Контрольная работа по «Математика. Математика в экономике»

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургская государственная  лесотехническая академия

имени С.М.Кирова

 

 

 

 

Кафедра Математических методов и моделирования в экономике и управлении

по дисциплине «Математика. Математика в экономике».

 

Контрольная работа

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент ФЭУ, 1 курс, з/о,

(уск.) гр.№___

№ специальности 080502

№ зачётной книжки 60118

 

Михайлов Артём Анатольевич

 

Проверил: _____________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2010 -2011 уч.год

СОДЕРЖАНИЕ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Теория вероятностей

Задача 1. Покупатель может приобрести акции трех компаний. Надежность первой компании в течение года оценивается экспертами на уровне 84%, второй - на уровне 82%, a третьей - на уровне 64%. Чему равна вероятность того, что: а) все компании в течение года не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство?

 

Решение:

 Обозначим события (в течении года):

  • А - первая компания в течение года не станет банкротом,
  • В - вторая компания в течение года не станет банкротом,
  • С - третья компания в течение года не станет банкротом.

По условию задачи вероятности этих событий равны:

Р(А) = 0,84, Р(В) = 0,82, P(С) = 0,64.

 

а) Событие D, состоящее в том, что все три компании в течение года не станут банкротами, произойдет в том случае, если произойдет и событие А, и событие B, и событие С. Это значит, что событие D равно произведению событий A, B и C:

D = ABC.

Так как события а, в и с являются независимыми, то по теореме умножения вероятностей вероятность произведения событий равна произведению вероятностей, то есть

P(D)= P(A) P(B) P(C).

Таким образом, получим

Вероятность того, что все компании в течение года не станут банкротами, равна 44,1%

 

б) Пусть Е — событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно банкротство. Противоположное событие состоит в том, что все компании не станут банкротами, то есть Е = D.

Поскольку сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то P(E) = 1 - P(E) = 1 – P(D) = 1 - 0,441 = 0,559 (55,9%)

 

Ответ: Вероятность того, что наступит хотя бы одно банкротство, равна 55,9%

 

Задача 2. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна р1=0,52. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна р2=0,35 Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок, равна q=0,26. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

 

Решение:

Обозначим события:

А - событие, состоящее в том, что товар будет иметь успех;

Н1, - событие, состоящее в том, что конкурент не выпустит в продажу аналогичный товар;

Н2 - событие, состоящее в том, что конкурент выпустит в продажу аналогичный товар.

 

По условию задачи нам известны условные вероятности:

Р(А/ Н1)= 0,52, Р(А/ Н2)= 0,35.

 

Известна также вероятность  события Н2 : Р(Н2)= 0,26. События Н1, и Н2 являются несовместными и образуют полную группу (являются гипотезами),   поэтому   сумма  вероятностей   этих   событий   равна   единице:

Р(Н1)+ Р(Н2) = 1. Отсюда следует, что

Р(Н1) = 1 - Р(Н2) = 1- 0,26= 0,74.

 

Для определения вероятности события А применим формулу полной вероятности:

Р(А) = Р(Н1)Р(А/ Н1)+ Р(Н2)Р(А/ Н2).

Подставляя числовые значения, получим

 

Ответ: Вероятность того, что товар будет иметь успех, равна 47,5%.

 

 

 

 

 

 

Задача 3. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирают 3 счета. Известно, что 27% счетов содержат ошибки. Требуется:

  • составить таблицу распределения вероятностей числа правильных счетов; найти числовые характеристики этого распределения;
  • записать функцию распределения вероятностей и построить ее график;
  • определить вероятность того, что хотя бы один счет будет с ошибкой.

 

Решение:

Число правильных счетов есть случайная величина X, которая может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений определим по формуле Бернулли:

,

где q = 0,27 - вероятность неправильного счета,

p=1-0,27 = 0,73 - вероятность правильного счета.

Получим:

Проверка. Сумма вероятностей должна быть равна 1.

0,0197 + 0,1597 + 0,4316 + 0,3890 = 1.

 

Распределение вероятностей случайной величины X содержится в табл.1

 

Таблица 1

Распределение случайной  величины X

 

Х

0

1

2

3

Р

0,0197

0,1597

0,4316

0,3890


 

Определим числовые характеристики этого распределения. Математическое ожидание дискретной случайной величины X находим по формуле:

где xi - возможные значения X; pi - соответствующие вероятности.

