а несколько раз в году - по полугодиям. Каждый раз проценты начисляются по ставке i_c/m, где m – число периодов начисления в году (m = 2 для начисления по полугодиям).

Таким образом, по условиям задачи множитель наращения по сложным процентам рассчитывается следующим образом:

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 7

На валютный депозит помещают сумму в 1 млн.руб. Курс валюты на начало срока депозита 29,5 руб., а в конце – 30,05 руб. Процентная ставка по валютному депозиту j=8%. Срок операции – полгода. Найти наращенную сумму (в руб.).

Решение

По условиям задачи рассматривается следующий вариант совмещения конвертации (обмена) валюты и наращение простых процентов: рублевая сумма конвертируется в какую-либо конкретную валюту, которая инвестируется в валютный депозит (Рубли→Валюта→Валюта→Рубли). Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции обратно конвертируется в рубли. В операциях наращения с двойной конвертацией имеются два источника дохода: начисление процента и изменение курса. Причем начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована). Изменение же обменного курса может быть как в ту, так и в другую сторону, и оно может быть как источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям.

Трем этапам операции соответствуют три сомножителя следующего выражения для наращенной суммы:

(7.1)

где P_r- сумма депозита в рублях;

S_r- наращенная сумма в рублях;

K₀- курс обмена в начале операции (курс валюты в руб.) ;

K₁- курс обмена в конце операции;

n - срок депозита;

j - ставка наращения для конкретной валюты.

Также по условиям задачи срок операции – полгода, поэтому n=0,5.

Наращенная сумма равна:

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 8

Заемщик через 4 года должен заплатить в банк 15 400 руб., а через 6 лет – 17 350 руб. Вместо этого он хотел бы заплатить сразу весь долг через 7 лет с начала действия договора. Какую сумму должен заплатить заемщик, если договор заключен под 5% годовых?

Решение

При изменении условий выплат решение заключается в разработке соответствующего уравнения эквивалентности. Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную дату, то при использовании сложных процентов получим следующее уравнение эквивалентности в общем виде:

где S_j и n_j – параметры заменяемых платежей;

S_k и n_k – параметры заменяющих платежей.

По условиям задачи примем в качестве базовой даты начало отсчета времени. Уравнение эквивалентности в этом случае записывается следующим образом:

Из решения уравнения получим S = 36 045 руб.

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 9

Предприятие хочет купить электронное оборудование. Один продавец предлагает это оборудование за 200 000 руб. наличными. Другой продавец хочет, чтобы ему сразу заплатили 100 000 руб. и через три года в начале каждого из следующих трех лет платили по 40 000 руб. Какое предложение выгоднее для покупателя, если процентная ставка – 7%, капитализация годовая.

Решение

На основе формулы наращения по ставке сложных процентов 6.1 получим:

(9.1)

Величину называют дисконтирующим множителем. Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S. Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент.

По условиям задачи необходимо определить текущую стоимость платежей по 40 000 руб., которые выплачиваются по истечении 3-го, 4-го и 5-го годов. Вместе с суммой в 100 000 рублей текущая стоимость второго предложения равна:

Так как для покупателя выгодным является более дешевое предложение, то второе предложение является наилучшим для покупки оборудования, так как с учетом дисконтирования денежных потоков приведенная стоимость сделки в размере 191 687,2 руб. меньше величины 200 000 руб. по первому предложению.

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 10

В банк вложен капитал 80 000 руб. на период 5 лет при номинальной ставке сложных процентов, равной 6% годовых. Вычислите наращенную сумму, если при неизменной номинальной процентной ставке проценты начисляются а) один раз в год; б) каждое полугодие; в) ежемесячно.

Решение

Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. При каждом начислении проценты капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j, которую указывают в договоре, называют номинальной. Формулу наращения теперь можно представить следующим образом:

(10.1)

По условиям задачи рассчитаем наращенную сумму при неизменной номинальной процентной ставке, равной 6%, если проценты начисляются:

а) один раз в год (т.е. m=1):

б) каждое полугодие (т.е. m=2):

в) ежемесячно (т.е. m=12):

Таким образом, клиенту банка выгоден вариант наращения при ежемесячном начислении процентов.

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 11

Определить годовую ставку сложных процентов, эквивалентную ставке: а) простых годовых процентов i=10% за 5 лет; б) сложных процентов, начисляемых ежемесячно по ставке 10% годовых за два года.

Решение

Эквивалентными называются процентные ставки, которые в конкретных условиях, т.е. в рамках одной финансовой операции приводят к одинаковым финансовым результатам. Формулы эквивалентности ставок можно получить, исходя из равенства взятых попарно множителей наращения.

а) Определим годовую ставку сложных процентов, эквивалентную ставке простых годовых процентов i=10% за 5 лет. Соотношение эквивалентности простых и сложных процентов имеет вид:

Выразим из уравнения i_c:

По условиям задачи эквивалентная годовая ставка сложных процентов равна:

Таким образом, годовая 10% ставка простых процентов эквивалентна 8,45% ставке сложных процентов.