 Дисперсию случайной величины X находим по формуле:

.

 

Так как

, то

Среднее квадратическое отклонение случайной  величины X равно:

Найдем функцию распределения  вероятностей F(x).

 

Если 

Если 

Если 

Если 

Если 

График функции F(x) изображен  на рис. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. График функции  распределения

Событие А, состоящее  в том, что хотя бы один счет будет  с ошибкой, является противоположным  к событию, что все счета будут  правильными, следовательно,

Р(А) = 1 - Р(Х = 3) = 1 - 0,3890 = 0,611.

 

Ответ: Вероятность того, что хотя бы один счёт будет с ошибкой, равна 61,1%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Годовой выпуск продукции мебельной фабрики приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, рамным m=144 тыс.ед. продукции, и стандартным отклонением, 17 тыс.ед. Найти вероятность того, что годовой выпуск продукции: а) окажется ниже 122 тыс.ед.; б) превысит, 167 тыс.ед.

 

Решение:

Обозначим через X - годовой выпуск продукции мебельной фабрики. Это непрерывная случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами m и . Поэтому вероятность попадания случайной величины в промежуток [а, b] вычисляется по формуле:

где

 

- функция Лапласа, которую вычислим с помощью программы Microsoft Excel. Вероятность того, что годовой выпуск продукции окажется ниже b = 122 тыс.ед.:

 

 

Вероятность того, что годовой выпуск продукции превысит a = 167 тыс.ед.:

 

 

1-0,0978-0,088=0,8142

 

Ответ: Таким образом, с большой вероятностью, годовой выпуск продукции будет находиться между 122 и 167 тыс.ед., равен 81,42%

 

2. Математическая статистика

 

Имеются статистические данные об объемах  лесных грузов, в тыс.куб.м, перевозимых еженедельно от лесозаготовительных к деревообрабатывающим предприятиям:

Требуется произвести первичную обработку  данных методами математической статистики. Для этого необходимо:

  • составить статистический ряд,
  • для каждого частичного интервала определить частоты, относительные частоты, накопленные частоты, накопленные относительные частоты,
  • построить полигоны, кумуляты и гистограмму,
  • определить выборочные характеристики статистического распределения.

 

Решить задачу для  следующих статистических данных:

 

2. Данные к задаче по математической статистике

71

270

349

57

277

220

124

102

38

257

204

202

229

34

96

40

76

65

371

305

205

57

289

44

272

131

55

12

209

404

207

55

183

133

0

133

15

170

18

359

157

6

160

199

373

51

370

92

72

34

58

8


 

Решение:

Имеем выборку объемом n = 52 из генеральной совокупности X, представляющей собой еженедельный объем лесных грузов.

Среди элементов выборки определим  минимальное и максимальное значения: xmin=0, xmax=404. Уменьшим xmin и увеличим xmax до «хороших» чисел, и возьмем несколько больший промежуток от 0 до 410. Вычислим размах выборки R = 410.

Количество групп (частичных интервалов) k определим по формуле

. Длину интервала найдем по формуле:

 

 

 

 

Определим границы частичных интервалов:

 

 

 

Для каждого i-ro интервала  найдем число выборочных значений (частоту), попавших в данный интервал. В графе  штрих-лист (табл. 2) для каждого выборочного значения проставляется «черта». Их количество и равно соответствующей частоте ni. Если некоторый элемент выборки попадает на границу интервала, то «черта» ставится в левый интервал.

Относительные частоты равны отношениям , накопленные частоты определяются по формулам , а накопленные относительные частоты равны . Полученные данные заносим в табл. 2.

 

Таблица 2.

Таблица распределения  частот

 

группа

Левая граница

Правая граница

Штрих-лист

Середина

Частота

Относительная частота

Накопленная частота

Накопленная относительная частота

1

0

51,25

////////////

25,6

12

0,2308

12

0,2308

2

51,25

102,5

////////////

76,9

12

0,2308

24

0,4615

3

102,5

153,75

////

128,1

4

0,0769

28

0,5385

4

153,75

205

////////

179,4

8

0,1538

36

0,6923

5

205

256,25

////

230,6

4

0,0769

40

0,7692

6

256,25

307,5

//////

281,9

6

0,1154

46

0,8846

7

307,5

358,75

/

333,1

1

0,0192

47

0,9038

8

358,75

410

/////

384,4

5

0,0962

52

1


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим выборочные характеристики статистического распределения. Выборочное среднее, выборочную дисперсию и  выборочное среднее квадратическое отклонение определим по формулам.

, ,

 

Следовательно поличим:

 

Таким образом, средний  еженедельный объем перевозок лесных грузов составляет х = 154,74 тыс.куб.м.

Выборочная дисперсия  =646.684,7 тыс.куб.м

Выборочное среднее  квадратическое отклонение s = 804,17 тыс.куб.м.

3. Задача сетевого  планирования

Построить сетевую модель и произвести расчет ее временных параметров методом сетевого планирования на основе заданной структурной таблицы комплекса работ. Для этого необходимо:

  1. построить предварительный сетевой график, упорядочить номера событий,
  2. вычислить ранние и поздние сроки свершения событий, найти критический путь и критическое время, построить окончательный сетевой график, 
  3. вычислить характеристики работ, представить их в виде таблицы,
  4. построить линейную карту сети по ранним и поздним срокам свершения событий.

 

 

 

3. Данные к задаче по сетевому планированию

Работа

Опирается на работы

Длит.

a1

-

-

-

3

a2

-

-

-

5

a3

-

-

-

5

a4

-

-

-

6

a5

a1

-

-

6

a6

a1

-

-

7

a7

a2

-

-

7

a8

a2

-

-

7

a9

a3

a7

-

3

a10

a3

a7

-

4

a11

a5

a8

a9

7

a12

a5

a8

a9

4

a13

a4

a10

a11

6

a14

a6

a13

-

6

a15

a6

a13

-

4

a16

a12

a14

-

4


 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Предварительный  сетевой график комплекса работ

Табл. Временные характеристики работ.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа выполняется  из начального события к конечному. Ранний срок начала работы  - это  «1» начального события. Поздний  срок окончания – это «3» конечного. Остальные сроки вычисляются с пом. продолжительности работы. Полный резерв вычисляется как разность между ранним и поздним сроком. Свободный резерв вычисляется как разница между «1» конечного события и ранним сроком окончания работы.


Критический путь: 0,2,3,4,5,6,7,8

Рис. Окончательный  сетевой график

Рис. Линейная карта сети

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Задача о выпуске продукции при неопределенном спросе

 

В результате производства и реализации единицы продукции  А1 А2 A3 завод получает чистый доход, зависящий от спроса на продукцию, который может принимать одно из состояний В1, В2, В3, В4 (заранее неизвестно, какое именно). Возможные значения дохода представлены платежной матрицей. В каких пропорциях следует выпускать продукцию А1, А2, А3, чтобы гарантировать максимальный чистый доход при любом состоянии спроса.

 

Для этого необходимо

  1. представить задачу о выпуске продукции как матричную игру предприятия с «природой», считая спрос на продукцию полностью неопределенным,
  2. произвести упрощение платежной матрицы, используя принцип доминирования,
  3. найти оптимальные стратегии игроков и цену игры,  
  4. определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции с целью получения максимальной выгоды предприятию. 
  5. определить наиболее выгодный для завода вид продукции, используя критерии Лапласа, Вальда и Сэвиджа,

 

Найти оптимальное поведение  предприятия по выпуску продукции на основе данных, содержащихся в табл.

 

4. Данные к задаче о выпуске продукции при неопределенном спросе

Виды продукции

Спрос

B1

B2

B3

B4

A1

7

2

2

7

A2

2

3

7

4

A3

2

3

7

3


 

Решение: Рассмотрим поставленную задачу как матричную игру двух лиц: с одной стороны, завод (игрок А), который может выпускать продукцию А1, А2, А3 (три чистых стратегии), с другой стороны «природа» (игрок В), имеющая четыре возможных состояния спроса на продукцию В1, В2, В3, В4 (четыре чистых стратегии).

 

Пусть Р*= (p1*,p2*,p3*) – оптимальные стратеги игрока А, а Q* = (q1*,q2*,q3*,q4*) – оптимальная стратегия игрока B. Согласно принципу доминирования, стратегию А3 стоит исключить, так как все элементы 3-й строки не превосходят элементов 2-й. Так же исключаются 3-й и 4-й столбец, так как их элементы не меньше соответствующих элементов 2-го и 1-го столбцов. Тогда получим след. матрицу.