б) Определим годовую ставку сложных процентов, эквивалентную ставке сложных процентов, начисляемых ежемесячно по ставке 10% годовых за два года. Соотношение эквивалентности имеет вид:

Выразим из уравнения i_c:

По условиям задачи эквивалентная годовая ставка сложных процентов равна:

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

Таким образом, 10% годовая ставка сложных процентов, начисляемых ежемесячно, дает тот же финансовый результат от сделки, что и 10,47% ставка сложных процентов, начисляемых раз в год.

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 12

Кредит в 250 тыс.руб. выдан на 5 лет под 15% годовых. Долг погашается частями один раз в год, проценты начисляются на оставшуюся сумму долга. Составить план погашения долга равными частями и равными срочными уплатами.

Решение

Одна из задач количественного финансового анализа долгосрочной задолженности - разработка плана погашения кредита, адекватного условиям финансового соглашения. Разработка плана погашения кредита заключается в составлении графика (расписания) периодических платежей должника. Расходы по обслуживанию долга включают две составляющие:

- текущие процентные платежи,

- средства, предназначенные для погашения основного долга.

Используем следующие обозначения.

D - сумма задолженности (основной долг);

i - ставка процента по кредиту;

n - общий срок кредита;

Y - срочная уплата.

Обычно на практике используют несколько схем погашения долга. Рассмотрим следующие:

1) Погашение основного долга равными выплатами. Пусть долг в сумме D погашается в течение n лет. В этом случае сумма, ежегодно идущая на его погашение, составит:

(12.1)

Размер долга последовательно сокращается: D, D - d, D - 2d и т.д. Соответствующим образом уменьшаются и выплачиваемые проценты, так как они начисляются на остаток долга. Если проценты выплачиваются раз в конце года по ставке i, то процентные платежи за первый и последующие годы равны Di, (D - d)i, (D - 2d)i и т.д. Процентные платежи образуют убывающую арифметическую прогрессию с первым членом Di и разностью di.

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

Срочная уплата в конце первого года находится так:

(12.2)

где D₀ = D – сумма основного долга.

Для конца года t получим:

(12.3)

где D_t-1 - остаток долга на конец года t.

По условиям задачи сумма, ежегодно идущая на погашение основного долга будет равна:

План погашения представлен в таблице 1.

Таблица 1 – План погашения долга равными частями

В рублях

Год	Остаток основного долга на начало года	Расходы по кредиту (срочные уплаты)	Погашение основного долга	Проценты (процентные платежи)
1	250 000	87500	50 000	37 500
2	200 000	80000	50 000	30 000
3	150 000	72500	50 000	22 500
4	100 000	65000	50 000	15 000
5	50 000	57500	50 000	7 500
Итого		362 500	250 000	112 500

Как видим, со временем уменьшаются не только суммы расходов по кредиту, но и соотношения процентов и сумм погашения основного долга.

2) Погашение кредита равными срочными уплатами. В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжении всего срока его погашения. Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процентов, остаток идет на погашение основного долга. Так же как и в предыдущем методе, величина долга здесь последовательно сокращается, в связи с этим уменьшаются процентные платежи и увеличиваются платежи по погашению основного долга. План погашения обычно разрабатывается при условии, что задается срок погашения долга. Первый этап разработки плана погашения - определение размера срочной уплаты.

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

Далее полученная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение основного долга. После чего легко найти остаток задолженности. Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к современной величине этой ренты, находим:

(12.4)

где - коэффициент приведения годовой ренты со ставкой i и сроком n.

Все величины, необходимые для разработки плана, можно рассчитать на основе величины Y и данных финансового контракта. Найдем сумму первого погасительного платежа (платежа, на обслуживание основного долга):

Сумма второго платежа:

Сумма платежа после года t:

Суммы, идущие на погашение долга, увеличиваются во времени, в связи с этим рассматриваемый метод погашения называют прогрессивным. Платежи по погашению основного долга образуют ряд d₁, d₁(1+i), …, d₁(1+i)^n-1. По этим данным легко определить сумму погашенной задолженности (основного долга) на конец года t после очередной выплаты:

(12.5)

По условиям задачи находим размер срочной уплаты:

Далее определим сумму первого погасительного платежа:

Изм

Лист

Дата

Л Листист

Подпись

Лист

Остаток долга после первого погашения:

И т.д. (см. таблицу 2).

Таблица 2 – План погашения равными срочными уплатами

В рублях

Год	Остаток основного долга на начало года	Расходы по кредиту (срочные уплаты)	Погашение основного долга	Проценты (процентные платежи)
1	250000,00	74578,89	37078,89	37500,00
2	212921,11	74578,89	42640,72	31938,17
3	170280,39	74578,89	49036,83	25542,06
4	121243,55	74578,89	56392,36	18186,53
5	64851,20	74578,89	64851,21	9727,68
Итого		372894,45	250000,01	122894,44

Контрольная работа по финансовой математике. 3 📙 Контрольная → 🆔 75179