 

 

B1

B2

A1

7

2

A2

2

3


 

Оптимальная стратегия игрока A: вычитаем столбцы и получаем по модулю: ;

вероятность стратегий  обратно пропорциональна: p1* = , p2*= .

Оптимальная стратегия:  P*= ( ; ; 0)

 

Для игрока В  получаем по модулю строку (5;1)

 

Оптимальная стратегия  игрока В: Q* = ( ; ; 0; 0)

 

Цена игры:

 

Критерий Лапласа:

Средний доход от стратегии A1 = (7+2+2+7)/4 = 4,5;

от A2 = (2+3+7+4)/4 = 4;

от A3 = (2+3+7+3)/4 = 3,75;

Оптимальная стратегия  – А1.

 

 

 

 

 

Критерий Вальда:

 

Минимальный доход стратегии 

A1 = min(7,2,2,7) = 2; A2 – 2; A3 – 2.

Стратегии равнозначны.

 

Критерий Сэвиджа:

 

Таблица рисков.

 

B1

B2

B3

B4

A1

0

1

5

0

A2

5

0

0

3

A3

5

0

0

4


 

*Строиться путём записывания  в соотв. ячейку модуля разницы  этого элемента и наибольшего  значения в столбце. 

 

 Максимальный риск  при стратегии A1 – r1 = max(0,1,5,0) = 5;

r2 = 5; r3 = 5.

Стратегии равнозначны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Задача о выпуске продукции при неопределенном спросе

В результате производства и реализации единицы продукции А1 А2 A3 завод получает чистый доход, зависящий от спроса на продукцию, который может принимать одно из состояний В1, В2, В3, В4 (заранее неизвестно, какое именно). Возможные значения дохода представлены платежной матрицей. В каких пропорциях следует выпускать продукцию А1 А2, А3, чтобы гарантировать максимальный чистый доход при любом состоянии спроса. Для этого необходимо:

  1. представить задачу о выпуске продукции как матричную игру предприятия с «природой», считая спрос на продукцию полностью неопределенным,
  2. произвести упрощение платежной матрицы, используя принцип доминирования,
  3. найти оптимальные стратегии игроков и цену игры,  
  4. определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции с целью получения максимальной выгоды предприятию.
  5. определить наиболее выгодный для завода вид продукции, используя критерии Лапласа, Вальда и Сэвиджа.

 

 

Месячные переходы (в %) покупателей из супермаркета

в супермаркет

Начальное распределение  покупателей, %

A

B

C

A

63

2

35

50

B

2

79

19

30

C

13

22

65

20


 

 

 

 

 

Матрица переходных вероятностей: . (таблицу переписали просто)

 

Вектор начальных вероятностей по условию:   .

 

Прогноз на 1 февраля:

 

Прогноз на 1 марта:

 

а)

 

б)

 

 

 

 

 

Для оценки состояния  в длительном периоде времени  применим формулу:

Или в матричном виде:

 

Отсюда следует:

 

Система является неопределённой, причём последние уравнение является следствием 2-х предыдущих, а значит, его можно не учитывать. Запишем  всё в таблицу, вместо 3-го уравнения  вставим дополнительное условие ) и вычислим переменные с помощью «поиска решений» Excel’а: Лев. часть -сумма произведений (π1, π2, π3) на соотв. (a1,a2,a3). Ищем решение при котором первая ячейка «лев. части» будет макс., изменяя ячейки с (π1, π2, π3) и при условии, что ячейки  «Лев. части»  равны соответствующим ячейкам столбца b.

 

a1

a2

a3

Лев. часть

b

-0,37

0,02

0,13

0,00

0

0,02

-0,21

0,22

0,00

0

1

1

1

1,00

1

         

π1

π2

π3

    

0,164251

0,435232

0,400517

    

 

 

(процент посещения магазинов при длительной работе)

 

 

 

 

 

 

Результаты:

 

Дата

Посещаемость  супермаркетов, %

A

B

C

1 января

50

30

20

1 февраля

34,7

29,1

36,2

1 марта

27,15

31,65

41,2

…

      

Длительный срок

16,4

43,5

40,1

Контрольная работа по «Математика. Математика в экономике» 📙 Контрольная → 🆔 61224

Контрольная работа по «Математика. Математика в экономике» 📙 Контрольная → 🆔 61224

Контрольная работа по «Математика. Математика в экономике»